大学物理上册电学2

ΦE = ∫ E ⋅ dS = 1 ∑ qi εo S内
若S内的电荷是连续分布：
1 ΦE = ∫ E ⋅ dS = ε ∫ ρ ⋅ dV
oV
此定理是用电通量表示的电场与场源电荷关系的规律。
E ⋅ dS = 1 ∑ q i ∫
εo
S内
或
E ⋅ dS = 1 ∫ ρ ⋅ dV ∫
εo V
说明
1º 定理中E是所取的封闭面S（高斯面）上的场强， 它是由全部电荷（S内外）共同产生的合场强。 2º ΦE只决定于S面包围的电荷，S面外的电荷对ΦE 无贡献。 高斯定理的物理意义： 定理给出了静电场的重要性质 ——静电场是有源场 ∑ qi > 0 ΦE > 0 电力线穿出 正负电荷就是场源 ∑ qi < 0 ΦE < 0 电力线穿入
Φ E = ∫ E ⋅ dS ，从而求得E。
Φ E = 1 ∑ qi εo S 内
例 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（r<R）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 o p
r+dr c qo
A = ∫ F ⋅ dl = ∫ qo E ⋅ dl = qo∫ (E1 + E2 + + Ek ) ⋅ dl
= qo∫ E1 ⋅ dl +qo∫ E2 ⋅ dl + +qo∫ Ek ⋅ dl
dl
每一项都与路径无关
F
结论：
1º 电场力作功与路径无关，电场力是 保守力，静电场是保守场。 2º 作功A与qo的大小成正比,移动单位正 电荷作功： A = ∫ E ⋅ dl
r
o dq'
.
dE' dE
R
r
例8. 求均匀带电球的电场分布。 ΦE = ∫ E ⋅ dS = 1 ∫ ρ ⋅ dV εo V 设半径为R，电量为+q。 解：取以r为半径的同心高斯球面S
r≥R dq ΦE = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr2 dE' R p . Φ E = 1 ∫ dq = 1 q o εo V εo r q dE ∴E = dq' 4πεor2 方向为 r r≤R E ΦE = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS = E ⋅ 4πr2 1 Φ E = 1 ∫ dq = ε ∫ ρ ⋅ dV = ρ 4 π r 3 εo 3 εo V oV q ∴E = r 方向为 r 3 4πεoR r o R
U =0 E ⋅ dl p
电荷分布在有限空间， 取无穷远为 U= 0 点。 电势零点的选取： 电荷分布在无限空间， 取有限远点为U= 0 点。 一般工程上， 选大地或设备外壳为U=0点。
注：
Ua − Ub = ∫
b E ⋅ dl a
根据定义，若已知电势分布U(r) 求移动电荷q，电场力作功：
A = q∫
例4. 已知:
半径为 a 的带电球,电荷体密度ρ=Kr2, 其中 r 是球心到体内任一点的距离
求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场 球对称分布，方向沿径向 作高斯球面如图示
ρ (r )
o
r
S
r<a:
i i
∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
S
r
a
2
∑ q = ∫ ρdV = ∫
从例7、例8可见点电荷的电场在 r→ 0 时，E → ∞
例9.用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布， 已知线电荷密度λ 。 Φ = E ⋅ dS = 1 ρ ⋅ dV
E
∫
∫ εo V
解：取以棒为轴，r为半径， 高 高为h的高斯柱面。 斯 0 n⊥E 0 面 通过该面的电通量： Φ E = ∫ E ⋅ d S = ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS + ∫ E⋅ dS
在点电荷q的电场中，求： 1）通过包围点电荷q的半径为r的同心 球面S的电通量。 2）通过包围点电荷q任意闭合曲面S’的 电通量。 3）通过不包围点电荷q的任意闭合曲面 S的电通量。 4)通过包围点电荷系的任意闭合曲面的 电通量。
静电场的高斯定理 ——静电场的基本规律之一 (1) 高斯定理： 通过任意闭合 曲面S的电通量 即： S面包围的电荷的 代数和除以 ε 0
2
4π Ka 5 = 5
r
S
a
Ka E= 2 5ε 0 r
5
静电场的环路定理 电势 (1) 单个点电荷产生的电场中 将电荷 qo 从电场的a点移动到b点 A=？ b q 在任意点c，位移 dl 、受力 F = qoE r+dr dA = F ⋅ dl = Fdl cos α =Fdr r dl cos α = dr dl dl b q q c o qo A = F ⋅ dr = ∫ qo Edr = ∫ α dr a. 2 a 4πε o r qo q ⎛ 1 1 ⎞ F F A= ⎜r −r ⎟ 4πε o ⎝ a b ⎠ 结论：
dy′
∴ E = ∫ dE x = ∫ dE cos α
xσ dy E=∫ = σ 方向垂直平面！ 2 2 －∞ 2πε o ( x + y ) 2ε o
+∞
σ
r=
x2 r
E= σ 2ε o y
y
均匀场
dy
+σ
p
−σ
r α x
.
E
dE x
dy′
讨论：
+σ − σ
E = 0 E= σ E = 0 εo
h
r
= ∫ E⋅ dS = E ∫ dS = E⋅2πr⋅h dS 侧面 侧面 E ΦE = 1 ∫ ρ ⋅ dV = 1 λh dS εo V εo 体密度 r<R ∴E = λ ρ 2πεor
l 问：r→ 0，E → ∞？
E
侧面
上底
下底
均匀带电：E= 2ε r
o
例4. 一无限大带电平面，面电荷密度σ，求其电场分布。 解：平面可看成无数条宽为dy 的细线组成 E = λ r ˆ 2πε o r 每个dy 在P点产生的场为： y dy σ dy dE = 2πε o r r p y E α . 由对称性： x x dE E y = ∫ dE y = 0
r =∞ Q Q r ⋅ dl = ∫ ˆ ⋅ dr = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ 4πεorp 4πεor2 4πεor2 P p P
+σ
+σ
−σ −σ
E = σ E=0 E = σ εo εo
E = σ E=0 E = σ εo εo
小结高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时， 另选法线 n⊥E 的面，使其成为闭合面。 （4）分别求出
ρ OP Ε1 = 3ε0
E2
小球单独存在时，p点的场强为
R
ρ E2 = cp 3ε0
∵ E1 = E 2 + E
∴ E = E1 − E 2
ρ = (op − cp ) 3ε0 ρ = oc 3ε0
因为oc为常矢量，所以空腔内为 匀强电场。 c
E r1
o pE
R
2
例. （1）一点电荷位于一立方体的中心, 立方体边长 为a. 求通过立方体一面的电通量。（2）如果把电荷 移到立方体的一个顶角上，通过立方体每一个面的电 通量又是多少？
o S内
无旋场
3 电势差和电势 L2 a.
.
qo
L1
b
L1
b ∫a E
⋅ dl
b = ∫a E L
2
⋅ dl
存在与位置 有关的态函数
1）.电势差、电势 定义：a、b两点的电势分别为Ua、Ub， b Ua − Ub = ∫a E ⋅ dl 则两点间电势差为 将单位正电荷 即：a、b两点的电势差 = 从a→b电场力作的功 电场中任意点的电势： U p = ∫ 单位：V或J/C
q ˆ r q的场强： = E 2 4πε 0r
.
∫
1º 单个点电荷产生的电场中，电场力作功与路径无关。 2º 作功A与qo的大小成正比,移动单位正电荷作功： A = E ⋅ dl qo ∫
(2) 点电荷系产生的电场中
∑qi
r a.
任意点c处的电场为：E = ∑ Ei = E1 + E2 +
.b
+ Ek
q ∴E = 4πεor2
方向为 r
利用上面的结论导出库仑定律
定义：E是单位正电荷受的力。导出库仑定律： q' 将电荷q' 放在 r 处， r 则 q' 受力为： q ′q q ˆ r ——库仑定律 F = q′ E = 2 4 πε o r
q ˆ r 已求得点电荷的电场为： E = 4πε o r 2
0
1 4 Kr 5 由高斯定理： E 4πr = K πr E = ε0 5 5ε 0
2
4 Kr ′ 4πr ′ dr ′ = Kπr 5 5
2 2
S
3
r>a: a a 2 qi = ∫ ρ 4πr ′ dr ′ = ∫ Kr ′ 2 4πr ′ 2 dr ′ ∑
i 0 0
ρ (r )
o
4π 5 Ka ∴ E 4π r = 5ε 0
b E a
⋅ d l = q (U a − U b )
U =0 2.电势的计算 U p = ∫ p E ⋅ dl (1) 用定义法求U 例. 真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电 球所在空间任意一点P的电势U=？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： r< R E=0 Q r 设 r→∞，U=0 r≥R E= ˆ 2 4πεor P点处在球外 r>R：