响应面法的理论与应用王永菲1,王成国2(1 中央民族大学数学与计算机科学学院,北京 100081;2 中国铁道科学研究院科学技术研究发展中心,北京 100081)摘 要: 本文介绍了响应面法的基本思想,综述了响应面法在化学工业、生物学、食品学、工程学等多个领域的应用情况,并重点介绍了响应面法在结构优化设计、可靠性分析中的应用,提到响应面法在车辆动力学中的应用情况,从而认为响应面法有更广阔的应用前景.关键词: 响应面法;工程应用;车辆动力学;数学规划中图分类号:O29,TB11 文献标识码:A 文章编号:1005-8036(2005)03-0236-05收稿日期:2005-04-01作者简介:王永菲(1980-),女(苗族),贵州贵定人,中央民族大学数学与计算科学学院硕士研究生.1 引 言随着计算机技术的飞速发展,数值计算科学的不断深入,工程计算的模型越来越复杂,计算规模越来越大,所花费的机时越来越长.同时,许多工程问题的目标函数和约束函数对于设计变量经常是不光滑的或者具有强烈的非线性.这样,科学家和工程师都希望寻找新的高效可靠的数学规划方法以满足工程优化计算的需要.一个渐进近似的优化方法能很好地解决这种既耗机时又非光滑的优化问题,它就是响应面法(Response Surface Methodology,简称:RSM).RSM 是数学方法和统计方法结合的产物,是用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的,其最终目的是优化该响应值[1].由于RSM 把仿真过程看成一个黑匣子,能够较为简便地与随机仿真和确定性仿真问题结合起来,所以得到了非常广泛的应用.近十多年来,由于统计学在各个领域中的发展和应用,RSM 的应用领域进一步拓宽,对RSM 感兴趣的科学工作者也越来越多,许多学者对响应面法进行了研究.RSM 的应用领域不再仅仅局限于化学工业,在生物学、医学以及生物制药领域都得到了广泛应用.同时,食品学、工程学、生态学等方面也都涉及到了响应面法的应用[2].2 响应面法的基本思想响应面法的基本思想是通过近似构造一个具有明确表达形式的多项式来表达隐式功能函数.本质上来说,响应面法是一套统计方法,用这种方法来寻找考虑了输入变量值的变异或不确定性之后的最佳响应值.如果有许多因子,首先需要进行一个筛选试验以剔除不重要的因子.这可以通过诸如:分式析因设计(2k -p ,3k-p 设计),Placket-t B urman 设计以及非正规正交表等试验设计实现.如果研究初始阶段的因子数已经比较少,就不必实施筛选试验.下面的研究分为两个阶段.第一个阶段的主要目标是确定当前的试2005年8月第14卷 第3期中央民族大学学报(自然科学版)Journal of the CUN(Natural Sciences Edition)Aug.2005Vol.14 No.3验条件或输入因子的水平是接近响应面的最优位置还是远离这一位置.当试验部位远离响应面的最优部位时,宜采用响应面的一阶逼近,使用一阶模型:y = 0+k i =1 i x i + (1)进行一阶设计估计出(1)的系数.拟合一阶模型主要采用的是正交的一阶设计,正交的一阶设计包括了主效应不能互为别名的2k 全因素设计和2k -p 部分因素设计,以及单纯形设计等.在x 1,x 2, ,x k 的区域上采用最速下降法搜索以决定是继续进行一阶设计还是由于曲度的出现而更换用二阶设计.当试验区域接近最优区域或位于最优区域中时,进入第二阶段.这一阶段的主要目的是获得对响应面在最优值附近某个小范围内的一个精确逼近并识别出最优过程条件.在响应面的最优点附近,曲度效应是主导项,用二阶模型来逼近响应面:y = 0+k i =1 i x i + k i =1 ii x 2i + k i <j ij x i x j + (2)进行二阶设计估计出(2)的系数.二阶设计有很多种,中心复合设计(CCD)和B ox -Behnken 设计(BBD)是经典的二阶设计,对小规模试验还可以采用Koshal 设计和Hybrid 设计,此外,还可以采用A -优化准则、D -优化准则、G -优化准则系列的设计方法.目前,CCD 是用得最为广泛的试验设计,这是因为CC D 具有一些良好的性质:(1)恰当地选择CCD 的轴点坐标可以使CCD 是可旋转设计,为设计在各个方向上提供等精确度的估计;(2)恰当地选择CC D 的中心点试验次数可以使CC D 是正交的或者是一致精度的设计[1~3].然后进一步确定最优点的位置.3 响应面法的应用关于响应面法的应用有四篇非常精辟的论文.1966年Hill 和Hunter 对RSM 的回顾[4],主要介绍了RSM 在化学过程中的应用情况,用实例说明了正则分析和多目标优化问题;1975年Mead 和Pike 对RSM的总结[5]则主要介绍了RSM 在生物学领域的应用,并列举了相关方面的实例;1989年Myers,Khuri 和Carter 对RSM 的回顾中精辟地总结了从1966年到1988年RSM 理论的发展和应用[6];1999年Myers 对RSM 的发展作了进一步总结,阐述了当时RSM 的发展状况,并指出了RSM 的发展方向[2].中心复合设计仍然是当前应用得最多的RSM 经典设计方法,近年来,D -优化设计、贝叶斯设计和稳健设计也得到了重视和发展.实际中要解决的RSM 问题基本上都是多目标优化问题,如何解决好多目标优化问题仍然需要进一步探讨.研究表明,RSM 的用途越来越广.下面分别说明RSM 在各个领域的运用,并重点介绍RSM 在工程学中的应用情况.3 1 响应面法在化学工业和生物学中的应用化学和生物学领域是RSM 最重要的应用领域,RSM 在这两个学科的研究中充分展现了它的优点.响应面法于20世纪50年代最先应用于化学工业中,目的在于确定最优操作过程.Hill 和Hunter1966年的论文详细介绍了早期RSM 在化学领域的应用情况[4].现在,RSM 仍然在化学中有很重要的应用.响应面法被频繁地用来确定各种反应物的剂量,使得响应达到最优值或预期值.例如:用RSM 研究确定硫酰氟熏蒸除鼠的投药剂量与作用,用于优化各种培养基,还有研究人员借助因回归算法及实验设计与优化方法对有机合成进行响应面优化,并获得了良好结果.RSM 在生物学中的应用也相当广泛,主要用于研究反应混合物中各化学反应成分所占比例与其生物学活性之间的关系,确定生物材料的最优试验条件.关于早期RSM 在生物学领域的应用情况可以参考文献[5].现在,RSM 仍然是生物学中的一种重要优化方法.例如:利用RSM 进行家禽营养学研究,利用RSM 优化固态发酵生产生物农药盾壳霉,此外,RSM 还被用于癌症研究,这方面的详细资料可以参看文献[7].237 第3期王永菲等:响应面法的理论与应用238中央民族大学学报(自然科学版)第14卷3 2 响应面法在食品学中的应用20世纪70年代起,RSM就开始被应用于食品工业,并取得了很多令人满意的成果.这从相关期刊上的大量文章以及工业中的实际操作都可以得到反映.这里不能对该领域的所有成果都加以详述,只能总结某些重要应用.20世纪70年代初期,R.G.Henika开始把响应面方法应用于早期食品研究中.由于他在这一领域的领袖地位,该领域的其他研究人员相继把RSM作为一种研究策略.Henika,Palmer[8]和Henika[9]发表的两篇文章是关于RSM在这一领域应用情况的非常有价值的参考文献,文献[6]中也有相关介绍.RSM在食品学中主要有以下两个方面的应用:(1)使用RSM来确定食品中各成分作用以确定各成分所占比例.例如:采用混合设计建立响应面,然后研究蛋糕里营养成分之间的交互作用;利用Box-Behnken设计的响应面分析法对影响植脂奶油搅打特性的三个因素进行优化以确定它们的最佳水平.(2)利用RSM确定最优反应条件.例如:应用响应面分析方法对影响菜籽蛋白的酶水解的因素进行分析,得到复合风味蛋白酶的最佳酶水解条件;在单因素实验基础上,利用Placket-t B urman设计,得出竹叶黄酮最佳浸提条件.3 3 响应面法在工程学中的应用随着响应面法理论的完善和发展,以及计算机性能的提高,RSM也得到了工程界的重视,响应面法频繁地被用于解决各种工程问题.此外,优化设计,可靠性分析、计算,动力学研究,工程过程控制等方面也涉及到了响应面法的应用.这里主要介绍响应面法在结构优化、可靠性分析和车辆动力学中的应用.(1)响应面法在结构优化设计和可靠性分析中的应用结构优化技术已成为结构设计的有力工具.在传统的结构优化设计中,结构所处的载荷环境、结构参数及失效模式、设计要求、优化的目标函数等均被处理为确定性的,但在很多情况下,由于不确定性的考虑不合理,确定性的结构优化设计得出的结构冗余度更小,失效模式增多,因而比未经优化的结构具有更高的失效概率.针对此问题,先进的仿真方法结合响应面法成为有效地进行结构优化设计的途径之一.目前,利用响应面法进行优化设计的例子很多,用来优化轿车车体参数、利用RSM优化离心压缩机叶轮、应用RSM确定飞机总体方案设计等,此外,在包含有限元分析的可靠性优化设计中,采用响应面法来减少完整的有限元分析次数,可大大缩短计算时间[10].对结构物进行可靠性分析,首先要建立极限状态函数,而在实际工程中结构构造非常复杂,一般不能给出极限状态函数的明确表达式.针对这一问题,RSM作为一种近似计算方法得到了迅速发展.1984年Wong首先提出结构可靠度计算的响应面法,1985年应用于土坡稳定的可靠度计算.其优点是可以直接应用确定性结构分析程序,而不必对中间计算过程进行修改,用二次响应面函数逼近非线性极限状态函数计算结构可靠性,与Talor一次展开式相比,计算精度明显提高,且计算时间大大降低.Bucher等将响应面法引入结构可靠性分析中,建立结构输入与结构响应之间的关系,然后进行结构可靠性分析[11],目前该算法成为国际上公认的解决结构系统可靠性的最有希望的算法之一.随着这种方法的发展,RSM 还应用于隧道衬砌结构、桥面结构、装配式公路钢桥等的可靠度分析中.但是,对于一个具有大量随机变量的问题来说,准确构造一个近似多项式进行确定性分析的工作量是相当巨大的,因此响应面法很耗时.即使对于一个具有少量随机变量的问题来说,响应面法对可靠度估计的准确性与功能函数的近似多项式的准确性有关.如果隐含型的功能函数具有很强的非线性,这种函数逼近是非常近似的,可靠度估计也是非常近似的.现在有许多学者对此问题作了深入地研究,提出一些改进的办法[12],但这个问题仍值得进一步探索和研究.(2)响应面法在车辆动力学中的应用目前将RSM应用到车辆动力学的例子并不多,只有一些初步的尝试.在车辆动力学软件ADAMS中有内含的RSM软件包,相关研究人员还尝试在ADAMS中把RSM应用于赛车动力学仿真,但这些程序和工作都有待进一步完善和继续研究.现在国内还有研究人员应用响应面方法优化200KM H 转向架阻尼器的参数[13],但也还只是初步的尝试.可以说,车辆动力学是RSM 的一个应用新方向,可以在这方面作进一步的探索和深入的研究.3 4 响应面法在其他领域中的应用响应面法除了上面的应用外,还被应用到其他领域中.首先,已经有在生态学中应用RSM 的例子.例如:根据昆虫种群动态的混沌与非线性时间序列预测的原理,应用RSM 建立混沌与非线性时间序列预测的模型,该模型对于进一步探明农田生态系统中各种群间相互关系,深入理解生态系统结构与功能的关系具有一定的理论意义[14].其次,环境科学中也涉及到了RSM 的应用.例如:利用响应面法研究Fenton 试剂处理卫生填埋渗滤液过程中诸因素对COD 去除率的影响[15].此外,1970年Shecher 和Heady对种植谷物仿真模型的设计和分析试验是响应面技术应用于经济学的成功例子,考虑了四个响应 农场净收入、农场净收入参与人、累计资金和政府开支,利用RSM 解决这个多目标优化问题,提高了农场净收入,降低了政府开支[16].4 结束语RSM 作为一种优化方法,考虑了试验随机误差,而传统优化是不考虑试验随机误差的.同时,RSM 将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合,计算比较简便.当然,RSM 也存在一些不足,比如,当变量个数比较多的时候,准确构造一个近似多项式进行确定性分析会比较困难,从而导致耗费计时.另外,当模型存在很强的非线性,或者误差分布是非正态分布时,寻找合适的优化设计会非常困难.此外,虽然许多计算机软件公司利用A -、D -、E -、G -优化准则形成了自动生成试验设计表的软件包,但是,对于如何生成良好的或稳定的设计方案,还不存在通用的基本原则[2],这些问题都需要研究人员进一步的讨论和探索.综上所述,响应面法在很多领域中都得到了一定的应用,尤其是在化学、生物学、工程学中占据一定的重要地位.应该相信,随着对响应面法理论研究的深入,优化算法和实验设计方法的进一步发展,以及计算机性能的提高,响应面法的应用将会更广泛、更趋完善.参考文献:[1] 汪仁官.试验设计与分析[M].北京:中国统计出版社,1998.[2] RAYMOND H MYERS.Response Surface Methodology -Current Status and Future Directions [J ].Journal o f QualityTechnology ,1999,31(1).[3] 张润楚,郑海涛,兰燕.试验设计与分析及参数优化[M].北京:中国统计出版社.2003.[4] HILL W J,HUNTER W G.A Review of Response Surface Methodology:A Literature Review[J].Technometrics ,1966,8:571-590.[5] R M ead,D J Pike.A Review of Response Surface Methodology from A Biometrics Viewpoint[J].Biometrics ,1975,31(12):803-851.[6] RAYMOND H MYERS,ANDRE I KHUTI,WALTER H CARTER.Response Surface Methodology:1966-1988[J ].Technometrics ,1989,31(2).[7] CARTER W H,WAMPLER G L,STAB LEIN D M.Review of the Application of Response Surface 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Cheng_guo2(1.School o f Mathematical and Computer Scie nce,Central U ni versity for Nationalitie s,Bei j ing 100081,China;2.Rail way Sc ienc e and Technology Re se arch Develo pment Center,China Ac ademy o f Railway Sciences,Be ijing 100081,China)Abstract:In this paper,we introduce the essentials of response surface methodology(RSM),The article review the applica tions of RSM in the che mical and biological fields,and in food and engineering sciences,especially in struc tural optimal design and reliability analysis.We mention the application of RSM in vehicle dyna mics.All of these sho w RSM will be applied widely.Key words:response surface methodology;engineering applications;vehicle dynamics;mathemaical program ming[责任编辑:杨 玉] (上接第213页)Three_colored Answers for Cubic Graphby Expand Trees with FaceCHENG Bin(School o f Mathe matics and Compute r Science,Ce ntral Unive rsit y for Nationalities,Bei jing 100081,China)Abstract:We analyzed the characters of odd_even and combination of cubic graph,and got the concept of pieces_can_be_three_colored.Most of pieces_can_be_three_colored were found by the method of expand trees with face.We educed many edge three_c olored answers from pieces_can_be_three_c olored of cubic graph.Key words:cubic graph;bichromatic subgraph;maximal planar graph[责任编辑:杨 玉]。
