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第二讲 不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2____ab ，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当______时，它们的积P 取得最____值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当______时，它们的和S 取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ____na 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．已知a <0，b <0，且1a 2>1b2，则a ，b 的大小关系为______．2．已知a 、b 、m 均为正数，且a <b ，M ＝ab ，N ＝a ＋m b ＋m ，则M 、N 的大小关系是________．3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 4．已知a >0，b >0，则P ＝lg(1＋ab )，Q ＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]的大小关系为________．5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为________.题型一 柯西不等式的应用例1 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为______．题型二 用综合法或分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2) abc＋ b ac＋ cab≥3(a ＋b ＋c )．题型三 放缩法或数学归纳法 例3若n ∈N *，Sn ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.思维升华 (1)与正整数n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1.求证：32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．利用算术—几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a ，b ，c 均为正数，则a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2的最小值为________． 思维启迪 (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c 分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．解析 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式取得最小值6 3.答案 6 3温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误； 二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错.方法与技巧1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防X1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练1．若1a <1b<0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b <2a －b .其中正确的是________．2．若T 1＝2sm ＋n ，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________．3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则(1＋1x )(1＋1y)的最小值为________．5．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系为__________．6．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．7．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 9．(2013·某某)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．10．设a >0，b >0，则以下不等式①ab >2ab a ＋b ，②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2中恒成立的序号是________．B 组 专项能力提升1．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为_________________________．2．函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝⎛⎭⎫0，13上的最大值是________． 3．(2013·某某)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．4．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为________． 5．P ＝x x ＋1＋y y ＋1＋z z ＋1(x >0，y >0，z >0)与3的大小关系是________．6．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为_________________________．7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ________.(填序号)①都不大于2； ②都不小于2； ③至少有一个大于2； ④至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习 要点梳理1．(2)≥a ＝b 正数 不小于(即大于或等于) (3)①x ＝y 大 ②x ＝y 小2．(1)≥a ＝b ＝c 不小于 (2)不小于 ≥a 1＝a 2＝…＝a n 4．(1)①a －b >0 ②ab >1 (2)充分条件 (4)相反(5)放大或缩小 夯基释疑1．a >b 2．M <N解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )<0，即M <N .3．a >b >c解析 分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6∴a >b >c . 4．P ≤Q解析 12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝lg(1＋a )(1＋b ).∵(1＋a )(1＋b )＝1＋(a ＋b )＋ab ≥1＋2ab ＋ab ＝(1＋ab )2，∴(1＋a )(1＋b )≥1＋ab ，∴lg(1＋ab )≤lg(1＋a )(1＋b )＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．∴P ≤Q .5．2解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·[( 2a)2＋( 2b)2＋( 2c)2] ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b · 2b ＋c · 2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c≥2. ∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. 题型分类深度剖析 例1证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )， 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.跟踪训练1425解析 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.例2证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， (1a －1)·(1b －1)·(1c －1)＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.跟踪训练2 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1， 故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2 (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立． 例3 证明 ∵n (n ＋1)>n 2， ∴S n >1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又∵n (n ＋1)<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12)＝n (n ＋1)2＋n 2＝n 2＋2n 2<(n ＋1)22.∴n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.跟踪训练3 证明 ∵k (k ＋1)>k 2>k (k －1)，k ≥2， ∴1k (k ＋1)<1k 2<1k (k －1)，即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ， 分别令k ＝2,3，…，n 得 12－13<122<1－12； 13－14<132<12－13； …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n ； 将上述不等式相加得： 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋ (1)2 <1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n ， ∴32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n . 练出高分 A 组 1．②③④解析 取特殊值a ＝－1，b ＝－2， 代入验证得②③④正确． 2．T 1≤T 2解析 因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0.所以T 1≤T 2. 3．c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0得c >b ，知c 最大．4．4解析 (1＋1x )(1＋1y )≥(1＋1xy )2＝4.5．M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .6．M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba＋a >2a ＋2b ，∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 7. 3解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 8.39解析 3a ＋2b ＋c ＝3a ＋2b ＋133c ≤⎝⎛⎭⎫3＋1＋13(a ＋2b ＋3c )＝39， 故最大值为39.9．－2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值 是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 10．②④解析 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≥2ab a ＋b .故①不恒成立． ②中a ＋b >|a －b |恒成立．③中a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2≥0，故③不恒成立．④中由ab >0及ab ＋2ab≥22>2恒成立， 因此只有②④正确．B 组1．16解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y时，上式等号成立． 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 2.4243解析 由y ＝x 2·(1－3x )＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝4243. 3．2解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.4．9解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，① 同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.② 由①②及不等式的性质得⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b＝9. 5．P <3解析 ∵P －3＝x x ＋1－1＋y y ＋1－1＋z z ＋1－1＝－1x ＋1＋－1y ＋1＋－1z ＋1<0，∴P <3. 6．－2 3解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132] ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤2 3.当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z＝－23，∴最小值为－2 3. 7．④解析∵a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝⎝⎛⎭⎫a＋1a＋⎝⎛⎭⎫b＋1b＋⎝⎛⎭⎫c＋1c≥2＋2＋2＝6.∴a＋1b，b＋1c，c＋1a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.。
