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第一章 解三角形
一、选择题
1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．
A ．10 km
B ．103km
C ．105km
D ．107km
2．在△ABC 中，若2
cos
A
a ＝
2
cos
B
b ＝2
cos
C c ，则△ABC 是( )．
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．
A ．15°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．
A ．3∶2∶1
B ．2∶3∶1
C ．1∶2∶3
D ．1∶3∶2
5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．
A ．△A 1
B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )．
A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°
7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( )．
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．
A ．
22
3
B ．
2
3
3
C ．
2
3 D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2，sin A ·sin B ＝43
，则△ABC 一定是( )．
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．
A ．①只有一解，②也只有一解．
B ．①有两解，②也有两解．
C ．①有两解，②只有一解．
D ．①只有一解，②有两解．
二、填空题
11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠
A 的值是 ．
12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2
2
A
，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，
b ＝5，S ＝53，求
c 的长度 ．
14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．
15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为
4
39
3，则△ABC 的周长为________________．
16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．
三、解答题
3b，解17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝
3
此三角形．
18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角．
(第18题)
19．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (Ⅰ)求∠B 的大小；
(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：22
2c b a -＝C B A sin sin )(-．
参考答案
一、选择题 1．D
解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC
＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700．
AC ＝107．
2．B
解析：由
2cos A a
＝
2cos B b
＝
2cos C c
及正弦定理，得2cos sin A A ＝2cos sin B B ＝2cos sin C C ，由2倍角
的正弦公式得2sin A ＝2sin B ＝2
sin C
，∠A ＝∠B ＝∠C ．
3．C
解析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得 a 2＋b 2－c 2＝ab ．
∴ cos C ＝ab c b a 2222-+＝21
．
故C ＝60°． 4．D
解析：由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2． 5．D
解析：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形．
