2011年中考数学压轴题专题

例 2011年上海市普陀区中考模拟第25题直角三角板ABC 中，∠A =30°，BC ＝1．将其绕直角顶点C 逆时针旋转一个角α （0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt △A ′B ′C ′．（1）如图1，当A ′B ′边经过点B 时，求旋转角α的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边A ′C 与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥A ′B ′交C B ′边于点E ，联结BE .①当0°＜α＜90°时，设AD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 之间的函数解析式及定义域；②当13BDE ABC S S =△△时，求AD 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11普陀25”，拖动点A ′绕着点C 旋转，观察度量值和函数图像，可以体验到，不论D 在AD 上或者在AD 的延长线上，y 都与x 成正比例；△CAD 与△CBE 保持相似；有两个时刻，△ABC 与△BDE 的面积的比值为3．请打开超级画板文件名“11普陀25”，思路点拨1．图形在旋转的过程中，对应边相等，对应角相等，旋转角等于对应线段的夹角． 2．心动不如行动，在备用图中准确、规范的画图，等量关系就在画图的过程中． 3．第（2）题要分类讨论，顺势把第一种情况的结论迁移到第二种情况中进行讨论，解题就有了方向．满分解答（1）在Rt △ABC 中，∠A =30°，所以∠ABC ＝60°．在旋转的过程中，对应边CB ＝CB ′，对应角∠B ′=∠ABC ＝60°，旋转角α＝∠BCB ′． 当A ′B ′边经过点B 时，△BCB ′是等边三角形，此时旋转角α＝60°． （2）如图2，①当0°＜α＜90°时，点D 在AB 边上． 由DE ∥A ′B ′，得C D C E C A C B =''．在旋转的过程中，对应边CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，对应角∠ACD =∠BC B ′． 所以C D C E C AC B=．因此△CAD ∽△CBE ．于是BE BC ADAC=．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，所以3BC AC=．因此3y x=y 与x 之间的函数解析式为3y=，定义域为0＜x ＜2．图2 图3 图4②在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，所以AC =AB ＝22．（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，△CAD ∽△CBE ，∠A =∠CBE ． 所以△BDE 是直角三角形（如图3）．因此11(2)(2)226B D E S B E B D y x x x =⋅=-=-△．当13BDE ABC S S =△△(2)=66x -x ＝1（如图5）．（Ⅱ）如图4，当90°＜α＜120°时，同理可以证明△CAD ∽△CBE ，3B E A D=，△BDE 是直角三角形．此时11(2)(2)2236B D E S B E B D A D A D D A D =⋅=⨯-=-△．当13BDE ABC S S =△△(2)=66A D A D -，得AD ＝1+1-．综合（Ⅰ）、（Ⅱ）当13BDE ABC S S =△△时，AD ＝1或AD ＝1+考点伸展我们来看几个特殊的时刻：旋转角为30°，90°，120°（如图5，图6，图7）图5 图6 图7。

例 2011年上海市卢湾区中考模拟第25题已知：如图1，在直角梯形ABCD中，BC∥AD（AD＞BC），BC⊥AB，AB＝8，BC＝6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF＝2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC＝x．（1）求证：AF＝DM；（2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；（3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“11卢湾25”，拖动点E在CB上运动，可以体验到，AF与DM 保持相等，从AD随x变化的函数图像可以看到，AD是x的一次函数．可以看到，两圆可以内切，不可能外切．请打开超级画板文件名“11卢湾25”，思路点拨1．结合第（2）题的条件“EM⊥AC”重新画图：先画确定的直角△ABC，过点A画BC的平行线，截取AF＝2CE，联结EF交AC于G；作EM⊥AC产生点M；过点G作BC 的平行线交EM于H；延长CH交AM于D．如果你截取的AF＝2CE使得F不慎落在了AD的延长线上，那就太好了，暗示了第（3）题求得的x值要检验的．再取适当的AF＝2CE重新画图．2．已知条件“直角梯形ABCD”，容易误导大家以为AD是定值，其实点D是从动点．满分解答（1）如图2，如图3，因为BC∥AD，所以EC CGAF AG=，EC CHDM DH=．因为GH∥AD，所以CG CHAG DH=．因此EC ECAF DM=．所以AF DM=．图2 图3（2）如图4，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，所以10AC=．过点E作EN//AC交DA的延长线于N，则四边形CANE是平行四边形．因此NE＝AC＝10，AN＝CE＝x，∠MNE＝∠BCA．由于EM ⊥AC ，所以△EMN 是直角三角形．在Rt △EMN 中，NE ＝10，MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝DA ＋3x ． 所以3cos cos 5NE BCA MNE MN ∠=∠==． 因此10335AD x =+．于是得到5093x AD -=．图4 图5（3）如图5，在Rt △AMO 中，MA ＝MD ＋DA ＝509503233x x x --+=，4sin 5MAO ∠=， 所以404sin 35MO MA MAO x =⋅∠=-． 由AF ＝MD ，可得AD ＝MF ．因此FD ＝AD －AF ＝509502533x x x --=-． 对于⊙M ，r M ＝40435MO x =-；对于⊙F ，r F ＝FD ＝5053x -；圆心距MF 5093x -=． ①当两圆外切时，r M ＋r F ＝MF ．解方程40435x -＋5053x -5093x -=，得10021x =． 此时，AF 200221x ==，5093x AD -=5021=．因此点F 在AD 的延长线上，不合题意． ②当两圆外切时，|r M －r F |＝MF ． 解方程404505353x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5093x -=，得259x =． 此时，AF 5029x ==，5093x AD -=759=．因此点F 在AD 上，符合题意． 综合①、②，当x ＝259时，两圆内切（如图5）． 考点伸展第（2）题用含x 的代数式表达AD 的长，怎么确定x 的取值范围呢？因为点E 、F 分别在边BC 和AD 上，所以AF ≤AD ，即2x ≤5093x -．解得x ≤103． 如果事先确定了x 的取值范围是x ≤103，据此可以检验10021x =不合题意． 事实上，当两圆内切时，四边形CDFE 是平行四边形，四边形CHGE 是菱形． 绘图注意：大圆经过点O ，不经过点C 、G .C 、G 在圆外。

例 2011年上海市闸北区中考模拟第25题直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．请打开超级画板文件名“11闸北25”，思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以930,3,0.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,2,3.abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么BQ ==．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQBA=3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13BQBA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQBA =时，BQ =在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．。

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

例 2011年上海市金山区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－3，0）、B （1，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求∠P AC 的正切值；（3）若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11金山24”，拖动点Q 在PC 上运动，观察线段的跟踪痕迹，可以体验到，点A 沿着PC 方向平移可以得到点M 1，点A 沿着CP 方向平移可以得到点M 2． 请打开超级画板文件名“11金山24”，思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．判断∠PCA 等于90°是求∠P AC 的正切值的关键．3．过△P AC 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M ．4．用平移的性质求点M 的坐标很简便．满分解答（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－3，0）、B （1，0）两点， 设抛物线为y ＝a (x ＋3)(x －1)，代入点C （0，3），可得a ＝－1．所以抛物线的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)＝－x 2－2x ＋3．（2）由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得顶点P 的坐标为（－1，4）． 如图2，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．那么△PCD 为等腰直角三角形，腰长为1．又因为△AOC 是等腰直角三角形，腰长为3，所以∠PCA ＝90°，并且△PCD ∽△AOC ，相似比为1∶3．因此，在Rt △PCA 中，tan ∠PAC ＝13PCAC ．（3）如图3，过△P AC 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M ．①因为AM 1//PC ，AM 1＝PC ，那么沿PC 方向平移点A 可以得到点M 1．因为点P (－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C (0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．图2 图3考点伸展第（2）题的解答非常简单，是因为构造辅助线的方法非常典型．按照一般的解题思路，先用两点间的距离公式，根据勾股定理证明△P AC是直角三角形．计算量太大了！在第（3）题的解答中，我们灵活运用了平移的性质：图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等．每个点M都可以由两种平移得到：点M1可以沿P A方向平移点C得到；点M2可以沿CA方向平移点P得到；点M3可以沿AP方向平移点C得到．怎么简单怎么平移！。

例 2011年上海市静安区中考模拟第25题如图1，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB =90º，点C 是 A B 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC =x ，BD =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD ＝31OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11静安25”，拖动点C 在 A B 上运动，观察图形、图像和度量值，可以体验到，∠DCB 保持45°不变，y 随x 的增大而减小．双击按钮“OB ＝3BD ”，从度量值可以看到，AC ＝6．双击按钮“△DCB ∽△DOC ”，可以体验到，此时C 是 A B 的中点．请打开超级画板文件名“11静安25”，思路点拨1．综合考虑第（1）、（2）题，可以感悟到应用垂径定理构造辅助线．2．第（1）题求得的解析式容易折磨人的自信，第（2）题的计算更显得繁琐． 3．第（2）题⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，要考虑两种情况．4．第（3）题中，隐含了∠DCB 保持45°不变这个条件，不易觉察．满分解答（1）如图2，过圆心O 作OE ⊥AC ，垂足为E ，那么AE ＝x AC 2121=．在Rt △AOE 中，OE =2224125xAE AO -=-．由tan O E D O A AEAO==，得OE AO DO AE ⋅=⋅．所以(5)2x y =+．整理，得xxxy 510052--=．定义域为250<<x ．（2）如图3，当BD ＝31OB 时，35=y ．解方程xxx51005352--=，得x ＝6．此时，在Rt △AOE 中，OA ＝5，AE ＝3，所以OE ＝4． ①当点O 1在线段OE 上时，211=-=OO OE E O ， 在Rt △AO 1E 中，1332222211=+=+=AEE O A O ．②当点O 1在线段EO 的延长线上时，611=+=OO OE E O ， 在Rt △AO 1E 中，5336222211=+=+=AEEO A O ．综合①、②，⊙O 1的半径为13或53．图2 图3 图4（3）如图4，四边形AOBC 的内角和等于360°，其中∠AOB ＝90°，所以另外三个角的和为270°．由于OA ＝OB ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB ． 因此∠ACB ＝135°．所以∠DCB ＝45°，为定值． 所以当∠DOC ＝45°时，△DCB ∽△DOC ．此时C 为 A B 的中点．考点伸展在本题情境下，△BCD 能否成为等腰三角形？不可能的．这是因为，∠DCB ＝45°，∠D 总是小于45°． 为什么∠D 总是小于45°？在Rt △AOD 中，∠A 的大小由点C 来决定，当C 与B 重合时，∠A 取得最小值45°，而此时△BCD 不存在．。

2011中考数学压轴题姓名___________班级__________学号__________分数___________一、解答题1．（13999－2011湖北恩施州）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A，B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A 种材料进了x箱．(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)？(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式(求函数解析式不取近似值)，确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．2．（14001－2011湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A．点C，且与x轴的另一交点为B(x0，0)，其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)若△P AC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；(3)如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C．O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．(备用图图3)3．（14155－2011湖北黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？4．（14156－2011湖北黄冈）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．5．（14181－2011湖北黄石）已知二次函数2248y x mx m =-+- (1)当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围．(2)以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ，N 两点在抛物线上)，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(3)若抛物线2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．6．（14096－2011湖北荆门）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME 、NF 与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i ＝1∶3.7，桥下水深OP ＝5米，水面宽度CD ＝24米．设半圆的圆心为O ，直径AB 在坡角顶点M 、N 的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长．(参考数据：π≈3，3≈1.7，tan 15°＝321+)7．（14098－2011湖北荆门）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．1)分别求1y 和2y 的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．8．（14099－2011湖北荆门）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边O C ．OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O 、C ．F 三点在x 轴正半轴上)．若⊙P 过A ．B ．E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线c bx x y ++=241经过A ．C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. (1)求B 点坐标；(2)求证：ME 是⊙P 的切线；(3)设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式．第21题图9．（14073－2011湖北荆州）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积，关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值．10．（14074－2011湖北荆州）2011年长江中下游地区发生了特大早情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系．图甲图乙（备用图）y2＝湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC ACQ12．（14051－2011湖北潜江仙桃天门江汉油田）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． (1)直接填写：a ＝ ，b ＝ ，顶点C 的坐标为 ；(2)在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P 为x轴上方的抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．13．（13903－2011湖北十堰）如图，线段AD ＝5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平分线分别交CD ，AD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC ，设AB ＝x ． (1)求x 的取值范围；(2)若△ABC 为直角三角形，则x ＝____________； (3)设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值．14．（13904－2011湖北十堰）如图，己知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)和点 B ，与y 轴交丁点C (0，－3)． (1)求抛物线的解析式；(2)如图(1)，己知点H (0，－1)．问在抛物线上是否存在点G (点G 在y 轴的左侧)，使得S △GHC ＝S △GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：(3)如图(2)，抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(－2，0)，F是OC的中点，连接DF，P为线段BD 上的一点，若∠EPF＝∠BDF，求线段PE的长．15．（14130－2011湖北随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？16．（14131－2011湖北随州）如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1＜0，x2＞0)．(1)求b的值．(2)求x1•x2的值．(3)分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．17．（14024－2011湖北武汉）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．18．（14027－2011湖北武汉）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3，0)，B(－1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M，直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（13925－2011湖北咸宁）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．(1)假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式；(2)每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？20．（11613－2011湖北襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC，CD是⊙O′的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，B，C三点．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．21．（13953－2011湖北孝感）如图(1)，矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为(m，0)，其中m＞0.(1)求点E、F的坐标(用含的式子表示)；(2)连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；(3)如图(2)，设抛物线y＝a(x－m－6)2＋h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．22．（13977－2011湖北宜昌）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21 )和(m －b ，m 2－mb ＋n )，其中a ，b ，c ，m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点是(x 1，0)和(x 2，0)，求x 1x 2的值；(3)当－1≤x ≤1时，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上与x 轴距离最大的点为P (x o ，y o )，求这时｜y o ｜的最小值．第24题23．（14257－2011湖南常德）如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，)．(1)求抛物线的解析式；(2)若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE ＝∠AFE ；(3)在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有请求出所有和条件的点P 的坐标，若没有，请说明理由．24．（14462－2011湖南郴州）如图，在平面直角坐标系中，A ．B 两点的坐标分别是(0，1)和(1，0)，P 是线段AB 上的一动点(不与A ．B 重合)，坐标为(m ，1－m )(m 为常数)．(1)求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式；(2)当P 点在线段AB 上移动时，过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变；(3)当P 移动到点()时，请你在过O 、P 、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P 、B 两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．25．（14412－2011湖南衡阳）已知抛物线．(1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)如图，当抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A ．B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得以C ．D ．M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．26．（14304－2011湖南怀化）已知：关于x 的方程2(13)210ax a x a --+-=．(1)当x 取何值时，二次函数2(13)21y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；(2)求证：a 取任何实数时，方程2(13)210ax a x a --+-=总有实数根．27．（14205－2011湖南娄底）如图，已知二次函数y ＝－x 2＋mx ＋4m 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点(B 点在A 点的右边)，与y 轴的正半轴交于点C ，且(x 1＋x 2)－x 1x 2＝10.(1)求此二次函数的解析式．(2)写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；(3)连接BM ，动点P 在线段BM 上运动(不含端点B ，M )，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S ．请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．28．（14436－2011湖南邵阳）如图(十一)所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． (1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ．B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符D 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（14338－2011湖南湘潭）如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A ．B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． x30．（14364－2011湖南湘西州）如图．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求点A．点B和点C的坐标．(2)求直线AC的解析式．(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB＝6，求点M的坐标．(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B，A重合)，同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？。

例 2011年上海市金山区中考模拟第25题如图1，正方形ABCD的边长为4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，联结EM 并延长交射线CD于F，过M作EF的垂线交射线BC于G，联结EG、FG．（1）求证：△GEF是等腰三角形；（2）设AE＝x，△GEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在点E运动的过程中，△GEF能否成为等边三角形？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11金山25”，拖动点E在AB上运动，观察图像和度量值，可以体验到，y是x的二次函数，GM垂直平分EF，△EAM与△MNG保持相似，∠GEF的正切值保持不变．请打开超级画板文件名“11金山25”，思路点拨1．GM垂直EF是已知的，自然想到GM平分EF的话，证明思路是显然的．2．把等腰三角形GEF的面积，转化为直角三角形GEM的面积，那么就要思考如何用x的式子表示ME、GM的长．把ME、GM构造为两个相似的直角三角形的斜边长，是添加辅助线的典型题．3．ME与GM的关系，不仅用在第（2）题求三角形的面积，也应用于第（3）题探求∠GEF为定值．满分解答（1）如图2，因为AE//DF，所以M E M A．M F M D因为M是AD的中点，所以M是EF的中点．又因为MG⊥EF，所以G是线段EF垂直平分线上的点．因此GE＝GF，△GEF是等腰三角形．（2）如图3，过点G作AD的垂线交AD的延长线于N．由于∠1与∠2都与∠3互余，所以∠1＝∠2．因此△EAM ∽△MNG ．所以24EM M A M G G N ==．所以MG ＝2ME ． 在Rt △AEM 中，AE ＝x ，AM ＝2，所以ME 2＝x 2＋4． 于是，22122282GEF y S EF GG M E M E M E x ==⋅=⨯==+△． 自变量x 的取值范围是0≤x ≤4．图2 图3（3）△GEF 不可能成为等边三角形，理由如下：如图3，在第（2）题中已经知道，MG ＝2ME ．因此tan ∠GEF ＝2为定值，所以∠GEF 不可能等于60°．考点伸展在本题情境下，因为tan ∠GEF ＝2为定值，所以等腰三角形GEF 的形状保持不变． 如果我们改变题设，△GEF 会不会成为等边三角形？如图4，如果把正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AD ＝4，AB ＝GEF 保持等边三角形的形状．如图5，如果把正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AD ＝4，AB ＝2，那么△GEF 保持等腰直角三角形的形状．图4 图5。

例 2011年上海市浦东新区中考模拟第25题如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC＝∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q，设CP＝x，DQ ＝y．（1）求CD的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当∠DAQ＝2∠BAC时，求CP的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浦东25”，拖动点P在BC的延长线上运动，观察图形和图像，可以体验到，y是x的一次函数，△QPE的形状保持不变．双击按钮“∠DAQ＝2∠BAC”可以看到，△ADF是等腰三角形，△ABD与△AQF全等，△ABF与△AQD全等．请打开超级画板文件名“11浦东25”，思路点拨1．可以证明△ABC与△BCD是有公共底角的两个等腰三角形．2．求y关于x的函数解析式，一般策略是把y和x置于同一个直角三角形中用勾股定理列方程，或者构造平行线得到对应线段成比例．3．解第（3）题的策略是根据已知条件∠DAQ＝2∠BAC把∠DAQ先平分，再仔细观察图形寻找等量关系．满分解答（1）如图1，因为∠DBC＝∠BAC，∠BCD＝∠ACB，所以△BCD∽△ACB．因此BC BD CDAB AC BC==．所以2242CDAC==．解得AC＝4，CD＝1．（2）由（1）知，△BCD与△ACB都是等腰三角形．所以1 cos cos4ABC ACB∠=∠=．如图2，过点Q作QE//AC交BC的延长线于E，那么1 cos cos4E ACB∠=∠=．由DC//QE，得BD BC DCBQ BE QE==，即22122y x PE QE==+++．解得PE y x =-，22y QE +=． 在Rt △QPE 中，1cos 4PE E QE ∠==，所以QE ＝4PE ． 整理24()2y y x +=-，得8277y x =+．定义域为x ＞0．图2 图3（3）如图3，作∠DAQ 的平分线交DQ 于F ．已知∠DBC ＝∠BAC ，当∠DAQ ＝2∠BAC 时，那么∠BAC ＝∠DAF ＝∠QAF ． 又因为∠BDC ＝∠ADF ，所以△BCD ∽△AFD ．所以△ADF 是腰长为3的等腰三角形，底边DF ＝32． 因此△ABF ≌△AQD ．所以y ＝DQ ＝BF ＝BD ＋DF ＝72． 解方程782277x =+，得4516x CP ==． 考点伸展第（3）题如果让你纠结，那么你就反客为主：把点Q 作为主动点．如图3，把图画大一些，画好等腰△ABC 和等腰△BCD ，延长好BC 、BD ；作∠DAF ＝∠QAF ＝∠BAC ；过点Q 作QP ⊥BC 交BC 的延长线于P ．把相等的角标记出来，把相等的线段标记出来，你看到了几个等腰三角形？你看到了几对全等三角形？。