圆的标准方程

圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²
X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆
x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
一般式x²+y²+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程：
其圆心坐标：
半径为
此方程满足为圆的方程的条件是: D²+E²-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，Y）。

则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 整理即可得一般方程。

圆与圆
若两圆的方程分别为C1：(x－x1)²+(y－y1)²=r1²，C2：(x－x2)²+(y－y2)²=r2²：
则两圆外离r1+r2<d；两圆外切r1+r2=d；两圆相交|r1－r2|<d<r1+r2；两圆内切|r1－r2|=d；
点与圆
点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：
⑴当(x1－a)²+(y1－b) ²>r²时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)²+(y1－b) ²=r²时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)²+(y1－b) ²<r²时，则点P在圆内。

直线与圆
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x－a)²+(y－b) ²=r²。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²;
x²+y²+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)
其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用，且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
圆上一点的切线方程
(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：
（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2
如果在平面直角坐标系中还可以直接将
直线方程：与圆的方程:联立得出
若>0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交；
若=0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切；
若<0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

练习
若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是(-6<a<42. )
圆(x-3)²+(y-3)²=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
3.使圆(x-2)²+(y+3)²=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2，-3)
4.若直线x+y=r与圆x²+y²=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直线x-y+4=0被圆x²+y²+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.
7.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是.
8.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是.
三、解答题
9.已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
参考答案1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )两圆内含|r1－r2|>d.
对实数a,b，有
对非负数a,b，有
等号成立条件：当且仅当（即）时
三倍角公式
半角公式
和差公式
积化和差公式
和差化积公式。