第四章 最优控制模型
（管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型）
§1 最优控制的问题提法：
§1.1最优控制问题举例
一、例，详见最优控制课听课笔记第一节；
§1.2最优控制数学模型
最优控制模型问题的数学描述――最优控制模型。
寻找U )t (*u ∈
（开，闭）[]f f 0t ,t ,t 可以固定或自由，使得：
[][])t ( u J m i n
)t (*u J U
u
∈= ()
{
()()0
),( 0 ),( ,)( )( )( )( ),( ),( dt
(t)
x d
:.210
0≤=∈=∈===f f f f f f f f t t x g t t x g R t x t x M x t x x t x t t u t x f t s
其中： n R )t (x ∈ ，且1C )t (x ∈ （一阶连续可微）， R U )t (u m ≤∈
，
[] t ,u (t), x f ：
向量值函数，且)( f ? 对t ),t ( u ),t ( x 连续，对t ),t ( x
连续可微。 []()()()[]。
都可微 t (t), x 对 t (t), u (t), x L ,t ),t ( x
,dt t ),t ( u ),t ( x L t ),t ( x )t ( u J f f t t f f f
?+
?=?
上述最优控制的离散模型：
求 {})
(,)(*
*
i x i u ， 使得
目标泛函: ()∑-==1
N 0
i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小。
而且满足：
状态方程: ()??
?
??∈==+M
x x k k u k x f k x )(k x )0( ),( ),( )1( f 0
最优控制问题的求解方法：
1． 古典变分法：U 开集；
2． 极大值原理：U 闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 3． 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 发展了变分法，结果是充分条件。
§2最优控制模型的动态规划解法
§2.1动态规划方法概述
§2.2生产——库存——销售管理系统的动态规划解法
§2.1动态规划方法概述
某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程：
状态方程: ()??
?
??∈==+M
x x k k u k x f k x )(k x )0( ),( ),( )1( f 0
目标泛函: ()∑-==
1
N 0
i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小。
即:
此为一个N 阶决策问题：
动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点：
（ⅰ）将一个N 阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中；
（ⅱ）大大简化了计算量；
（ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理：
可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题。
下面以最短路问题举例说明这种方法 ：
一、最短路问题（最小时间问题）
1．问题：若有一辆汽车以S 城出发经过若干城市到达F 城，如图：3 ,2 ,1i ,Q ,P i i =，是一些可以通过的城镇。
·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3
4 4 1 2 4
S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 ·Q 3
图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）。
于是：汽车从S 到F 可经多种途径选择到达F 。
问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使S 到F 所走路线最短。或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从S 到F 所用时间最短。
2．方法：
Ⅰ.决策树法（穷举法）：
决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）。
即： {}3 ,2 ,1i F Q SP min F *Q *SP i i i i == 因此有：
1 P 3 4 F 15
P 2
6 1 Q 3 3 F 14 P 1 6
2 P
3
4 F 16
4 Q 2
2 Q
3 3 F 15
S
1 P 3 4 F 14
5 P 2
4 1 Q 3 3 F 13
Q 1 7 2 P 3 4 F 18
Q 2
2 Q
3 3 F 17
因此，最终得出：{}3 ,2 ,1i F Q SP min F P P SQ i i 321== 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算。
第1次：22211Q Q /P Q /P S →→→；第2次：3322Q /P Q /P →； 第3次：F Q P 33→或
因此，共需24次运算：2438＝?次，若阶段更多，则计算量更大。 II ．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？近视眼？）法：
第一步：从S 到1P 或1Q ：显然 5SQ 4SP 11=<=，因此取决策1SP ；
第二步：从1P 到2P 或2Q ：显然 2121Q P 6P P ==，因此取2121Q Q ,P P 均可，但从2P 到
3P 或3Q 距离为1，而2Q 到32P P 距离为2，因此，第2步决策为2P ，因此取21P P ；
第三步：2P 到3P 或2P 到3Q ，均有1Q P P P 3232==，但3Q 到F 的距离为3，因此第3步取路线32Q P 。
因此使用这种方法得到的决策为：143164F Q P SP 321=+++= 显然不是“最优决策”，同时还有：14F P P SQ 321= 问题出现在“局部优不能代替整体优”的问题。
III ．动态规划：
即可把每一步决策都看成一个状态的转移，而每一种状态的转移又影响到下一阶段的状态，因此又是动态的，故称为动态规划法。
将上述问题分为四个阶段的多阶决策问题，故可将问题分为四阶段问题来考虑： 第一阶段问题：11Q /P S →； 第二阶段问题：2211Q /P Q /P →； 第三阶段问题：3322Q /P Q /P →； 第四阶段问题：F Q /P 33→
·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3
4 4 1 2 4
S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 Q 3
第1阶段 第2 阶段 第3 阶段 第4阶段
解题方法从最后一个阶段开始：
1° 分别计算33Q ,P 到F 的最小代价，此处花费代价为时间，记为J ，用[][]33Q J ,P J 分别
表示3P 或3Q 到F 的代价，则显然有：
[][]3Q *J 4P *J 33==
2° 由后往前，考虑倒数第二阶段（即第三阶段），再把第三阶段和第四阶段联合作为一个
子问题来考虑，若从2P 出发到F ，则有两种可能：
[][]4
31Q *J 2J F Q P 541P *J 1J F P P 332332=+=+==+=+=
∴ 线路F Q P 32最短，且[]4P *J 2=，故将线路F Q P 32记成P 2④Q 3.
类似以2Q 出发到F ，则有两种可能：
[][]5
32Q J 2J F Q Q 642P J 2J F P Q 332332=+=+==+=+=
∴ 线路F Q Q 32最短，则[]5Q *J J 2==，故将线路F Q Q 32记成2Q ⑤3Q .
3° 再由2、3、4这三个阶段构成的子问题：
若从1P 出发到F 有两种可能：
[]
[]11
56Q *J 6J F Q P 61046P *J 6J F P P 221221=+=+==+=+=
∴ 有线路F P P 21最短，且[]10P *J 1=，故将F P P 21记成：1P ⑩2P
若从1Q 出发到F 有两种可能：
[][]12
57Q *J 7J F Q Q 844P *J 4J F P Q 221221=+=+==+=+=
∴ 有线路F P Q 21最短，则[]8Q *J 1=，故将F P Q 21记成：1Q ⑧2P
4° 把由1、2、3、4阶段作为子问题来考虑：
从S 出发到F 有两种可能：
[][]13
85Q *J 5J F SQ 14104P *J 4J F SP 1111=+=+==+=+=且且
故： F SQ 1最短，且[]13S *J = 5° 因此有最优策略：F SQ 1
即： []13S *J F Q P SQ F SQ 3211==，
1P ○102P 6 2
P ○43Q 1 3P ○4F S ○13 4 6 1 4 F ○0
5 4 2 3
1Q ○82P 7 2Q ○53Q 2 3Q ○3F
第1阶段 第2 阶段 第3 阶段 第4阶段
除“二决一”比较之外，且运算只用了10次，而穷举法则算了24次，上次这种动态规划的办法：是将把一个四阶段决策问题化为四个互相嵌入子问题，逐一进行简化的计算方法，即数学上嵌入定理。
IV. 最优性原理
“最优策略的一部分也是最优策略”
例如：上例中知：F Q P SQ 321是最优决策，则F Q P Q 321也一定是从Q 1出发到F 的最优决策：
证明［反证法］：设SQ 1P 2Q 3F 是最优决策，则Q 1P 2Q 3F 不是最优决策，则必存在另一个最优决策，不妨设为Q 1Q 2Q 3F 为最优决策。因而，SQ 1Q 2Q 3F 是整体最优决策，因而与SQ 1P 2Q 3F 是最优决策相矛盾，因而原结论正确。
)1N (*u , ),1(*u ),0(*u - 是N 阶决策问题的最优策略序列，那么：
)1N (*u , ),1(*u - 也是一个最优策略序列，其初始状态为：())0(*u ),0(x f )1(x =
证明：同最短路.
4． 多阶段决策问题的一般想法：
设某系统的状态方程为：()
?
??==+0)0(),(),()1(x x i i u i x f i x
目标函数为：()∑-==
1
N 0
i N i ),i (u ),i (x L J ，N
J
表示控制N 步时的目标函数值。
最优控制问题，即：求最优决策序列{}{})1N (u , ),0(*u )i (*u -= ，使N J 取最小(大)值。
为简化假定为定常状态，即L 不明显还有时间变量i
因而有：()???==+(2)
)0( (1)
)( ),( )1( 0x x i u i x f i x
()(3)
)( ),( 1
∑-==
N i N i u i x L J 对目标函数(3)逐次应用(1)式有：
()()()()()()()()()()()
)1N (u ),2N (u ,u(1) ,)0(u ),0(x f f f L ,u(1) ,)0(u ),0(x f L )0(u ),0(x L
,)1N ( u ),1N ( x L )1(u ),1(x L )0(u ),0(x L J N --+++=--+++=
因此，可以由上式看出：N J 只依赖于：)1N (u , ),1(u ),0(x - 因而可写成：())1N (u , ),1(u ),0(x J J N N -=
又若用某种方法求出了最优决策：)1N (*u , ),0(*u - ，则N J 的最小值只依赖于初始值)0(x ，记为() )0( x *J N ，它可用下式来定义：
()())1N (u , ),1(u ),0( x J m in
)0(x *J N )
1N (u ,),1(u ),0(u N -=
-
初始值是可变化的，因此：
() )0( x *J N 表示初始状态为)0(x 时，控制N 步的目标函数最小值。
5．动态规划的基本方程：
动态规划的基本方程，给出N 阶决策问题的目标函数最优值与它的子问题
)1N (阶决策问题-目标函数最优值之间的递推关系式，它是用动态规划解一切多阶决策问
题的基础。
设)0(*u 已求出，则求序列{})1N (*u , ),2(*u ),1(*u - 的问题，构成一个以
() )0(u ),0( x f )1( x =为初始条件的1N -阶决策问题，若记这一子问题的目标函数最小值
为：() )1(x *J 1N -；又若记() )0( x *J N 为N 阶决策问题最小值，则我们可以导出() )0( x *J N 与() )1(x *J 1N -之间的关系：
()()() (k)u (k), x L ) )0( ),0( ( min
u(k) x(k),L min )0( * 1
-N 1k 1)
-u(N -u(0)1-N 0k )
1(,),1(),0(?
??
???
+
=
?
??
???=∑∑==-u x L x J N u u u N
由于
则第一项：
()())0(u ),0(x L min )0(u ),0(x L min
)
0(u )
1N (u , ),0(u =-
第二项：
()?
??
???∑
-=-1N 1k )
1N (u , u(1) ),0(u )k ( u ),k ( x L min 并不明显依赖)0(u ， ()
()
)2N (u ),2N (x f )1N (x )0(u ),0(x f )1(x --=-=
但由状态方程：
可知：实际上第二项仍依赖于)1N (u , ),1(u ),0(u - ， 因此，第二项可写成：
()()(){}
)1( min (k)u (k), x L min min (k)u (k),x L min *
1)
0(1
-N 1k )1(,),1()
0(1-N 0k )
1(,),0(x J N u N u u u N u u ---=-=?
??
???=?
??
???∑∑
此给出了())1(x J *1N -与())0(x J *
N 之间的递推关系。它是动态规划的基本方程。 类似有动态规划更一般的基本方程：
(**) 因此依据基本递推方程的递推关系：可以把一个多阶决策问题化为若干个子问题，而在决策的每一个阶段中只须对一个变量进行最优化决策即可。例如：
()(){})1N (u ),1N (x L min
)1N (x J )
1N (u *
1--=--
是对一个单变量)1N (u -的优化问题，当())1N (x J *1-求出后，由基本递推方程(**)式可得：
()()(){
})1N (x J )2N (u ),2N (x L min )2N (x J *
1)
2N (u *2-+--
=-- 这又是对)2N (u -的最优化决策问题，因而把原来N 阶决策问题化成一系列对单变量的最优化决策问题，从而使问题简化。
§2.2 生产库存——库存管理决策问题的解
设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：
生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元。 第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s
因此有：下季度库存是 ：
)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量
本季生产量本季度库存量是+=+
且要求年初、年终都没有存货即销售已空。
x （0）＝x （5）＝0
最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小。
即：求 {})i (*u 使
[][][]
∑=+=
≤4
1
i 2
40)i (x )i (u
005.0)i (u J )i (*u J （1）
??
?
??===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3i s(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s
解：使用动态规划的办法：
1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+= 由（2） 0 x (5))4 )4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得
２００
u(4)－(4)－1
x (4)0+=
得 )4(x 1200)4(*u -=
代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 2
2
*4+-=+-=
2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：
()()[]
{}
()
{}
{
}
)
4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 2
2
)
3(u *
12
)
3(u *
1)3(u *
2+-++=++=+=
其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：
()()(){}22
)
3(u *
2500
)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=
而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=???
即： {}0)3(x 01.016)3(u 02.0)
3(u =+-=???
即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2
)()())
3(x 0025.0)3(x 77550500
)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 2
2
*
2+-=-++-+-++=
3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：
()()()
{}
{
}
)
3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u 005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 2
2
)
2(u *
2)2(u *
3+-++=+=
其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *
3
()()(){}
22
)
2(u *
3700
)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=?? 得
()
{}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)
2(u )
2(u )2(x J *
3=-+-=???=
??
得 )2(x 3
1700
)2(*u -= 再代 ())2(x J *
3 得
())2(x 3
005.0)2(x 6000,10)2(x J 2
*
3+
-=
4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：
()()()
{}
?
?????+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22
)1(u *
3)
1(u *
4
又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=
并代入上式 ())1(x J *4得：
()()()?
??
?
??-+
--++=22
*4600)1(u 3
005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J
令
()
0)
1(u )1(x J *
4=?? 得
()0600)1(u 3
01.06)1(u 01.0=-+
-
得 600)1(*u =
得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+= 可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 3
1700)2(*u -
=
于是由600)1(*u 0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+
及 )
4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 3
1
700)2(*u -=-=-
=
可得
900
)4(* ,800)3(* ,700)2(* ,600)1(*0)5( ,300)4( ,0)3( ,0)2( ,0)1(=========u u u u x x x x x
即有以上最优决策序列：
Remark :
若不按以上最优决策，按每季销售量生产
1200
)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========
则显然总有存为总量0，但总费用： ()
∑=+=
4
1
2
4700,12)i (x )i (u
005.0J 要多用900元。
《最优控制理论》 课程总结 姓名：肖凯文 班级：自动化1002班 学号：0909100902 任课老师：彭辉
摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law
电子科技大学计算机学院标准实验报告 （实验）课程名称最短路径规划 电子科技大学教务处制表
实验报告 学生姓名：李彦博学号：2902107035 指导教师：陈昆 一、实验项目名称：最短路径规划 二、实验学时：32学时 三、实验原理：Dijkstra算法思想。 四、实验目的：实现最短路径的寻找。 五、实验内容： 1、图的基本概念及实现。 一、图的定义和术语 图是一种数据结构。 ADT Graph{ 数据对象V ：V是据有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R ： R={VR} VR={
最优控制 先修课程:常微分方程，最优化方法最优控制问题是具有特殊数学结构的一类最优化问题，在科学、工程和管理乃至人文领域都存在大量的最优控制问题。最优控制研究动态系统在各种约束条件下，寻求目标泛函取极值的最优控制函数与最优状态轨线的数学理论和方法，它是静态最优化在无穷维空间的扩展。希望学生通过本课程的学习，能够结合实际背景，建立最优控制的模型，理解求解最优控制的三大类基本方法的数学思想，灵活地掌握这些方法的基本过程，并能解释计算结果的意义。主要内容如下：最优控制问题及其建模；数学基础；变分法及其在最优控制的应用；极小值原理及其应用；动态规划方法及其应用；应用。 最优控制 一、课程基本信息 1.先修课程：数学系本科包括到大三的全部课程 2.面向对象：理学院数学系各专业 3.推荐教学参考书：吴沧浦，《最优控制的理论与方法》，国防工业出版社，2000 王朝珠等，《最优控制理论》，科学出版社，2003 邢继祥等，《最优控制应用基础》，科学出版社，2003 W. L. Brogan, Modern C ontrol Theor y, (3th eidition), Prentice-Hall, Englew ood C liffs,1991 二、课程的性质和任务本课程是数学与应用数学专业本科生高年级选修课程之一。从数学的角度，最优控制问题是最优化问题中具有特殊结构的一类问题。就问题的来源看，它又是控制问题。最优控制研究动态系统在各种约束条件下寻求使目标泛函取极值的最优控制函数和最优状态轨线的数学理论和方法。最优控制问题涉及范围广跨度大，几乎理工医农，管理军事乃至人文经法领域，都存在着大量此类问题。最优化已是寻求最优系统和结构，挖掘系统潜力的有力武器，学会求解最优控制问题，是应用数学工作者的最基本素养之一。通过本课程的主要任务是，从各个教学环节引导学生认识不同数学问题的特点和相应数学模型的结构，自己学会分析实际问题，建立各种数量之间的联系，写出正确的合理的最优控制的模型；领会求解最优控制问题解法是如何提出的数学思想，并学会如何根据这些思想来构成相应方法的技巧；学会能正确地解释计算结果的物理意义的能力。最根本的是学会和培养系统地、动态地、综合地考虑，认识和处理问题的思想方法和动手能力。这样，通过本课程的各个教学环节，提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。三、教学内容和要求基本要求：期望学生能够结合工程背景认识最优控制问题的数学结构的特点，从而能灵活地建立实际问题的数学模型，深刻领会求解它们的三大类方法的数学思想，熟练地掌握这些方法的运用步骤，能正确地解释求解结果的意义，并学会最优控制问题的数值解法。第一章最优控制与最优化问题 1．1 最优化问题的源和流 1．2 最优控制问题的例子和数学描述 1．3 最优控制问题求解的基本思想第二章数学基础 2．1 向量与矩阵的求导法则 2．2 函数极值的几个条件 2．3 线性微分方程的解第三章变分法 3．1 泛函的变分与极值 3．2 Euler方程 3．3 等式约束条件下泛函极值问题的必要条件 3．4 几类可用变分方法求解的最优控制问题 3．5 应用实例第四章极小值原理 4．1 极值曲线场与充分条件 4．2 有控制变量不等式约束的极小值原 理 4．3 含有状态变量不等式的极小值原理 *4．4 极小值原理的证明 4．5 极小值原理的应用实例 4．6 离散极小值原理第五章极小值原理的几类应用 5．1 时间最短最优控制问题 5．2 燃料最省最优控制问题 5．3 线性二次型最优控制问题第六章动态规划 6．1 多阶段决策问题与动态规划思想 6．2 用动态规划思想解最优化问题 6．3 离散系统最优控制问题的动态规划解法 6．4 离散线性二次型问题的动态规划解 6．5 连续系统做优控制问题的动态规划解和HJB方程 6．6 连续二次型问题的动态规划解 6．7 Riccatti方程的求解第七章最优控制的新发展 7．1 对策论和微分对策 7．2 随机最优控制四．实验（上机）内容和基本要求本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分算法自己上机实现。要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ matleb/Maple）和至少一种编程语言。教学实验就是编程解决实际问题。至少做有求解
MATLAB实现基于蚁群算法的机器人路径规划 1、问题描述 移动机器人路径规划是机器人学的一个重要研究领域。它要求机器人依据某个或某些优化原则(如最小能量消耗，最短行走路线，最短行走时间等)，在其工作空间中找到一条从起始状态到目标状态的能避开障碍物的最优路径。机器人路径规划问题可以建模为一个有约束的优化问题，都要完成路径规划、定位和避障等任务。 2 算法理论 蚁群算法（Ant Colony Algorithm，ACA），最初是由意大利学者Dorigo M. 博士于1991 年首次提出，其本质是一个复杂的智能系统，且具有较强的鲁棒性，优良的分布式计算机制等优点。该算法经过十多年的发展，已被广大的科学研究人员应用于各种问题的研究，如旅行商问题，二次规划问题，生产调度问题等。但是算法本身性能的评价等算法理论研究方面进展较慢。 Dorigo 提出了精英蚁群模型（EAS），在这一模型中信息素更新按照得到当前最优解的蚂蚁所构造的解来进行，但这样的策略往往使进化变得缓慢，并不能取得较好的效果。次年Dorigo 博士给出改进模型（ACS），文中改进了转移概率模型，并且应用了全局搜索与局部搜索策略，来得进行深度搜索。Stützle 与Hoos给出了最大-最小蚂蚁系统（MAX-MINAS），所谓最大-最小即是为信息素设定上限与下限，设定上限避免搜索陷入局部最优，设定下限鼓励深度搜索。蚂蚁作为一个生物个体其自身的能力是十分有限的，比如蚂蚁个体是没有视觉的，蚂蚁自身体积又是那么渺小，但是由这些能力有限的蚂蚁组成的蚁群却可以做出超越个体蚂蚁能力的超常行为。蚂蚁没有视觉却可以寻觅食物，蚂蚁体积渺小而蚁群却可以搬运比它们个体大十倍甚至百倍的昆虫。这些都说明蚂蚁群体内部的某种机制使得它们具有了群体智能，可以做到蚂蚁个体无法实现的事情。经过生物学家的长时间观察发现，蚂蚁是通过分泌于空间中的信息素进行信息交流，进而实现群体行为的。 下面简要介绍蚁群通过信息素的交流找到最短路径的简化实例。如图2-1 所示，AE 之间有两条路ABCDE 与ABHDE，其中AB，DE，HD，HB 的长度为1，BC，CD 长度为0.5，并且，假设路上信息素浓度为0，且各个蚂蚁行进速度相同，单位时间所走的长度为1，每个单位时间内在走过路径上留下的信息素的量也相同。当t=0时，从A 点，E 点同时各有30 只蚂蚁从该点出发。当t=1，从A 点出发的蚂蚁走到B 点时，由于两条路BH 与BC 上的信息素浓度相同，所以蚂蚁以相同的概率选择BH 与BC，这样就有15 只蚂蚁选择走BH，有15 只蚂蚁选择走BC。同样的从E 点出发的蚂蚁走到D 点，分别有15 只蚂蚁选择DH 和DC。当t=2 时，选择BC 与DC的蚂蚁分别走过了BCD 和DCB，而选择BH 与DH 的蚂蚁都走到了H 点。所有的蚂蚁都在所走过的路上留下了相同浓度的信息素，那么路径BCD 上的信息素的浓度是路径BHD 上信息素浓度的两倍，这样若再次有蚂蚁选择走BC 和BH 时，或选择走DC 与DH 时，都会以较大的概率选择信息素浓度高的一边。这样的过程反复进行下去，最短的路径上走过的蚂蚁较多，留下的信息素也越多，蚁群这样就可以找到一条较短的路。这就是它们群体智能的体现。 蚁群算法就是模拟蚂蚁觅食过程中可以找到最短的路的行为过程设计的一种仿生算法。在用蚁群算法求解组合优化问题时，首先要将组合优化问题表达成与信息素相关的规范形式，然后各个蚂蚁独立地根据局部的信息素进行决策构造解，并根据解的优劣更新周围的信息素，这样的过程反复的进行即可求出组合优化问题的优化解。 归结蚁群算法有如下特点： （1）分布式计算：各个蚂蚁独立地构造解，当有蚂蚁个体构造的解较差时，并不会影响整体的求解结果。这使得算法具有较强的适应性； （2）自组织性：系统学中自组织性就是系统的组织指令是来自系统的内部。同样的蚁
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
最优控制理论的发展与展 望 Last revision on 21 December 2020
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control; optimal Technology；Genetic Algorithm；Predictive Control 1引言 最优控制理论是本世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国着名学者钱学森在1954年编着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国着名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联着名学者庞特里亚金的“最大值原理”。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2最优控制理论的几个重要内容 最优控制理论的基本思想 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律(或控制策略),使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小(大)值。
文章编号 2 2 2 一种快速神经网络路径规划算法α 禹建丽? ∏ √ 孙增圻成久洋之 洛阳工学院应用数学系日本冈山理科大学工学部电子工学科 2 清华大学计算机系国家智能技术与系统重点实验室日本冈山理科大学工学部信息工学科 2 摘要本文研究已知障碍物形状和位置环境下的全局路径规划问题给出了一个路径规划算法其能量函数 利用神经网络结构定义根据路径点位于障碍物内外的不同位置选取不同的动态运动方程并针对障碍物的形状设 定各条边的模拟退火初始温度仿真研究表明本文提出的算法计算简单收敛速度快能够避免某些局部极值情 况规划的无碰路径达到了最短无碰路径 关键词全局路径规划能量函数神经网络模拟退火 中图分类号 ×°文献标识码 ΦΑΣΤΑΛΓΟΡΙΤΗΜΦΟΡΠΑΤΗΠΛΑΝΝΙΝΓ ΒΑΣΕΔΟΝΝΕΥΡΑΛΝΕΤ? ΟΡΚ ≠ 2 ? ? ≥ 2 ≥ ∏ ΔεπαρτμεντοφΜατηεματιχσ ΛυοψανγΙνστιτυτεοφΤεχηνολογψ Λυοψανγ
ΔεπαρτμεντοφΕλεχτρονιχΕνγινεερινγ ΦαχυλτψοφΕνγινεερινγ ΟκαψαμαΥνι?ερσιτψοφΣχιενχε 2 Ριδαι2χηο 2 ?απαν ΔεπαρτμεντοφΧομπυτερΣχιενχε Τεχηνολογψ ΣτατεΚεψΛαβοφΙντελλιγεντΤεχηνολογψ Σψστεμσ ΤσινγηυαΥνι?ερσιτψ Βει?ινγ ΔεπαρτμεντοφΙνφορματιον ΧομπυτερΕνγινεερινγ ΦαχυλτψοφΕνγινεερινγ ΟκαψαμαΥνι?ερσιτψοφΣχιενχε 2 Ριδαι2χηο 2 ?απαν Αβστραχτ ∏ √ √ √ × ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ 2 ∏ √ × ∏ ∏ ∏ ∏ √ ∏ Κεψωορδσ ∏ ∏ ∏ 1引言Ιντροδυχτιον 机器人路径规划问题可以分为两种一种是基于环境先验完全信息的全局路径规划≈ 另一种是基于传感器信息的局部路径规划≈ ?后者环境是未知或者部分未知的全局路径规划已提出的典型方法有可视图法 ! 图搜索法≈ ! 人工势场法等可视图法的优点是可以求得最短路径但缺乏灵活性并且存在组合爆炸问题图搜索法比较灵活机器人的起始点和目标点的改变不会造成连通图的重新构造但不是任何时候都可以获得最短路径可视图法和图搜索法适用于多边形障碍物的避障路径规划问题但不适用解决圆形障碍物的避障路径规划问题人工势场法的基本思想是通过寻找路径点的能量函数的极小值点而使路径避开障碍物但存在局部极小值问题且不适于寻求最短路径≈ 文献≈ 给出的神经网络路径规划算法我们称为原算法引入网络结构和模拟退火等方法计算简单能避免某些局部极值情况且具有并行性及易于从二维空间推广到三维空间等优点对人工势场法给予了较大的改进但在此算法中由于路径点的总能量函数是由碰撞罚函数和距离函数两部分的和构成的而路径点 第卷第期年月机器人ΡΟΒΟΤ? α收稿日期
GIS 环境下的最短路径规划算法 ―――此处最短路理解为路径长度最小的路径 02计算机1班刘继忠 学号：2002374117 1.整体算法说明： 将图的信息用一个邻接矩阵来表达，通过对邻接矩阵的操作来查找最短路进，最短路径的查找采用迪杰斯特拉算法，根据用户给出的必经结点序列、起点、终点进行分段查找。 2.各函数功能及函数调用说明。 1).void Welcome() 程序初始化界面，介绍程序的功能、特点及相关提示 2) void CreatGraph(MGraph *G,char buf[]) 把图用邻接矩阵的形式表示,并进行 初始化。 3).int ShortestPath(MGraph *G,int jump,int end,int avoid[],int P[MAXSIZE][MAXSIZE],int Dist[],int ShPath[])根据用户给出的起点、终点、必经结点、避开结点进行最短路径的分段查找。 4).void Print(int jump,int end,int Dist[],int ShPath[]) 输出找到的最短路径所经的 结点和路径长度。 函数调用图： 3.各函数传入参数及返回值说明： 1).void Welcome() 无传入和返回值 2) void CreatGraph(MGraph *G,char buf[ ]) MGraph *G为主函数中定义的指向存放图的信息的指针变量。 char buf[ ]为主函数中定义的用来存放在图的相关信息录入时的界面信息的数组，以便以后调用查看各结点的信息。
无返回值。 3).int ShortestPath(MGraph *G,int jump,int end,int avoid[],int P[MAXSIZE][MAXSIZE],int Dist[ ],int ShPath[ ]) MGraph *G指向存放图的信息的指针变量。 int jump起点，int end终点，int avoid[ ] 避开结点序列。 int P[MAXSIZE][MAXSIZE]用来记录各点当前找到的最短路径所经过 的结点。 int Dist[ ] 记录各结点的当前找到的最短路径的长度。 int ShPath[ ]用来存放用户需要的最短路径所经的各结点。 返回最短路径查找是否成功的信息。（return SUCCEED；return ERROR）4).void Print(int jump,int end,int Dist[],int ShPath[]) int jump起点，int end终点。 int Dist[ ] 记录各结点的当前找到的最短路径的长度。 int ShPath[ ]用来存放用户需要的最短路径所经的各结点。 无返回值。 4．用户说明： ①源程序经编译连接后运行，出现程序的初始化界面，其内容为介绍程序的 功能、特点及相关提示。如下： Welcome to shortest path searching system. Instructions Function: 1. Personal travelling route choosing. 2. Assistan helper in city's traffic design. 3. Shortes path choose in the comlicated traffic net of the city. Characteristic: It is convient,you could set vital point you must travel,and the point you must avoid. Prompt: If the condition is too secret ,maybe there will have no path available. Designer: Liu jizhong. Complate-data: 2004. 3. 21 CopyRight: Shared program,welcome to improve it. Press anykey to enter the program... ②按任意键进入图的信息录入界面根据提示即可完成图的信息的录入。
最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。
§ 7.4 动态规划与离散系统最优控制 1. 动态规划基本原理 最优性原则应有如此性质: 即无论(整个过程的)初始状态和初始决策如何，其余(后段)各决策对于由第一个决策(后)所形成的状态作为(后段)初始状态来说，必须也是一个最优策略。 A B C D E 最优性原则 图7.5
用式表示 1() ()min{(,())(())},1,2,,n n n n n u x J x R x u x J u x n N -=+= 阶段变量n (分析次序) 状态变量x 决策变量()n u x 决策组11{,, ,}n n u u u - 损失(效益)函数:(,)n R x u 对x 用决策n u 所付代价(效益) 后部最优策略函数()n J x 由x 至终最小损失(最大效益)
A 到D 的最短路线 解 3阶段的决策过程， 在CD 段(首), (分析)阶段变量1n =; 7.6 图A 2C 1 B D 2 B 3 B 1 C 3 C 4 5 55 6 3 3) b (A 2 C 1B D 2 B 3 B 1 C 3 C 4 4 5 55 55 66677 7 3 3 (a) 3 =n 1 =n 2 =n
111111*********()(,)3,();()(,)5,();()(,)3,(). J C R C D u C D J C R C D u C D J C R C D u C D ========= 在BC 段(首), (分析)阶段变量2n =； 21111,2,3 ()min{(,)()} min{73,65,53}8i i i J B R B C J C ==+=+++=，213()u B C =； 22211,2,3 ()min{(,)()} min{63,55,73}9i i i J B R B C J C ==+=+++=，221()u B C =； 23311,2,3 ()min{(,)()} min{53,65,73}8 i i i J B R B C J C ==+=+++=，231()u B C =；
实验报告 课程名称：现代控制工程与理论实验课题：最优控制 学号：12014001070 姓名：陈龙 授课老师：施心陵
最优控制 一、最优控制理论中心问题： 给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值） 二、最优控制动态规划法 对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。 最优性原理：在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策 三、线性二次型性能指标的最优控制 用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数，这样的控制为开环控制当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。 求解这样的问题一般来说是很困难的。但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。
一．实验目的 1.熟悉Matlab的仿真及运行环境； 2.掌握系统最优控制的设计方法； 3.验证最优控制的效果。 二．实验原理 对于一个给定的系统，实现系统的稳定有很多途径，所以我们需要一个评价的指标，使系统在该指标下达到最优。如果给定指标为线性二次型，那么我们就可以利用MATLAB快速的计算卡尔曼增益。 三．实验器材 PC机一台，Matlab仿真平台。 四．实验步骤 例题1 （P269）考虑液压激振系统简化后的传递函数方框图如下，其中K a为系统前馈增益，K f为系统反馈增益，w h为阻尼固有频率。（如图5-5所示） 将系统传递函数变为状态方程的形式如下： , 确定二次型指标为: . 求最优控制使性能指标J最小。
航天器的姿态与轨道最优控制 董丽娜唐晓华吴朝俊司渭滨(第八小组) （西安交通大学电气工程学院，陕西省，西安市 710049） 【摘要】从航天器的轨道运动学方程出发, 运用线性离散系统最优控制理论, 提出了一种用于航天器轨道维持与轨道机动的最优控制方法, 建立了相关的最优控制模型并给出了求解该模型的算法。仿真计算结果表明, 本文提出的最优控制方法是正确和可行的。 【关键词】航天器轨道保持轨道机动最佳控制 Optimal Control of Spacecraft State and Orbit Dong LiNa，Tang XiaoHua，Wu ChaoJun，Si WeiBin （EE School of Xi’an Jiaotong university，Xi’an, Shannxi province, 710049）【Abstract】This paper provides a new optimal control method for orbital maintenance and maneuver ,which begins with the kinetics equation of spacecraft and is based on the linear discrete optimal control theory , establishes the relative optimal control model and gives its solution. The simulation results show that the given optimal control method in this paper is correct and feasible. 【Key word】Spacecraft ，Orbital keeping ，Orbital maneuver ，Optimal control 1 引言 一般地,常见的航天器有:运载火箭、人造卫星、载人飞船、宇宙飞船、空间站等。宇宙飞船也称太空飞船，它和航天飞机都是往返于地球和在轨道上运行的航天器（如空间站) 。
学号： 《算法设计与分析B》 大作业 题目多种方法解决多段图的最短 路径问题 学院计算机科学与技术学院专业软件工程 班级 姓名 指导教师 2014 年12 月26 日
多种方法解决多段图的最短路径问题 摘要 多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。本文主要描述的是分别用动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况。文章首先阐述了各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。文章最后讲述了若这几种方法运行到有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建议。 关键字：多段图最短路径问题；动态规划法；分支限界法；贪心法
目录 摘要................................................................. II 1 引言 (1) 2 问题描述 (1) 3 贪心法求解 (2) 3.1 贪心法介绍 (2) 3.2 问题分析 (3) 4 动态规划法求解 (3) 4.1 动态规划法介绍 (3) 4.2 问题分析 (4) 5 分支限界法求解 (5) 5.1 分支限界法介绍 (5) 5.2 问题分析 (5) 6 程序清单 (6) 6.1 源代码 (6) 6.2 结果截图 (9) 7 结果分析 (9) 8 课程体会 (10) 9 参考文献 (10)
1引言 当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。例如在开车自驾游的一个过程中，排除其它影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。 大二开设的《数据结构》课程中就包括最短路径这方面问题的讨论。当时老师介绍了分别面向单源（Dijkstra算法）与非单源（Floyd算法）两种问题的算法——这是我们最早的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。 在这学期的《算法设计与分析》课程中，我们学习了很多基本的算法设计技术，蛮力法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分支限界法等，它们把以前学习的诸多方法都命名并归纳分类起来，其中有多种算法都可以用来解决最短路径问题，并且该问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大、本文将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其它的图做一些拓展。 2问题描述 设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。 由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，可以将多段图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编号。 这里我们讨论的多段图是可以分段的，各段之间的关系最好是单向的，即对该有向图来说，图中是没有环的存在的。
MATLAB 实现基于蚁群算法的机器人路径规划 1、问题描述 移动机器人路径规划是机器人学的一个重要研究领域。它要求机器人依据某个或某些优化原则（如最小能量消耗，最短行走路线，最短行走时间等），在其工作空间中找到一条从起 始状态到目标状态的能避开障碍物的最优路径。机器人路径规划问题可以建模为一个有约束的优化问题，都要完成路径规划、定位和避障等任务。 2 算法理论 蚁群算法（Ant Colony Algorithm ，ACA ），最初是由意大利学者Dorigo M. 博士于1991 年首次提出，其本质是一个复杂的智能系统，且具有较强的鲁棒性，优良的分布式计算机制等优点。该算法经过十多年的发展，已被广大的科学研究人员应用于各种问题的研究，如旅行商问题，二次规划问题，生产调度问题等。但是算法本身性能的评价等算法理论研究方面进展较慢。 Dorigo 提出了精英蚁群模型（EAS ），在这一模型中信息素更新按照得到当前最优解的蚂蚁所构造的解来进行，但这样的策略往往使进化变得缓慢，并不能取得较好的效果。次年Dorigo 博士给出改进模型（ACS ），文中改进了转移概率模型，并且应用了全局搜索与局部搜索策略，来得进行深度搜索。 Stützle 与Hoos 给出了最大-最小蚂蚁系统（MAX-MINAS ），所谓最大-最小即是为信息素设定上限与下限，设定上限避免搜索陷入局部最优，设定下限鼓励深度搜索。蚂蚁作为一个生物个体其自身的能力是十分有限的，比如蚂蚁个体是没有视觉的，蚂蚁自身体积又是那么渺小，但是由这些能力有限的蚂蚁组成的蚁群却可以做出超越个体蚂蚁能力的超常行为。蚂蚁没有视觉却可以寻觅食物，蚂蚁体积渺小而蚁群却可以搬运比它们个体大十倍甚至百倍的昆虫。这些都说明蚂蚁群体内部的某种机制使得它们具有了群体智能，可以做到蚂蚁个体无法实现的事情。经过生物学家的长时间观察发现，蚂蚁是通过分泌于空间中的信息素进行信息交流，进而实现群体行为的。 下面简要介绍蚁群通过信息素的交流找到最短路径的简化实例。如图2-1 所示，AE 之间有两条路ABCDE 与ABHDE ，其中AB ，DE，HD，HB 的长度为1，BC，CD 长度为0.5，并且，假设路上信息素浓度为0，且各个蚂蚁行进速度相同，单位时间所走的长度为1，每个单位时间内在走过路径上留下的信息素的量也相同。当t=0 时，从A 点，E 点同时各有30 只蚂蚁从该点出发。当t=1，从A 点出发的蚂蚁走到B 点时，由于两条路BH 与BC 上的信息素浓度相同，所以蚂蚁以相同的概率选择BH 与BC ，这样就有15 只蚂蚁选择走BH，有15 只蚂蚁选择走BC 。同样的从E 点出发的蚂蚁走到D 点，分别有15 只蚂蚁选择DH 和DC。当t=2 时，选择BC 与DC 的蚂蚁分别走过了BCD 和DCB ，而选择BH 与DH 的蚂蚁都走到了H 点。所有的蚂蚁都在所走过的路上留下了相同浓度的信息素，那么路径BCD 上的信息素的浓度是路径BHD 上信息素浓度的两倍，这样若再次有蚂蚁选择走BC 和BH 时，或选择走DC 与DH 时，都会以较大的概率选择信息素浓度高的一边。这样的过程反复进行下去，最短的路径上走过的蚂蚁较多，留下的信息素也越多，蚁群这样就可以找到一条较短的路。这就是它们群体智能的体现。 蚁群算法就是模拟蚂蚁觅食过程中可以找到最短的路的行为过程设计的一种仿生算法。在用蚁群算法求解组合优化问题时，首先要将组合优化问题表达成与信息素相关的规范形式，然后各个蚂蚁独立地根据局部的信息素进行决策构造解，并根据解的优劣更新周围的信息素，这样的过程反复的进行即可求出组合优化问题的优化解。 归结蚁群算法有如下特点： （1）分布式计算：各个蚂蚁独立地构造解，当有蚂蚁个体构造的解较差时，并不会影响整体的求解结果。这使得算法具有较强的适应性； （2）自组织性：系统学中自组织性就是系统的组织指令是来自系统的内部。同样的蚁群算法中的各个蚂蚁的决策是根据系统内部信息素的分布进行的。这使得算法具有较强的鲁棒性； （3）正反馈机制与负反馈机制结合：若某部分空间上分布的信息素越多，那么在这个空间上走过的蚂蚁也就越多；走过的蚂蚁越多，在那个空间上留下的信息素也就越多，这就是存在的正反馈机制。但蚁群算法中解的构造是通过计算转移概率实现的，也就是说构造解的时候可以接受退化解，这限制了正反馈机制，
最优路径规划算法设计 一、 问题概述 兵力机动模型的功能是支持实施机动的实体按照指定路线，由作战空间的一点向另外一点的位置移动，并带入实体在移动过程中发生变化的状态信息。 兵力机动模型包括行军模型、战斗转移模型、机动能力评估模型。涉及的关键算法包括最优路径规划、行军长径计算、行军时间计算、行军所需油料计算、行军方案评估与优选等。 最优路径问题又称最短路问题。是网络优化中的基本问题，如TSP 问题等。下面先举例说明该问题。 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 旅行商问题（TSP －traveling salesman problem ） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地？） 最短路问题是组合优化中的经典问题，它是通过数学方法寻找离散时间的最优编排、分组、次序、或筛选等，这类问题可用数学模型描述为 min )(x f ..t s 0)(≥x g D x ∈. 其中，)(x f 为目标函数，)(x g 为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合。 一个组合最优化问题可用三个参数),,(f F D 表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域}0)(,|{≥∈=x g D x x F ，F 中的任何一个元素称为该问
题的可行解，f 表示目标函数，满足}|)(m in{)(*F x x f x f ∈=的可行解*x 称为该问题的最优解。组合最优化的特点是可行解集合为有限点集。由直观可知，只要将D 中有限个点逐一判别是否满足0)(≥x g 的约束并比较目标值的大小，就可以得到该问题的最优解。 以上述TSP 问题为例，具体阐述组合优化问题： 此模型研究对称TSP 问题,一个商人欲到n 个城市推销产品，两个城市i 和j 之间的距离ji ij d d =，用数学模型描述为 ∑≠j i ij ij x d min 1..1 =∑=n j ij x t s n i ,,2,1Λ=， 1..1 =∑=n i ij x t s n j ,,2,1Λ=， },,,2,1{,2||2,1||,n s n s s x s j i ij Λ?-≤≤-≤∑∈ j i n j i x ij ≠=∈,,,2,1,},1,0{Λ 约束条件决策变量1=ij x 表示商人行走的路线包含从城市i 到j 的路，而0=ij x 表示商人没有选择走这条路；j i ≠的约束可以减少变量的个数，使得模型中共有 )1(-?n n 个决策变量。 每一个组合优化问题都可以通过完全枚举的方法求得最优解。枚举是以时间为代价的，在TSP 问题中，用n 个城市的一个排列表示商人按这个排列序推销并返回起点。若固定一个城市为起终点，则需要)!1(-n 个枚举。以计算机s 1可以完成24个城市所有路径枚举为单位，则25个城市的计算时间为：以第1个城市为起点，第2个到达城市有可能是第2个、第3个、……、第25个城市。决定前两个城市的顺序后，余下是23个城市的所有排列，枚举这23个城市的排列需要s 1，所以，25个城市的枚举需要24s 。类似地归纳，城市数与计算时间的关系如表1所示。