一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5
AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．
（1）求证：AP OQ =；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13
x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；
（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5
AOC ∠=
、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．
【详解】
（1）联结OD ，∵OC OD =，
∴OCD ODC ∠=∠，
∵//CD AB ，
∴OCD COA ∠=∠，
∴POA QDO ∠=∠．
在AOP ∆和ODQ ∆中，
{OP DQ
POA QDO OA DO
=∠=∠=，
∴AOP ∆≌ODQ ∆，
∴AP OQ =；
（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=
， ∴4455OH OP x ==，35
PH x =， ∴132
AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，
∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP y
CP x S OP x
∆-==， ∴2360300x x y x
-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯
=， ∴101016x x =-，解得5013
x =， ∴2360300x x y x
-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=， ∴4cos 1085
OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=时，1010254cos cos 25
OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-
2571622=-=， ∵501013
OP <<， ∴72OP =
（舍去）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ，
∴AOQ DQO ∠=∠，
