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关于级数求和方法的探讨摘要：无穷级数包括常数项级数和函数项级数，常数项级数在其收敛时可以求和，函数项级数在其收敛域内可以求和。
本文对常数项级数讨论了利用级数定义求和的常用方法：等差数列求和公式法、等比数列求和公式法、裂项相消法、错位相消法；对函数项级数则选取特殊的幂级数讨论了其求和方法：幂级数性质法、转化成微分方程法；最后利用幂级数的有关知识，求一些特殊类型级数的和。
其中定义法与幂级数性质法是基础，其他方法的应用需要掌握技巧。
关键词：无穷级数幂级数收敛Calculating Sums of SeriesAbstract: Infinite series including constants of series and function of series, constant of series in its convergence can be summed when series of function to the summation in its convergence region. This article discusses the constant of series including the following methods: arithmetic series summation formula method cancellation of splitting method, dislocation destructive method. Then series of function selects the specific power series to discuss its summation: such as power series properties method, into the calculus equation method. Finally, via the use of the knowledge of power series to seek the summation of some special types. Among these methods, the definition method and the power series properties method is the basis and the application of other methods needs master skills.Keywords: infinite series power series convergence1.引言无穷级数的概念是在极限概念形成的基础上形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。
求级数的和的方法总结求解级数的和是数学中常见的问题之一、在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列，而求解级数的和就是对这些项进行求和运算得到的结果。
级数求和方法的总结如下：一、等差级数求和：等差级数是指级数中每一项与前一项之差都是相等的级数，求等差级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等差级数和的公式为Sn = (n/2)(a1+an)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项。
通过代入这些值即可求得。
2. 差分法：将等差级数分解为两个等差数列之和，然后分别求和。
例如，Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+(a1+d(n-1))) = (2a1+d(n-1))(n/2) = (2a1+2d(n-1))(n/4) = 2(a1+d(n-1))(n/4)。
二、等比级数求和：等比级数是指级数中每一项与前一项之比都是相等的级数，求等比级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等比级数和的公式为Sn = (a1 - an*r)/(1-r)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项，r为公比。
通过代入这些值即可求得。
2. 求和法：当公比r在-1到1之间时，等比级数和的求和公式可以通过不断地相加前n项来逼近真实值。
即Sn = a1/(1-r) - an*r/(1-r)。
三、收敛级数求和：收敛级数是指级数在求和过程中会逐渐趋于一个有限的值的级数。
常用的收敛级数求和方法主要有以下几种:1. 逐项求和法：如果级数每一项能够逐项求和，那么可以通过逐项求和来求得级数的和。
例如，级数Sum(1/n^2) = 1/1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ...，可以通过逐项求和将级数的每一项相加来得到和。
2. 极限求和法：如果级数满足级数的通项能够构造成一个已知数列，那么可以通过求出这个数列的极限来得到级数的和。
例如，级数Sum(1/n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过求出数列1/n的极限为0，可以得知级数的和为无穷大。
无穷级数与收敛性无穷级数在数学中是一种重要的概念，它由一系列的数相加而成，数的个数是无穷多的。
无穷级数的收敛性是指这个级数是否趋向于一个有限的数值。
在本文中，我们将探讨无穷级数的定义、收敛与发散的条件以及一些常见的求和方法。
一、无穷级数的定义在数学中，无穷级数可以用下面的形式表示：S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...其中，a_1, a_2, a_3, ...是一系列的数，称为级数的项。
我们将级数的前n项和表示为S_n。
二、收敛与发散的条件无穷级数的收敛与发散的条件是由级数的项所满足的。
以下是一些常见的条件：1. 不动点条件：如果S_n的极限存在并且有限，则称该级数收敛，极限的值为该级数的和，记作S。
如果S_n的极限不存在或为无穷大，则称该级数发散。
2. 正项级数收敛定理：如果级数的所有项都是非负的，且前n项和有上界，则该级数收敛。
3. 比较判别法：如果级数的绝对值的前n项和有上界，并且与某个已知的收敛级数的前n项和具有相同的增长趋势，则该级数收敛。
类似地，如果级数的绝对值的前n项和无下界，并且与某个已知的发散级数的前n项和具有相同的增长趋势，则该级数发散。
4. 比值判别法与根值判别法：比值判别法适用于正项级数，如果级数的前n项的比值有限，并趋于零，则该级数收敛。
根值判别法适用于正项级数，如果级数的前n项的根值有限，并趋于一，则该级数收敛。
三、常见的求和方法在实际应用中，计算无穷级数的和通常是很困难的，但是有一些特殊的级数可以通过一些方法求和。
以下是一些常见的求和方法：1. 等差级数：等差级数是一种特殊的级数，其项的差为常数。
对于等差级数，我们可以使用求和公式来求和，最常见的例子是算术级数。
2. 几何级数：几何级数是一种特殊的级数，其项与前一项的比值为常数。
对于几何级数，我们可以使用求和公式来求和，最常见的例子是等比级数。
3. 特殊级数的求和技巧：对于一些特殊的级数，有些技巧可以帮助我们求和，如Telescoping series（先后相消级数）、夹逼准则、幂级数等。
等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。
而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。
在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。
等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。
下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。
例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。
由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。
根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。
例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。
由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。
通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。
但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。
除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用性。
总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。
通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。
高等数学中的无穷级数求和引言：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。
本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。
一、级数的定义与性质1.1 级数的定义无穷级数是由一列数的和组成的，形如：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3...为级数的项。
1.2 级数的收敛与发散级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。
1.3 级数的部分和级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、常见的无穷级数求和方法2.1 等差数列求和当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。
例如：S = 1 + 3 + 5 + ...可以将其转化为等差数列的求和问题。
2.2 几何级数求和几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：S = a + ar + ar^2 + ...其中，a为首项，r为公比。
2.3 幂级数求和幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：S = a0 + a1x + a2x^2 + ...其中，a0、a1、a2...为系数。
三、常见的无穷级数求和技巧3.1 逐项求和法逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.2 积分法积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.3 求导法求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
四、经典的无穷级数求和问题4.1 调和级数求和调和级数是指级数的每一项为倒数的级数，形如：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的发散级数，但可以通过取部分和的方式得到一个无穷大的极限。
无穷级数公式一般而言，无穷级数指的是以下形式的无穷和：$$ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots $$。
其中 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 是数列中的元素。
对于无穷级数的求和，最常用的方法是通过极限的概念来讨论。
具体而言，若存在一数 $L$，使得对于任意正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n \geqN$ 时，$|\sum_{k=1}^n a_k-L|<\epsilon$，则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛于 $L$，否则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 发散。
若数列 $\{a_n\}$ 满足以下性质，则称级数 $\sum_{n=1}^\inftya_n$ 收敛：1. 数列 $\{s_n\}$，其中 $s_n=\sum_{k=1}^na_k$，即级数部分和数列，是有界的。
2.任意两项之差$|a_{n+1}-a_n|$极限趋于$0$。
对于一些特殊的级数，存在简便的求和公式，例如：1. 正比级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，且求和公式为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1-p}$。
2. 几何级数：$\sum_{n=0}^\infty ar^n$ 当 $|r|<1$ 时收敛，且求和公式为 $\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}$。
3. 幂级数：$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ 可收敛于某个区间上的函数，且在该区间上可以求导和积分，常用于泰勒级数的求解中。
以上仅列举了一些常用的收敛级数和求和公式，对于更多类型的级数和收敛判别方法，需要进一步学习和掌握。
无穷几何级数求和公式
S = a / (1 r)。
其中S表示级数的和，a表示首项，r表示公比。
这个公式适用于|r| < 1的情况。
当|r| >= 1时，级数会发散，没有一个确定的和。
这个公式的推导可以通过级数的部分和公式来进行。
部分和公式是Sn = a (1 r^n) / (1 r)，其中Sn表示前n项和。
当n趋向无穷时，即n→∞，部分和Sn会趋向于S，即级数的和。
另外，我们还可以通过级数的等比级数性质来推导求和公式。
等比级数的性质是，一个等比级数的每一项与它的前一项的比值都相等。
利用这个性质，我们可以得出求和公式S = a / (1 r)。
无穷几何级数求和公式在数学和物理等领域有着广泛的应用，特别是在处理无限重复的问题时。
因此，了解和掌握这个公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。
无穷级数求和公式大全摘要：I.无穷级数求和公式简介A.无穷级数的定义B.求和公式的概念II.常见无穷级数求和公式A.几何级数求和公式B.调和级数求和公式C.交错级数求和公式D.幂级数求和公式III.级数求和公式的推导与证明A.几何级数求和公式推导与证明B.调和级数求和公式推导与证明C.交错级数求和公式推导与证明D.幂级数求和公式推导与证明IV.级数求和公式的应用A.几何级数求和公式应用B.调和级数求和公式应用C.交错级数求和公式应用D.幂级数求和公式应用V.结论A.无穷级数求和公式的重要性B.发展前景与研究方向正文：无穷级数求和公式大全无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到许多领域的知识，如级数收敛性、级数求和等。
求和公式是对无穷级数求和的计算方法进行总结和归纳的公式。
本文将介绍无穷级数求和公式的一些常见类型，以及它们的推导与证明，并探讨级数求和公式的应用。
一、无穷级数求和公式简介无穷级数是由一系列项按照一定规律排列组成的序列。
求和公式则是用于计算无穷级数和的公式。
它们在数学分析、工程计算等领域有着广泛的应用。
二、常见无穷级数求和公式1.几何级数求和公式几何级数是指各项的比值为常数的级数。
几何级数求和公式为：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n为前n项和，a_1为首项，r为公比。
2.调和级数求和公式调和级数是指各项为1/k的级数，其中k从1开始递增。
调和级数求和公式为：S_n = n * (n + 1) / 23.交错级数求和公式交错级数是指各项正负相间的级数。
交错级数求和公式为：S_n = (-1)^(n+1) * S_n其中，S_n为前n项和。
4.幂级数求和公式幂级数是指各项为x^k的级数，其中k为非负整数。
幂级数求和公式为：S_n = (x^(n+1) - 1) / (x - 1)三、级数求和公式的推导与证明以下将分别介绍几何级数求和公式、调和级数求和公式、交错级数求和公式、幂级数求和公式的推导与证明。
无穷级数求和公式无穷级数求和的公式是数学中重要的概念之一，被广泛运用于各个数学分支，如微积分、代数等。
在数学史上，无穷级数的研究经历了漫长而曲折的发展过程，伴随着数学思想的不断深化和进步。
本文将从无穷级数的定义、收敛性、求和公式等方面进行详细讨论，并对其在实际应用中的一些例子进行探讨。
首先，我们来介绍无穷级数的定义。
在数学中，无穷级数是由无限多个数按照一定的规律排列组成的数列之和。
用数学符号表示，无穷级数可以写成以下形式：S=a₁+a₂+a₃+...+aₙ+...其中，a₁、a₂、a₃等表示无穷级数的每一项，S表示无穷级数的和。
上述公式中的省略号表示后续项的和，即多个无穷项相加的运算。
接下来，我们来讨论无穷级数的收敛性。
无穷级数的收敛性是指无穷级数是否有有限的和，如果有，则称该无穷级数是收敛的；如果没有，则称该无穷级数是发散的。
要判断一个无穷级数的收敛性，可以依据柯西收敛准则或拉比比值判别法等数学方法进行分析。
柯西收敛准则认为：如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，无穷级数的部分和序列，Sₙ-Sₙ₊₁，<ε，则该无穷级数收敛。
拉比比值判别法则通过比较相邻两项的比值来判断一个无穷级数的收敛性。
在判断无穷级数的收敛性后，我们需要研究求和公式，即如何计算无穷级数的和。
对于一些特定的无穷级数，我们可以找到一些通用的求和公式，以便更方便地计算其和。
最经典的无穷级数求和公式是等差数列的求和公式。
等差数列是由等差数列的递推公式生成的级数，可以表示为：S=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)+...其中，a为等差数列的首项，d为公差，n为项数。
经过数学推导，等差数列的求和公式为：S=(n/2)(2a+(n-1)d)这个公式在计算等差数列时非常有用，因为它可以通过已知的首项、公差和项数来快速求和。
此外，还有一些特定形式的无穷级数有着特殊的求和公式，如几何级数、调和级数等。
无穷级数求和的若干方法作者：赵萍来源：《科技创新导报》2016年第25期摘要：无穷级数求和的方法有很多，也很有技巧性，是高等数学中的一个重要内容。
该文主要通过例题的形式介绍关于无穷级数求和的主要方法和技巧，包括定义法、裂项相消求和法、逐项微分或积分求和法、转化为函数项级数求和法等，目的是加深对这部分知识的理解和掌握。
关键词：无穷级数求和级数收敛中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（a）-0179-02无穷级数是高等数学中的一个重要内容，其中关于无穷级数的求和问题既是重点又是难点。
下面该文通过例题的形式，概括笔者在多年的教学实践中的经验和总结，系统全面的介绍无穷级数求和的方法和技巧。
我们首先需要注意的是对无穷级数的求和，第一要考虑它的敛散性质，常数项的级数在收敛的过程中才能够求和，函数项的级数在它的收敛范围内也是可以进行求和的。
关于无穷级数求和的若干方法如下。
（1）定义法。
从级数的相关定义我们可以看到，级数的实质其实就是无穷多项进行累加产生的结果，不可以直接依据一般意义下的有限项的加法法则将这些逐项的相加，一般的教材写出的计算方法都是先将级数的前n项的和计算出来，然后再使用极限的办法解决多项积累的这种问题。
这种方法与我们中学学过的数列知识是有着很密切的联系的，基本上就是使用中学学过的求和法，之后再进行求和的计算，方法不但简单而且容易把解题的相关技巧进行掌握。
（3）逐项微分或积分求和法。
值得注意的是，在这种方法的应用过程中积分与微分的先后顺序不是绝对的，要因题而异。
（4）转化为函数项级数求和法。
这种方法主要针对数项级数，有的数项级数可以借助于函数项级数求和。
综上所述，级数求和的方法涉及了很多的数学知识，属于综合性的数学问题。
该文仅以例题的形式介绍了最常用的几种方法，希望能加深学生对这部分知识的理解，并提高计算能力。
也希望大家在今后的学习中积极探索，总结好的新的方法，让级数在数学和其他的领域里面得到更好的使用，实现级数的价值。
裂项相消法求无穷级数和的探讨以《裂项相消法求无穷级数和的探讨》为标题，本文旨在探讨如何用裂项相消法求无穷级数和的问题。
无穷级数的定义是：在数轴上延伸到无穷远的一系列数，是数学家们通常所用的数学表示法之一。
统称无穷级数，常用单个字母“和”表示，形如Sn=a1+a2+a3+a4+a5+…，其中，a1，a2，a3，a4，a5，…称为无穷级数的项，求出这一系列项的累加和，即可求出该无穷级数的和。
无穷级数和的求法有很多种，其中最常用的方法之一就是裂项相消法。
这一方法的基本思想是，将无穷级数的每一项都展开为一个裂项，再将同一次幂的裂项加起来，最后得到的是一个完整的无穷级数，从而求出该无穷级数的和。
首先，将无穷级数每一项展开为一个裂项，即将a1，a2，a3，a4，a5…分别展开为多项式，比如a1就可以用多项式（b11+b12+b13+b14+b15+…）来表示，a2就可以用多项式（b21+b22+b23+b24+b25+…）来表示，以此类推，所有的a1，a2，a3，a4，a5…等等，均可转化为多项式。
接下来，将同一次幂的裂项加起来，即将同一次幂的多项式加在一起，比如将b11，b21，b31，b41，b51……加在一起，得到一个多项式（c11+c12+c13+c14+c15+…），将b12，b22，b32，b42，b52……加在一起，得到另一个多项式（c21+c22+c23+c24+c25+…），以此类推，最后将所有的多项式加起来，即可求出该无穷级数的和。
最后，将所有的裂项相加即可得到无穷级数的和。
比如我们用以下计算：Sn=（a11+a12+a13+a14+a15+…）+(b11+b12+b13+b14+b15+…+（c11+c12+c13+c14+c15+…）+…=（a11+b11+c11）+(a12+b12+c12)+（a13+b13+c13）+…=（a11+a12+a13+…）+(b11+b12+b13+…+（c11+c12+c13+…）+… =a1+a2+a3+a4+a5+…=Sn上述便是裂项相消法求无穷级数和的具体过程。
级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助.1数项级数求和的常用方法1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数∑∞=1n na的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑==nk kn as 1，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若∞→n lim b b n =+1，则∑∞=1n n a ∞→=n lim n s =1b b -.例1 求级数∑∞=+-1)15)(45(1n n n 的和)5](1[P .解 ∑=+-=nk n k k s 1)15)(45(1=)151451(511+--∑=k k n k =)1511(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =51例2 求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和)5](1[P . 解 ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=nk n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1)1(121)2)(1(1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-)2)(1(12121n n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim41)2)(1(12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，就可以将分母适当的拆解，化成两项的差，从而用拆项法求级数的和.1.2 利用代入法求和在求数项级数的和时，有时可先转化为相应的幂级数，利用函数的幂级数展开式以及傅立叶级数展开式，把收敛区间内相应的数代入展开式中，从而求出数项级数的和.例如，常用∑∞==0!n nxn x e)(+∞<<-∞x ，∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x )(+∞<<-∞x ，∑∞=--=+11)1()1ln(n n n n x x )11(≤<-x 等来求级数的和.例3 求级数1112)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n n n n的和.解 考虑幂级数111)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n x n n n其收敛半径为1，所以当21=x 时级数收敛，设其和函数为)(x f ，下面在)1,0(内求)(x f ， 由于1122)2)(1(+-+=++n n n n n所以 ∑∑∞=+++∞=++--+-=1111111)1(22)1()(n n n n n n n x n x x f ∑∑∞=∞=++++-++-=111211)1(2)1(2n n n n n n n x n x x x x x x x x -++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)1ln(2)1ln(222)1ln(21-+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 令 21=x 便得，223ln 52)2)(1()1()21(111-=⋅++-=∑∞=++n n n n n n f 以上计算比较巧妙地运用了函数)1ln(x +的幂级数展开式.例4 求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.解 将函数x 在[]ππ,-上展成傅立叶级数得：∑∞=---=12)12()12cos(42n n xn x ππ， []ππ,-∈x 令 π=x ，则8)12(1212π=-∑∞-n n 在学习级数这一部分内容时，熟练掌握住特殊函数的幂级数展开式和傅立叶级数的展开式是很有必要的，它对于特殊的级数求和很有帮助.1.3 方程式法利用方程式法求和的关键是构造出关于n s 的方程式，解出n s 的具体的表达式，从而求出∞→n lim n s =s .例5 求级数∑∞=-113n n n的和.解 设 ∑=-=nk k n ks 113（1）则 ∑==nk k n ks 1331 （2）(1)-（2）得：n s 32=∑-=+11311n k k -n n 3=n n3211-+ =n n323- 所以 13249-⋅-=n n ns 所以49lim 311==∞→∞=-∑n n n n s n由以上例题可知当级数通项的分母是等比序列而分子是等差序列的关系时，常常通过构造出ns 的方程式，使得问题迎刃而解.1.4 利用欧拉常数法极限∞→n lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n k 1ln 1的值称为欧拉常数，设为)57721.0( =c c ，则有：∑=nk k 11=n c n ε++ln 其中∞→n lim 0=n ε,利用上式，可求某些数项级数的和. 例6 求级数∑∞=+1)12(1n n n 的和. 解 =n s ∑=+nk k k 1)12(1=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk k k 11221=∑=nk k11-⎪⎭⎫⎝⎛++++12151312n =∑=nk k 11⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-n n n 2141211212221312112=∑=n k k 112-21221221++-∑=n kn k =()()21222ln 2ln 22++-++-++n n c n c n n εε =122222ln 222+--+-n n n εε 所以2ln 22lim )12(11-==+∞→∞=∑n n n s n n 把一些级数的部分和转换成含有欧拉常数的表达式，利用已知的欧拉常数进行求解. 1.5 利用子序列的极限[2](440)P我们知道，若2{}n s 与21{}n s +有相同的极限s ，则lim n x s s →∞=.因此对于级数1nn a∞=∑，若通项n a 0→（当n →∞），则部分和的子序列2{}n s 收敛于s ,意味着21{}n s +也收敛于s ，从而1n n a ∞=∑=s .我们把2{}n s 与21{}n s +成为互补子序列.这个道理可推广到一般：若1nn a∞=∑的通项n a 0→（n →∞），{}n s 的子序列1{}pn n s s ∞=→(p 是某个正整数)，则1n n a ∞=∑=s .这种方法称为子序列方法.例7 求级数 11111111111(1)()()2345627893++-+++-+++-+⋅⋅⋅的和. 解 此级数通项趋于零，因此只要求3n s 的极限，注意公式111123n+++⋅⋅⋅+=ln n c n ε++,其中c 为欧拉常数，0n ε→（当n →∞）因此 对原级数31111111123323n s n n=+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-=3ln 3ln ln 3n n n n εε-+-→（当n →∞） 所以 原级数的和为 ln3s =例8 将级数 111112345-+-+-的各项重新安排，使先依次出现p 个正项，再出现q 个负项，然后如此交替，试求新级数的和.解 因为通项趋于零，根据上述子序列求和法，对新级数我们只要求子序列()1{}p q n n s ∞+=的极限，新级数前()p q n +项的和()111111132124221p q n s p q p +=++⋅⋅⋅+----+-+111123412224p p q q +++--+-++11142n 212n 23q p p p p -⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++----（）（）112n 12(22)p nq q +-----112(24)2nq q nq -⋅⋅⋅--- 11111113521242np nq=+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-- =111111111111()23452242242np np nq+++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅- 111111111(1)(1)222222np np nq=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+即 ()211ln(2)[ln()][ln()]22p q n np np nq s c np c np c nq εεε+=++-++-++→1ln 2ln 2pq+ （当n →∞）所以 所求级数的和为 1ln 2ln 2p q+当级数的某个子序列的极限能够适当的凑成欧拉常数且其通项趋与零时，常利用子序列的极限求解.1.6 利用级数的绝对收敛法若级数∑∞=1n nu是绝对收敛的级数，则当其中的项交换顺序时，级数的和不变.例9 求级数 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n的和.解 已知 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n绝对收敛因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!31!2121!31⎪⎭⎫⎝⎛-=!51!4121!52 ……⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-)!12(1)!2(12)1()!12()1(n n n n nn……两边相加即得：∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++-++-=+-0)!12()1()!2()1(!51!41!31!2121)!12()1(n nn n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∑∑∞=∞=00)!12()1()!2()1(21n n n n n n()1sin 1cos 21-=绝对收敛的交错级数求和时，一般常用级数的绝对收敛法求和.2函数项级数求和的常用方法2.1 逐项积分与逐项微分法在函数项级数一致收敛的条件下，如果欲求和的级数与一个已知和式的级数之间恰好存在微分(或积分)的关系，先对此级数逐项微分（或积分）后求和，然后再反过来求一次积分（或微分），便可得到此级数的和函数.例10 求级数∑∞=-112n n x n的和.解 因为 ∞→n lim nn a a 1+=∞→n lim 22)1(n n +=1， 所以1=R 当 x =1时，因为 ∞→2n ，故 当=x ±1时，级数发散所以 级数的收敛域为)1,1(-,当 )1,1(-∈x 时，令 )(x f =∑∞=-112n n x n逐项积分，得dt t f x⎰)(=dt tn n x n ∑⎰∞=-112=∑∞=1n n nx =2)1(x x- 所以当<x 1时，=∑∞=-112n n x n'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)1()(x x x f 3)1(1x x-+=例11 求级数nn x n n 20!)12(∑∞=+的和. 解 因为 ∞→n limnn a a 1+=∞→n lim )12)(1(32+++n n n =0 故级数的收敛域为（+∞∞-,），当()+∞∞-∈,x 时， 令)(x f =nn x n n 20!)12(∑∞=+ 则 ∑∞=--+=112)!1()12(2)('n n x n n x f =[]1)1(21)!1(3)1(22+-∞=∑-+-n n x n n =24)(2x xe x xf +解一阶线性微分方程 -)('x f 24)(2x xe x xf = 有 )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e xe e xdx x xdx2224)2(22c x e x += 因为 1)0(=f ， 代入上式得 1=c所以 当()+∞∞-∈,x 时，)12()(22+=x e x f x逐项积分与逐项微分法适用于求某些函数项级数的和函数，前提是函数项级数必须在所讨论的区间上一致收敛.2.2 三角级数求和法)442](3[P为了求级数nx un ncos 0∑∞=及nx u n n sin 0∑∞=的和，常把它视为复数域内幂级数n n n z u ∑∞=0（其中ix e z =）的实部和虚部.例12 求级数∑∞=0!cos n n nx的和. 解 令 ixe z = 考虑级数∑∞==0!n z ne n z 则 ∑∞==0!n nn z ∑∞=0!cos n n nx ∑∞=+0!sin n n nxi [])sin(sin )cos(sin cos sin cos x i x e e e x x i x z +==+故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=0!cos n n nx =)cos(sin cos x ex()∞<x 例13 求级数∑∞=1sin n n nx的和)472(]3[P . 解 令z=ixe ，则 ∑∞=-=111ln n n z nz ，而 xx iarctgx x i x z cos 1sin )cos 22ln(21)sin cos 1ln(11ln-+--=---=- )74](4[P =-xxiarctg x cos 1sin 2sin2ln -+ 则 ∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n nx i n nx n z故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=1sin n n nx ==-x x arctg cos 1sin )2(x ctg arctg =2x-π ()π20<<x在级数的通项含有正弦和余弦函数时，一般常应用三角级数求和法.以上介绍的级数求和的几种常用方法，对于解决此类问题会起到一定的指导作用.但是单纯地掌握几种方法还是远远不够的，关键是善于发现问题的特点，从而采取正确的方法解决问题.。
