第一章函数极限连续

第一章 函数 极限 连续

1.1 数列极限的求法

一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散

1. 数列极限：limnnxa

描述语言：当n充分大时，数列一般项nx无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a，则称a就是数列{}nx的极限．

“N”语言：0，N，当nN时，有nxa．

二 基本结论

1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性．

2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限．

3. 夹逼法则：若nnnyxz，nN，且limlimnnnnyza，则limnnxa．

4. 数列极限运算法则：设limnnxA，limnnyB，那么

（1）lim()nnnxyAB；

（2）limnnnxyAB；

（3）lim(0)nnnxAByB．

（4）lim()nyBnnxA

5. 两个重要极限：10lim(1)exxx；0sinlim1xxx．

这两个极限公式可以推广为：当0xx时，()0fx，则

01()lim(1())efxxxfx；0sin()lim1()xxfxfx．

三 基本方法

数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：

00；；0；；1；0；00；无限个无穷小的和． 1. 取大原则 （极限的形式是，分子和分母同除以n的最大次幂）

例1 求下列极限：

（1）2221lim21nnnnn； （2）233411lim11nnnnn；

2. 有理化法（当分子或分母含有根式时，n的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）

例2 求下列极限：

（1）4341limnnnnn； （2）2lim(1)nnnn.

3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于n代数式或为无限个无穷小的和）

例3 求120limd1sinnnxxx．

解 解此题的关键是将积分表示为关于n的代数式，显然没办法直接积分，只能通过

对被积函数的放缩，达到可积的目的．

11110200110dd1sin11nnnxxxxxxnn，

所以

120limd01sinnnxxx．

例4 求22212lim()12nnnnnn（说明将分子n变成m的结果）

解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积分；Stolz定理．本题应用夹逼法则：

22222121212121nnnnnnnnnn

由于

2212121limlim12nnnnnnn，

于是

222121lim()122nnnnnn 4. 单调有界原理（数列一般项不是关于n的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式）

解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限．

例5 若数列{}na满足1aa，11()2nnnaaaa，证明数列极限存在，并求之．

证明 单调性：因为11()2nnnaaaaa，所以

21102nnnnaaaaa 或 1nnaa

于是，数列{}na单调递减．

有下界：显然有下界．

根据单调有界原理：极限存在．

令limnnax，对递推公式两边取极限，有12axxx，解方程得xa，即limnnaa.

例6 证明数列2,22,222,收敛，并求其极限．

证明 令12x，222x，222nnx，则12nnxx，用数学归纳法可以证明：数列{}nx单调增加，有上界。

证明单调增加：显然21xx，假设1nnxx，则122nnxx，即1nnxx，所以数列{}nx单调增加．

证明有上界：12x，假设12nx，显然122nnxx，故对所有的n，有2nx。所以数列{}nx有上界，根据单调有界原理，数列{}nx收敛．

设limnnxa，对12nnxx两端取极限，则有2aa，解得2a

注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明．如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法．

5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）

具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明．证明是必要的． 例7 设12x，112nnxx，求limnnx．

解 令limnnxa，对递推公式两边取极限12aa，得12a．

下面证明12a就是数列{}nx的极限．

11111111112(2)44nnnnnnxaxaxaxaxaxa，

所以lim0nnxa，故 lim12nnx．

注1 验证是必须的！例如112,21nnxxx，求limnnx．事实上，该数列的极限并不存在，但是若令limnnxa，则可以求出1a．所以说证明是必须的．

注2 事实上，例5和例6也可以用验证法，请同学们给出证明。要说明的是：证明limnnxa，只需证明lim0nnxa。证明lim0nnxa，应用夹逼法则，即

111nnnxarxarxa（1r）

6. 公式法 （若极限的未定式是1型，最好利用极限公式）

例8 求1(1)1limsinnnnnnn

解 因为111(1)111(1)11limsinlimsin/lim(1)(1)nnnnnnnnnnennnnnnn

7. 转换法 （将数列极限转换成函数极限，具体的说：令nx，则x或令1xn则0x，这是求数列极限的一个重要方法．

例9 设,0ab，试求lim2nnnnab

解 极限为不定式1，于是利用极限公式

222/22limlim122nnnnabnnnnnnabnnabab

而

022limlimln2/2xxnnnxabababnx．

所以 lnlim2nnnabnabeab．

注 一般的，如果极限形式是1的形式，套用极限公式

1()lim(1())(()0)fxfxefx，

其余的工作就是求指数部分的极限了．

8. 定积分法

如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或和的形式．（积或的形式可以利用恒等变换公式：lnNNe将积的形式化成和的形式）

定积分法原理：1011111limlim()nnnnkkkkfffxdxnnnn.

应用定积分方法的具体步骤：

1. 将无穷项的和或积的形式表示成的形式；

2. 制作1n（每项提取1n）；

3. 将里面表示成关于kn的函数式；

4. 将kn换成x，此时里面的式子就是被积函数()fx．于是极限就是()fx在(0,1)上的定积分．

例10 计算 222222111lim41424nnnnn

解 11022220111111limlimarcsin2644(/)4nnnnkkxdxnnkknx

注：此题不能应用夹逼法则．

例11 1lim(1)[(1)]nnnnnnn

解 首先将积的形式变成和的形式

1[lnln(1)ln((1))]ln1lim(1)[(1)]limnnnnnnnnnnnnnen

111[ln1ln(1)ln(1)]limnnnnne 1110011ln(1)ln(1)d[ln(1)ln(1)]4limnkkxxnnxxxxneeee．

9. 相减法（Stolz定理）

如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法．这样可以使无穷项变成有限项．

Stolz定理：如果满足limnny，1nnyy，11limnnnnnxxyy存在，则有

11limlimnnnnnnnnxxxyyy．

例12 求22231lim[13(21)]nnn

解 22231lim[13(21)]nnn233(21)4lim(1)3nnnn

例13 求极限11lim12ppppnnn．

解 11lim12ppppnnn11111limlim1(1)1(1)1pppnnpnnnnpn

10. 相除法

如果极限的形式表示为n次方根的形式，则我们需要考虑相除法．

基本原理：若 1limnnnaaa，则1limlimnnnnnnaaaa

例14 求1lim!nnn 解 1lim!nnn1lim01nn

练习1.1

1．用取大原则求下列极限：

（1）11(2)3lim(2)3nnnnn；

（2）3(21)(31)(41)lim5nnnnn；

（3）233321lim82nnnnn 2．用有理化法求下列极限：

（1）lim3nnnnn；

（2）22lim(22)nnnn；

（3）33lim(4)nnn.

3．用夹逼法则求下列极限：

（1）22221111lim123nnnnnn；

（2）22221111lim(1)(2)()nnnnnn；

（3）10lim1nnnxdxx．

4．用Stole引理求下列极限：

（1）222312(21)limnnn；

（2）212limnnn；

（3）3123limnnnn；

（4）111lim(1)ln2nnn．

5．用相除法求下列极限：

（1）limnnn；

（2）lim!nnnn．

6．用转化法求下列极限：

（1）1lim(1)nnne；

（2）lim(1)lnnnnnn；（令nnx，当n时，1x，1(1)lnlnnnnnnnnn）

7．用定积分法求下列极限

（1）221limnnknnk；