高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4

1 高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂学案 新人教A版选修４－4

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2 四 柱坐标系与球坐标系简介

互动课堂

重难突破

本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.

一、柱坐标系

1．定义:如图，建立空间直角坐标系Ｏ—ｘyz，设P是空间任意一点，它在Ｏxｙ平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,０≤θ<２π）来表示点Ｑ在平面Ｏxy上的极坐标。这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ，ｚ)(ｚ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组（ρ,θ,z）叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ，z），其中ρ≥０，0≤θ<２π,—∞〈z<+∞。

2。空间点Ｐ的直角坐标（x，ｙ，z）与柱坐标(ρ,θ，z)之间的变换公式为.,cos,coszzyx

二、球坐标系

1.定义:如图，建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点，连结OP，记｜ＯＰ｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Ｑ,Ｏx轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ。这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ,θ）表示。这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系）,有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P（r,φ,θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ〈2π。 3

1.3简单曲线的极坐标方程

学习

目标 1．了解极坐标方程的定义.

2.会求圆和直线的极坐标方程.

3.掌握求曲线极坐标方程的基本步骤.

4.会进行曲线极坐标方程与直角坐标方程互化.

重点

难点 重点：会求圆和直线的极坐标方程

难点：掌握求曲线极坐标方程的基本步骤.

【相关知识点回顾】

问题1.诱导公式：

sin()_____；cos()_____ sin()_____2；cos()_____2

sin()_____2；cos()_____2

问题2：正弦定理：____________________

复习选修2-1 ,P34～P36内容，完成下列问题.

问题3.曲线与方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的____；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的_____，那么这个方程叫做____________，这条曲线叫做___________.

问题4：求曲线方程的步骤？ 关键的是哪个步骤？

问题5：直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？

问题6：极坐标与直角坐标的互化的条件及关系式？

【探究点一】圆的极坐标方程

问题7（学生完成）：按照问题2的方式方法，在平面直角坐标系中，求以点(,0)Ca为圆心，以a为半径的圆的方程

〖典例解析〗

例1（各组按照提示完成）：在极坐标系中，求以点(,0)Ca为圆心，以a为半径的圆的方程。

步骤1：作出图像：

步骤2：设圆上任意一点极坐标为(,)M：

步骤3：找到点M满足的几何条件并建立等式关系：

步骤4：将等式关系转化成极径与极角等式关系（表达成()f形式）：

【课题小结】通常借助三角形的边角关系建立极径和极角的关系式，若三角形为直角三角形，可借助勾股定理或直角三角形的边角关系建立动点的极坐标方程，若三角形为斜三角形，可借助正弦定理或余弦定理建立动点的极坐标方程（【探究点二】【课堂检测】练习3（3）会用到）。

四 柱坐标系与球坐标系简介

课题：球坐标系与柱坐标系

教学目的：

知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系

教学难点：利用它们进行简单的数学应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？

学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课：

1、球坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP

|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组),,(r表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组),,(r叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤≤，0≤＜2。

空间点P的直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r之间的变换关系为：

cossinsincossin2222rzryrxrzyx

2、柱坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R

空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

1 四柱坐标系与球坐标系简介

课标解读

1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．

2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题.

1．柱坐标系

图1－4－1

如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.

2．球坐标系

图1－4－2

建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．

有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．

3．空间直角坐标与柱坐标的转化

空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z .

4．空间直角坐标与球坐标的关系 2 空间点P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ .

1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？

【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．

2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？