【2021高考数学压轴题】三招秒解导函数零点问题
- 格式:pdf
- 大小:467.77 KB
- 文档页数:27
2021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题
第一篇函数与导数
专题06“三招”妙解导函数零点问题
一.方法综述
导数是研究函数性质的有力工具,其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时,绕不开研究()f x 的单调性,往往需要解方程()0f x '=.若该方程不易求解时,如何继续解题呢?在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上,本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.二.解题策略
类型一察“言”观“色”,“猜”出零点
【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()21e x
f x x ax =++.
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)若函数()()21e 1x
g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点,求m 的取值范围.
【分析】(1)首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x
f x a x x =++'+,再对参
数a 分类讨论可得;
(2)依题意可得()()2
1e x g x m x =+'-,当0m 函数在定义域上单调递增,不满足条件;
当0m >时,由(1)得()g x '在[)1,-+∞为增函数,因为()01g m '=-,()00g =.再对1m =,
1m >,01m <<三种情况讨论可得.
【解析】(1)因为()()21x f x x ax e =++,所以()()221e x f x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+,
即()()()11e x
f x a x x =++'+.
由()0f x '=,得()11x a =-+,21x =-.
①当0a =时,()()2
1e 0x f x x =+' ,当且仅当1x =-时,等号成立.故()f x 在(),-∞+∞为增函数.②当0a >时,()11a -+<-,
由()0f x >′
得()1x a <-+或1x >-,由()0f x <′得()11a x -+<<-;所以()f x 在()(),1a -∞-+,()1,-+∞为增函数,在()()1,1a -+-为减函数.③当0a <时,()11a -+>-,
由()0f x >′
得()1x a >-+或1x <-,由()0f x <′得()11x a -<<-+;所以()f x 在(),1-∞-,()()1,a -++∞为增函数,在()()1,1a --+为减函数.综上,当0a =时,()f x 在为(),-∞+∞增函数;
当0a >时,()f x 在()(),1a -∞-+,()1,-+∞为增函数,在()()1,1a -+-为减函数;当0a <时,()f x 在(),1-∞-,()()1,a -++∞为增函数,在()()1,1a --+为减函数.
(2)因为()()21e 1x
g x x mx =+--,所以()()21e x g x m x =+'-,
①当0m 时,()0g x ' ,()g x 在[)1,-+∞为增函数,所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点.②当0m >时,由(1)得()g x '在[)1,-+∞为增函数.因为()01g m '=-,()00g =.
(ⅰ)当1m =时,()00g '=,0x >时,()0g x '>,10x -<<时,()0g x '<;所以()g x 在[)1,0-为减函数,在[)0,+∞为增函数,()()min 00g x g ==.故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.
(ⅱ)当1m >时,()00g '<,()()2
10m g m e m m '=+->,()00,x m ∃∈,使得()00g x '=,
且()g x 在[)01,x -为减函数,在()0,x +∞为增函数.
所以()()000g x g <=,又()()()2222
1e 1110m g m m m m m =+-->+--=,
根据零点存在性定理,()g x 在()0,x m 有且只有一个零点.又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0.故当1m >时,()g x 在[)1,-+∞有两个零点.
(ⅲ)当01m <<时,()01g m -'=-<,()00g '>,()01,0x ∃∈-,使得()00g x '=,且()g x 在[)01,x -为减函数,在()0,x +∞为增函数.因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0,
若()g x 在[)1,-+∞有两个零点,则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=,所以()10g - 即()2110e g m -=+- ,所以21e
m - ,即当211e
m -< 时()g x 在[)1,-+∞有两个零点.综上,m 的取值范围为211e
m -< 【指点迷津】
1.由于导函数为超越函数,无法利用解方程的方法,可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地,当所求的导函数解析式中出现ln x 时,常猜x =1;当函数解析式中出现e x 时,常猜x =0或x =ln x .
2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】
【2020·山西吕梁期末】已知函数221
()ln ()x f x a x a R x
-=-∈.(1)讨论()f x 的单调性;
(2)设()sin x g x e x =-,若()()()()2h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点,求a 的取值范围.
【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,1
()2ln f x x a x x
=--,