相似图形1

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似多边形
F E
D C
B A
1.两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为
2.在四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′中,∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′,•∠D=∠D ′,
且2
''''''''3AB BC CD DA A B B C C D D A ====
,则四边形________∽四边形________,且它们的相似比是________．
3. 下列说法中正确的是（ ）
A ．相似形一定是全等形
B ．不全等的图形不是相似形
C ．全等形一定是相似形
D ．不相似的图形可能是全等形 三、应用
例：如图,已知四边形AEFD ∽四边形EBCF 。

（1）写出它们相等的角及对应边的比例式； （2）若 AD = 3,EF = 4,求 BC 的长. 对应练习
已知如图所示的两个梯形相似,求出未知的x,y,z 的长和∠α,∠β的度数． 四、总结 知识点 方法和技巧 五、作业
1．两个多边形相似的条件是（ ）
A ．对应角相等
B ．对应边相等
C ．对应角相等,对应边相等
D ．对应角相等,对应边成比例 2．下列图形是相似多边形的是（ ）
A ．所有的平行四边形；
B ．所有的矩形
C ．所有的菱形；
D ．所有的正方形
3.E,F 分别为矩形ABCD 的边AD,BC 的中点,若矩形ABCD ∽矩形EABF,AB ＝1,求矩形ABCD 的面积。

4.把一个矩形剪去一个正方形,若剩余的矩形和原矩形相似,求原矩形的长与宽的比．。

教你如何求比值相似图形是数学中的一个非常重要的内容，它揭示了图形之间的大小及位置关系，不仅在数学中占有重要的地位，而且在其他自然科学中也有着极其广泛的作用。

在学习相似图形前,我们必须掌握线段的比,这是学习相似图形的入门功课,下面将总结出如何求比值的方法,我们一起来看看吧！一、运用比例的性质对已知的等式,利用比例的性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值。

例1 已知21=-y y x ，则y x =_______. 分析:本题可以由比例的等比性质解决.解:把原等式变形为21y y x =-。

根据等比性质，得221y y y x =++-，即23y x =。

所以23=y x . 点评：本题是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷。

对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求解.跟踪训练1 已知23=+x y x ，则yx =________。

二、等比设值法例2 若654z y x ==，求z y x z y x --++2332的值。

分析：我们可以利用题中给出的等量关系，通过设参数k 求解.解：设654z y x ===k ，则x=4k ，y=5k,z=6k. 所以z y x z y x --++2332=431431*********-=-=--++kk k k k k k k .点评：此种方法尽管增设了参数k ，但在变形过程中k 又会自行消失,参数起到了很好的桥梁作用.跟踪训练2 已知753z y x ==，求： （1）y z y x -+；（2）zy x z y x +-++35432。

三、代入消元法在求一个比的值时，可根据已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示,整理后约去这个字母，求出比的值.例3 已知x ∶y ∶z=1∶2∶3，求zy x z y x 4272++--的值。

分析：因已知比中有1，故可用x 表示其他字母，然后代入所求式即可求值.解:因为x ∶y=1∶2,所以y=2x.因为x ∶z=1∶3，所以z=3x.所以z y x z y x 4272++--=1724124214-=++--xx x x x x . 点评：若已知比式中有1，可用1所对应的字母表示其他字母，然后代入所求式求值比较简捷.若没有1,可增设字母k ，如本题可设x=k,y=2k,z=3k 然后仿照例2 求解。

九上数学图形相似学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人 得分一、单选题 1．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=;若6,10AB BC ==,则EF 的长为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3 2．已知线段AB 的长为2厘米，点P 是AB 的黄金分割点，线段PB 的长是（ ） A ．512- B ．51-或35- C ．35- D ．51- 3．如图，在ABC 中，点E 是线段AC 上一点，12AE CE =∶∶，过点C 作CD AB 交BE的延长线于点D ，若ABE △的面积等于4，则BCD △的面积等于（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32 4．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP △与ECP △相似的是（ ）A ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC = 5．如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A ．3B ．51+C ．221+D ．23+ 6．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点()2,5A -，则点C 的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,5-- 7．如图，在平面直角坐标系中，对ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A 的对应点的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)--C ．(1,2)-D ．(1,2) 8．如图，在四边形ABDC 中，不等长的两对角线AD 、BC 相交于O 点，且将四边形ABDC 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA ：OB ＝OC ：OD ＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）A ．甲与丙相似，乙与丁相似B ．甲与丙相似，乙与丁不相似C ．甲与丙不相似，乙与丁相似D ．甲与丙不相似，乙与丁不相似评卷人得分二、填空题 9．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．10．如图，小芸用灯泡O 照射一个矩形相框ABCD ，在墙上形成影子A ′B ′C ′D ′．现测得OA ＝20cm ，OA ′＝50cm ，相框ABCD 的面积为80cm 2，则影子A ′B ′C ′D ′的面积为_____cm 2．11．数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，E 为BC 的中点，F 为DE 上一动点，P 为AF 中点，连接PC ，则PC 的最小值是______．13．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M 、点N 分别是正方形ABCD 的边AD 、AB 的中点，ME AD ⊥，NF AB ⊥，EF 过点A ，且80ME =步，245NF =步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为__________米．14．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A ，B 的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移2个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．评卷人得分三、解答题 15．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC 三个顶点坐标分别为A （0，4），B （﹣4，1），C （2，0）．（1）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并直接写出点B 1的坐标 ． （2）在（1）的条件下，若点P 在x 轴上，当B 1P ＋P A 的值最小时，画出点P 的位置，并直接写出B 1P ＋P A 的最小值．（3）在x 轴上是否存在一点M ，使△MAC 是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知356==x y z ，且326=+y z ，求x ，y 的值． 17．在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，点P 是边AD 上一点．（1）若BP 平分ABD ∠，交AE 于点G ，PF ⊥BD ，如图（1），证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE EC ⊥，如图（2），求证：AE AB DE AP ⋅=⋅．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．19．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．20．在ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，连接BF ，DE ，M ，N 分别是BF ，DE 的中点，连接EM ，FN ．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若12AB =，5EM EN ==，则四边形ABCD 的面积为__________．21．将一副三角尺如图1放置，其中AD 为Rt △ABC 中BC 边上的高，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点M 和N ．(1)求证：△AMD ∽△CND ；(2)如图2，将Rt △DEF 绕点D 旋转，此时EF ∥BC ，且E ，A ，F 共线，判断AE AM AD AN＝是否成立，并给出证明．22．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，点M 是AD 的中点，连接MC 交BD 于点N ，ON ＝1．(1)求证：△DMN ∽△BCN ；(2)求BD 的长；(3)若△DCN 的面积为2，直接写出四边形ABNM 的面积．23．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是512-．(1)如图①，在ABC 中，∠A ＝36°，AB AC =，∠ACB 的平分线CD 交腰AB 于点D ．请你根据所学知识证明：点D 为腰AB 的黄金分割点：(2)如图②，在Rt ABC △中，∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的高，AD BD >，51AB =+，若点D 是AB 的黄金分割点，求BC 的长，24．如图，BD ，AC 相交于点P ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，∠DAP ＝∠CBP ．(1)求证：△ADP ∽△BCP ；(2)直接回答△ADP 与△BCP 是不是位似图形；(3)若AB ＝8，CD ＝4，DP ＝3，求AP 的长．。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。