中考数学《二次函数的最值》专项练习及答案一、单选题1．如果抛物线y=x2−6x+c−2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．-8或-142．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或B．- 或C．D．13．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O 两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2√7C．8D．64．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣25．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2−4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（−1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x= 1时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P.其中正确结论的个数是（）A．6B．5C．4D．36．关于二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表，下列说法正确的是（）x…﹣3﹣201…y…7﹣2﹣27…(0，2)．图象的对称轴是直线x=1 C．y的最小值为-5D．图象与x轴有且只有一个交点7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－528．下列对抛物线y=−2（x−4）2+9性质的描写中，正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝9C．顶点坐标是（﹣4，9）D．函数y有最大值9．二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2﹣1有最小值﹣4，则实数m的值可能是（）A．﹣B．﹣3C．D．410．y=a(x−x1)(x−x2)+t(a>0)，点(x0，y0)是函数图象上任意一点，()<−a4(x1−x2)2A．若t<0，则y>−a4(x1−x2)2B．若t≥0，则y≤−a4(x1−x2)2C．若t<0，则y≥−a4(x1−x2)2D．若t≥0，则y11．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（）A．﹣1B．﹣1或5C．5D．﹣512．关于二次函数y=-x2+2x的最值，下列叙述正确的是()A．当x=2时，y有最小值0B．当x=2时，y有最大值0C．当x=1时，y有最小值1D．当x=1时，y有最大值1二、填空题13．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），围成一个由两个长方形组成的花圃，当花圃的边AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．14．抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为．15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t−62，飞机着陆至停下来共滑.5t16．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣461825元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、综合题19．已知二次函数y=−x2+4x+c.（1）该二次函数图象的对称轴是直线.（2）当4≤x≤6时，y的最大值是－3，求此二次函数解析式.20．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．21．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．22．已知二次函数y=x2+bx+2b（b为常数）．（1）若图象过（2，8），求函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当−2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(−2，0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？（3）已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，△ADM的周长最小？最小值是多少？24．如图，抛物线y=x2+bx−c与x轴交A(−1,0)、B(3,0)两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】7；2114．【答案】﹣215．【答案】750m16．【答案】①②③17．【答案】①③④18．【答案】2219．【答案】（1）x=2（2）y=−x2+4x−320．【答案】（1）解：把（0，－3），（－6，－3）代入y＝−x2+bx+c 得b＝－6，c=－3（2）解：∵y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6又∵－4≤x≤0∴当x＝－3时，y有最大值为6．（3）解：①当－3＜m≤0时当x＝0时，y有最小值为－3当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3∴−m2−6m−3+(－3)＝2∴m＝－2或m＝－4（舍去）．②当m≤－3时当x ＝－3时y 有最大值为6 ∵y 的最大值与最小值之和为2 ∴y 最小值为－4 ∴−(m +3)2+6 =－4∴m ＝ −3−√10 或m ＝ −3+√10 （舍去）． 综上所述，m ＝－2或 −3−√10 ．21．【答案】（1）解：S 侧＝2[x(90－2x)＋x(40－2x)] ＝－8x 2＋260x＝－8(x － 654 )2＋ 42252．∵－8＜0，∴当x ＝ 654 时，S 侧最大＝ 42252（2）解：设EF ＝2m ，则EH ＝7m则侧面积为2(7mx ＋2mx)＝18mx ，底面积为7m·2m ＝14m 由题意，得18mx ：14m ＝9：7，∴m ＝x ． 则AD ＝7x ＋2x ＝9x ，AB ＝2x ＋2x ＝4x 由4x·9x ＝3600，且x ＞0 ∴x ＝1022．【答案】（1）解：∵图象经过点（2，8）∴8=4+2b +2b 解得b =1．∴此函数解析式为y =x 2+x +2．（2）解：y =x 2+x +2=(x +12)2+74．∵抛物线的开口向上∴当−2≤x ≤−12，y 随x 的增大而减小∴当x =−12时，y 的最小值为74当−12≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大∴当x =2时y 的最大值为(2+12)2+74=8答：最小值74，最大值8．（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上 ∴2b ≥0，即b ≥0∴对称轴直线x =−b2≤0，在y 轴左侧∴图象必在x 轴上方（包括x 轴）∴△=b2−8b≤0∴0≤b≤8．23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)∴{c=636a+6b+c=0 4a−2b+c=0∴{c=6a=−12b=2∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+6（2）解：设P点坐标为(x0，y0)∵点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，A(0，6)∴0<x0<6过P点作x轴的垂线，与x轴交于点H，如图∵S四边形AOBP =S△PAB+S△AOB=S梯形AOHP+S△PHB∴12(6+y0)x0+12(6−x0)y0=S△PAB+12×6×6可得S△PAB=3x0+3y0−18∵y0=−12x02+2x0+6∴S△PAB=3x0+3(−12x02+2x0+6)−18，得∴S△PAB=−32x02+9x0=−32(x0−3)2+272∴当x0=3时，S△PAB面积最大为272（3）解：做出点A关于x轴的对称点A′，则A′(0，−6)，设M点坐标为M(x1，0)根据对称性及两点间线段最短可知，当M 点刚好位于A ′D 与x 轴交点时，△ADM 的周长最小 ，且L △ADM =A ′D +AD∵ 抛物线解析式为y =−12x 2+2x +6=−12(x −2)2+8∴ D 点坐标为(2，8)设直线A ′D 解析式为y =kx +b∵A ′(0，−6)，D(2，8) ，代入直线解析式得 {b =−68=2k +b ，得{b =−6k =7∴直线A ′D 解析式为y =7x −6 M 点为直线A ′D 与x 轴交点，则7x 1−6=0 ，得x 1=67∴M(67，0)∵ A ′(0，−6)，A(0，6)∴L △ADM =A ′D +AD =√(0−2)2+(−6−8)2+√(0−2)2+(6−8)2=√4+196+√8=10√2+2√2=12√2∴当M 点坐标为M(67，0)时，△ADM 周长最小，最小值为12√2 24．【答案】（1）解：将A （﹣1，0），B （3，0）代入 y =x 2+bx −c得b=﹣2，c=3； ∴y =x 2−2x −3 ．将C 点的横坐标x=2代入 y =x 2−2x −3 得y=-3 ∴C （2，-3）；∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1（2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2−2x−3）；∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（y=x2−2x−3）= −x2+x+2∴当x= 12时，PE的最大值为94。
二次函数的最值问题举例例1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
求二次函数的最值【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴ 当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．课后自我检测1．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．2．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．3．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．4．求函数3y =5．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？6．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．7．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．8．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．9．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．10．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
