构造全等三角形的方法技巧(第四周)姓名
方法1利用“角平分线”构造全等三角形
【方法归纳】因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
(1)在角的两边截取两条相等的线段；
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
方法2利用“截长补短法”构造全等三角形
【方法归纳】截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
5．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS 证三角形全等． 6．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝1
2
AC.
7．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.
几何证明的好方法——截长补短 (第四周 ) 姓名
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 例题（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。 求证：EF=DE+BF
（2) 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？
2 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
F
E
D
C
B
A
F
E
3 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
4 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
5 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将
AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.
需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
D C B A D O E
C
B A
