系泊系统设计

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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针对问题一，本文首先对系泊系统各部分进行受力分析，得到了各部分关于受力平衡和力矩平衡的表达式，初步建立了系泊系统的力学模型，但是由于力学方程组的个数多且复杂，难以直接求解出答案，因此本文运用搜索算法对方程进行简化得到了问题一的结果，在风速为12m/s时浮标的吃水深度为0.735m，游动区域半径为14.184m，钢桶的倾斜程度为1.008°，钢管一到四的倾斜角度分别为0.977°，0.983°，0.988°以及0.994°，在风速为24m/s时浮标的吃水深度为0.751m，游动区域半径为16.919m，钢桶的倾斜程度为3.825°，钢管一到四的倾斜角度分别为3.712°，3.733°，3.755°以及3.776°。

针对问题二，本文首先计算了风速为36m/s时系泊系统各部分参数，发现所得结果不满足题设稳定条件，因此本文考虑在改变重物球重量的情况下寻找使浮标的吃水深度、游动距离以及钢桶的倾斜程度尽可能小的系统系泊最优设计参数，在分析了系泊系统的优化条件和约束条件后，本文成功建立了基于重物球质量调节的系泊系统优化设计模型，并运用变步长的搜索算法得到了问题二的结果，在风速为36m/s的情况下系泊系统的最优设计参数如下重物球的质量为5090kg,浮标的吃水深度为 1.940m，游动区域半径为12.300m，钢桶的倾斜程度为0.109°，钢管一到四的倾斜角度分别为0.108°，0.109°，0.109°以及0.109°。

针对问题三，问题三是在问题二基础上的一个延伸，本文首先考虑水流力的影响，对系泊系统各部分重新进行受力分析，得到各部分关于受力平衡和力矩平衡的表达式，之后基于问题二的优化模型，建立了基于重物球质量变初始条件最优系泊系统模型，最后本文同样运用变步长的搜索方法，对本文自己设计的风速为24m/s，水流速度为1.5m/s，水深变化范围为16~20m的情况给出了相对最优解。

最后本文对本文所建立的模型进行了客观的评价，总结了模型的优缺点。

【关键词】刚体力学搜索算法最优设计多目标优化一、问题重述1.1 问题背景系泊系统的设计问题是一个历史很悠久的问题，它的要求就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小，基于此要求我们依次解决了以下三个问题。

1.2 目标任务问题一：某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题二：在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题三：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、问题分析系泊系统的设计问题是一个具有悠久历史的问题，其主要要求为确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

对于问题一，首先本文依次对浮标、钢桶、钢管、重物球、锚链和锚进行受力分析，之后根据受力分析，并考虑锚链是否沉底，得出浮标的游动范围的表达式，最后本文依据之前分析得出的力学平衡方程，使用MATLAB联立求解，得出钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状以及浮标的游动区域半径。

对于问题二，问题二是一个多目标优化问题，首先我们根据题设的要求逐步分析待优化的条件和约束条件，之后构造目标函数整体地表示系泊系统的优化程度，最后使用变步长的搜索算法得到了系泊系统相对最优的一组设计参数。

对于问题三，问题三是在问题二基础上的进一步延伸,它和问题二的区别主要在于，问题三考虑了水流力，因此我们要在要考虑水流力影响的情况下对系泊系统各部分重新进行受力分析，基于问题一和问题二的步骤逐步建立基于重物球质量变初始条件最优系泊系统模型，之后同样采用变步长的搜索算法得到了系泊系统相对最优的一组设计结果。

不可避免地由于在第三问中有4个待搜索变量，计算量大大增加，因此得到结果的准确度可能会受到一定的影响。

三、模型假设1.风力和水流力平行于海平面，且浮标不会倾斜。

2.锚链整体可视为一条可微的曲线，且质量均匀。

3.忽略锚链和重物球的浮力影响。

4.水流力对钢管和钢桶的作用面积近似为钢管和钢桶的纵截面积。

四、 符号说明五、 模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 系泊系统各部分受力分析 5.1.1.1 浮标受力分析首先我们考虑实际情况，假设浮标始终保持竖直状态不会倾斜，并且风始终和海平面平行，在此基础上我们进行浮标的受力分析。

浮标一共受到4个力的作用，分别是风力Fb ，浮力f i ，钢管的拉力T 1，浮标自身的重力G b ，如图一所示图一 浮标受力分析图要使浮标受力平衡，我们应该让浮标的水平方向和竖直方向都保持平衡，我们可以得到以下表达式b 1111f =cos sin b T G F T αα+=其中根据阿基米德定律可知b f gV ρ=V 是浮标浸入水面的体积易得为h π，其中h 是浮标的吃水深度。

风力由题目已知条件可得，v 为风速，S 为物体在风向法平面的投影面积。

20.625F Sv =5.1.1.2 钢管受力分析对于钢管的受力分析，由于4节钢管的受力分析类似，我们在此就分析其中一节钢管，其它刚管依次类推。

我们假设4节钢管从上到下分别为钢管1，钢管2，钢管3，钢管4，对于第i 节钢管，它所受到的右侧的拉力是T i ，它所受到的左侧的拉力为T i-1，其中AB 为钢管，如图二所示图二 钢管受力分析图根据受力平衡和力矩平衡，我们可以得到以下表达式1122111122111221cos cos sin sin 0.5sin()0.5sin()g g g Gg T f T T T T L T L ααααθααθ+=+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩ 其中L 是钢管的长度，1θ是钢管与竖直方向的夹角。

依次类推我们可以依次得到钢管2，钢管3，钢管4的表达式。

钢管2的受力平衡和力矩平衡表达式为：2233222233222332cos cos sin sin 0.5sin()0.5sin()g g g Gg T f T T T T L T L ααααθααθ+=+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩ 钢管3的受力平衡和力矩平衡表达式为：3344333344333443cos cos sin sin 0.5sin()0.5sin()g g g Gg T f T T T T L T L ααααθααθ+=+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩ 钢管4的受力平衡和力矩平衡表达式为：4455444455444554cos cos sin sin 0.5sin()0.5sin()g g g Gg T f T T T T L T L ααααθααθ+=+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩5.1.1.3 钢桶与重物球受力分析如图三所示我们对钢桶和小球进行受力分析，图中DC 就为钢桶，小球看成一个点处在D 的位置。

图三 钢桶和重物球受力分析图如图所示，钢桶和小球一共受到5个力的作用，钢桶左侧受到的拉力T 5,右侧受到的拉力T 6，钢桶受到的浮力f t ，以及它的重力G t 和小球对钢桶的拉力T zwq ，根据受力平衡分析,可以得到以下表达式：zwq 6655556+cos cos sin sin t t G T T f T T T αααα+=+=然后考虑钢桶与重物球的力矩平衡，由于钢桶的重力以及浮力作用在质心所以不予考虑，我们只要考虑钢桶与重物球左侧受到的拉力T 5，右侧受到的拉力T 6，以及小球对钢桶的拉力T zwq ，根据力矩平衡的公式可以得到：5t 55zwq t 56t 650.5sin()0.5cos(90)0.5sin()T L T L T L θαθαθ-+-=-其中重物球对钢桶的拉力可以由图四得到图4 重物球受力分析图根据竖直方向的受力分析我们可以很简单的得到zwq zwq zwq T f G +=5.1.1.4 锚链的受力分析由于锚链是无档普通链环，我们可以将其看作无弹性悬垂线，因此我们可以用微元的方法来分析其受力状态。

如图五所示，考虑ds 这样一段任意的小弧长图五 锚链受力分析图这样一段小弧长一共受到三个力的作用，分别是上段锚链对该小弧长的拉力T,下段锚链对该小弧长的拉力T+Dt ，以及小弧长自身所受到的重力G,要使这一段小弧长受力平衡，就要使该小弧长在水平方向上和竖直方向上受力平衡，可以得到如下表达式：()()()()cos cos sin sin +sgT T dT d T T dT d d ββββββρ=++⎧⎪⎨=++⎪⎩ 将该表达式展开可以得到()()()cos cos cos sin sin sin (sin cos cos sin )+sgT T dT d d T T dT d d d ββββββββββρ=+-⎧⎪⎨=++⎪⎩ 因为ds 是一段任意的小弧长，可以认为ds 近似于趋向于0，当ds 趋向于0时，d β也趋向于0，因此可知cos d β趋向于1，sin d β趋向于d β，由此上式可以化简为cos sin sin 0cos sin cos sg 0dT Td dTd Td dT dTd d ββββββββββρ--=⎧⎨+++=⎩又因为dTd β是高阶无穷小，可以忽略不计，这样就可以化简得到锚链的最终表达式。