上海高考数学(文科)试题及答案

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

Unit 5 The power of nature单元同步测试I. 单项选择1. In the city of London, you can see fantastic modern architectures and antique buildings______each other, ______ a sharp contrast between modern and ancient architectural styles.A. alongside; makingB. along; to makeC. aside; makingD. together with; having made2. The diagram on the wall shows clearly the distribution of volcanoes in the region and______the _____ones ________.A. how long; eruptB. how much; break outC. how often; eruptD. how frequent; shoot3. In order to evaluate the effect that the computer has ______ people’s life, they have handedout questionnaires to more than one thousand young citizens, all of ______picked out at random.A. on; whomB. for; themC. in; whomD. on; them4. The lava from the volcano eruption was more than enough to bury the small town that ______at the foot of it. The town would have _______ heavy losses if preparations had not been made.A lay; suffered B. lies; suffered from C. lied; suffered D. laid; suffered from5. Hearing the news that he had been ______as general manager of the big company, he ______with excitement and joy, forgetting that he was showing some visitors around.A. named; broke outB. appointed; eruptedC. made; was filledD. chosen; was full6. Equipped with protective equipment like special suits, helmets, boots, gloves and masks, theyvolcanologists made their _____the volcano _______ the continual fountaining up and flowing down of lava, hoping to get near to the edge of crater and study the eruption more closely.A. ways to; in spite ofB. way to; despiteC. way up; in spite ofD. ways up; despite7. Just as the candidate _______ to deliver his a campaign speech _____ he was informed thathis qualification had been canceledA. was about; whenB. was going to; whenC. would; whenD. was on the point; as8. Hard as a teacher may try, he can’t ______to make all his students make a difference in study,letting alone in life.A. ensureB. be sureC. guaranteeD. insure9. Nothing in the world is ______ and everything is ________. So be _______ when saying― You are absolutely right or absolutely wrong‖.A. absolute; creative; carefulB. complete; incomplete; cautiousD. steady; changeable; careful D. absolute; relative; cautious10. The hurricane _______the city _______surprise, after which little remained undamaged______itA. caught; by; ofB. took; by; ofC. seized; in; inD. put; in; of11. His appreciation of potential dangers of writing about the bad sides of society didn’t stop thenovelist from writing his novels, exposing abuses of powers, corruption of high offic ials and so on, which _______ great appreciation from a large number of readers.A. aroseB. raisedC. arousedD. rose out12. A wave of fear and anxiety swept over the mother when she heard over the radio that atyphoon up to 14 scales was _______ to the sea area where her husband and her three sons were fishing and she became extremely _______ their safetyA. on its way; anxious aboutB. made its ways worried aboutC. in its way; panic aboutD. by its way; serious about13. Half way up the mountain and ready to shoot at the wolf the hunter had been running after,he heard something sounding like a thunder coming out of the mountain from the top and then he saw something red ________into the sky. Only then did he realize that it was volcano eruption; he got into ______ and began to run downhill like mad for life.A. burst up; anxietyB. shooting up; a panicC. coming up; panicD. erupting up; trouble14. People’s character _______ greatly from one to another, which accounts for the ______ofdifferent behaviors in the same situation, without which behaviors would become uniformand the world would be less colorful.A. changes; variety;B. alters; diversityC. varies; differencesD. varies; diversity15. Specialists came to _____ the loss that was caused by the big fire, in which too manybuildings were burned to the ground and too many people were burned to death. Theyworked out a number but the actual number might be _______A. value; many moreB. evaluate; much moreC. assess; much largerD. inspect; many bigger16. _________the college girl was enjoying the rainbow after the thunderstorm when she felldown from the balcony of a six-storey building and got killed.A. It is reported thatB. As it is reported,C. As is reported thatD. It is reported by17. I w as so _______ in my reading of the documents about our company’s expansion plan inmy uncle’s office that I was ________ of the danger that was coming near.A. concentrated; unawareB. devoted; unconsciousC. buried; unconsciousD. employed; unnotable18. With his head covered with ashes, sweat streaming down his face and his whole bodytrembling, I ______he must be feeling extremely uncomfortable and he ________ in somesort of accident.A. dare say; must have been caughtB. bet; must have been caughtC. must say; must be caughtD. am sure; me caught19. _______property together with many other things, life is more precious, so we should never______and try whatever we can to protect it.A. Compared to; risk itB. Compared with; run risk of itC. Comparing it with; put it on riskD. Comparing; run the risk at it20. A ____ his office window ____ a whole view of the Washington Monument and the LincolnMemorial.A. look through; offersB. glance through; providesC. glimpse through; suppliesD. glance through; offers21. ---What do you think of the little girl’s singing on the Walk of Fame, a pro gram on CCTVthat appeals to millions and millions of talented people who have unique gifts for certain performances.----_______ and everybody present was _______.A. Impressing; impressedB. Impressed; impressiveC. Impressive; impressedD. Impressive; impressing22. One feature that is ______ the program is that the file manager has a word processor thatunderstands Englishlanguage database queries(查询) and that it combines four powerful productivity products in a single package.A. essential toB. vital toC. unique toD. valuable to23. You can’t imagine what a fantastic _______ it is to see a vast golden field of crops ______ inthe golden sun, with wind blowing gently, birds singing sweetly in the trees and people harvesting crops happily.A. scenery; taking a bathB. sight; bathingC. view; having a bathD. scene; bathed24. _______to get his audience who seemed to be bored interested in what he was talking about,the professor made a ______ of himself by saying that they would get a present each if they _____. He lost a lot of money as a result.A. In his effort; fool; wereB. With his effort; mistake; didC. In his effort; mistake; wereD. In his effort; fool; did25. The _______expression on the girl’s face suggested that she was _______ the ______toys Ibrought her.A. exciting; anxious for; excitingB. excited; eager for; excitingC. excited; longing for; excitedD. exciting; hoping for; excitedII 完形填空I close my eyes and can still hear her—the little girl with a ___26___ so strong and powerful we could hear her halfway down the block. She was a(n) ___27___ peasant who asked formoney and ___28___ gave the only thing she had——her voice. I paused outside a small shop and listened. She brought to my mind the ___29___ of Little Orphan Annie. I could not understand the words she ___30___, but her voice begged for ___31___. It stood out from the noises of Arbat Street, pure and impressive, like the chime of a bell. She sang ___32___ an old-style lamp post in the shadow of a building, her arms extended and ___33___ thrown back. She was small and of unremarkable looks. Her brown hair___34___ the bun(发髻) it had been pulled into, and she occasionally reached up to ___35___ a stray piece from her face. Her clothing I can’t recall. Her voice, on the other hand, is ___36___ imprinted in my mind.I asked one of the translators about the girl. Elaina told me that she and hundreds of others like her throughout the ___37___ Soviet Union add to their families’ income by working on the streets. The children are unable to ___38___ school, and their parents work fulltime. These children know that the consequence of an ___39___ day is no food for the table. Similar situations occurred during the Depression(萧条) in the United States, but those American children were___40___ shoeshine boys of the ___41___. This girl was real to me.When we walked past her I gave her money. It was not out of pity ___42___ rather admiration. Her smile of ___43___ did not interrupt her singing. The girl watched us as we walked down the street. I know this because when I looked back she smiled again. We ___44___ that smile, and I knew I could never forget her courage and ___45___ strength.26. A. will B. strength C. voice D. determination27. A. American B. Chinese C. Japanese D. Russian28. A. in return B. in turn C. by hand D. in silence29. A. voice B. image C. story D. looks30. A. said B. murmured C. used D. sang31. A. attention B. love C. help D. mercy32. A. across B. from C. under D. from underneath33. A. hands B. feet C. head D. face34. A. fell out B. escaped C. did up D. tied to35. A. remove B. tear C. cut off D. dress36. A. never B. permanently C. occasionally D. sometimes37. A. latter B. rich C. former D. great38. A. attend B. finish C. leave D. enjoy39. A. unhappy B. unsatisfied C. unusual D. unsuccessful40. A. faced B. real C. faceless D. visible41. A. twenties B. thirties C. forties D. teens42. A. and B. while C. but D. or43. A. contempt B. pity C. bitterness D. thanks44. A. stopped B. shared C. won D. exchanged45. A. full B. inner C. brave D. fightingIII 阅读理解第一节：阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m = .【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集的并集，根据集合的定义求元素. 【参考答案】2【试题解析】显然m =2. 2.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】直接给出分数不等式，求不等式的解集. 【参考答案】{}24|<<-x x 【试题解析】204xx ->+等价于（x -2）(x +4)<0,所以4x -<<2. 3.行列式ππcossin 66ππsin cos 66的值是 .【测量目标】行列式的运算.【考查方式】直接给出行列式，根据行列式运算法则求值. 【参考答案】0.5 【试题解析】ππcossin66ππsin cos 66=πππππ1cos cos sin sin cos 666632-==.4.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += .【测量目标】复数的基本运算.【考查方式】直接给出复数z ，求其共轭复数，进而根据运算法则求值. 【参考答案】62i -【试题解析】z z z +=(12i)(12i)12i 62i -++-=-.5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个体. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出样本，根据分层抽样求样本的个体. 【参考答案】20【试题解析】从C 中抽取20102100=⨯. 6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =则该四棱椎的体积是 . 【测量目标】锥的体积.【考查方式】直接给出四棱锥的底面边长和高的值，利用椎体体积公式求体积. 【参考答案】96 【试题解析】9683631=⨯⨯=V . 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】点到直线的距离公式.【考查方式】给出圆一般方程，得到圆心坐标，根据点到直线的距离公式求解. 【参考答案】3【试题解析】圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义及其标准方程.【考查方式】给出符合抛物线定义的动点数据，利用代数关系求动点的轨迹方程. 【参考答案】y 2=8x【试题解析】P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p =2所以其方程为y 2=8x. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 . 【测量目标】反函数的概念和性质.【考查方式】直接给出函数，求其反函数，进而得出交点坐标. 【参考答案】(0,-2)【试题解析】函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=xy ，另x =0，有y =2-.10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为 （结果用最简分数表示）. 【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出等可能事件，利用排列组合求概率.【参考答案】351【试题解析】“抽出的2张均为红桃”的概率为213252C 3C 51=.11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构，得到S 与a 的数量关系. 【参考答案】S ←S +a.【试题解析】依步骤得S ←S +a.12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，第11 题图 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵的定义.【考查方式】给出矩阵的行和列，求出各对角元素值，最后求和. 【参考答案】45【试题解析】11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 . 【测量目标】双曲线的几何性质，平面向量的线性运算.【考查方式】根据给出的方向向量，求出渐进线的方程，从而得到双曲线的标准方程，再利 用平面向量得到点到坐标原点的向量坐标求出啊，a ，b 关系. 【参考答案】4ab =1.【试题解析】1(2,1)e =、2(2,1)e =-是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程 为.x y 21±=，又1,2,5==∴=b a c (步骤1) 双曲线方程为1422=-y x ，12OP ae be =+=),22(b a b a -+，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得4ab =1 . （步骤2）14.将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n ∈*N ，2n）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .【测量目标】简单的极限运算.【考查方式】直接给出直线方程，观察图形得出可行域代数关系，利用极限求最小值.【参考答案】12【试题解析】B )1,1(++n nn n 所以BO AC ⊥，（步骤1） n S =)1(21)2221(221+-=-+⨯⨯n n n n 所以lim n n S →∞=12 . (步骤2)二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩的目标函数z x y =+的最大值是 ( )A .1B .32C.2D.3 【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划求目标函数的最大值.【参考答案】C 【试题解析】当直线z x y =+过点B (1,1)时，z 最大值为2. 16.“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充要条件的判定. 【考查方式】充分，必要条件. 【参考答案】A【试题解析】ππtan(2π)tan144k +==，所以充分；但反之不成立，如5πtan 14=. 17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 ( ) A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）【测量目标】二分法的计算.【考查方式】根据给出的函数，构造新的函数，将选项带入新函数得到答案. 【参考答案】D【试题解析】04147lg)47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数.02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2）.18.若ABC △的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC △ ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形内角正弦的比值，从而得到三角形边长的比值，利用余弦定理得到 余弦值，最后判断角的大小. 【参考答案】C【试题解析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得::a b c =5:11:13由余弦定理得22251113cos 02511C +-=<⨯⨯，所以角C 为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知π02x <<，化简： 2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+.【测量目标】三角函数的诱导公式，对数的化简和计算.【考查方式】给出计算式，通过三角函数的变换，化简，再根据对数的基本运算求值. 【试题解析】原式=2lg(sin cos )lg(cos sin )lg(sin cos )0x x x x x x +++-+=．20.（本满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.【测量目标】平面图形的直观图和三视图，柱体的面积.【考查方式】写出含未知量底面积代数式，利用函数的知识求最值，根据空间想像能力绘制 较为准确三视图.【试题解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)， (2) 23π(0.4)0.48πS r =--+， （步骤1） (3) 所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (4) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图． （步骤2）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n ∈*N(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列前n 项和的代数关系式，证明等比数列，进而求出等比数列的前n 和， 利用比较大小求解.【试题解析】(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-， （步骤1）又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（步骤2）从而1575906n n S n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ (n ∈*N )； （步骤3）由S n +1 > S n ，得156522,log 114.96525n n -⎛⎫<>+ ⎪⎝⎭≈，最小正整数n =15．（步骤4） 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2（3）已知函数()f x 的定义域{}π,,D x x k k x ≠∈∈Z R .任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.【测量目标】解一元二次不等式，不等式的基本性质，函数的单调性与最值，奇偶性和周期..【考查方式】给出条件求符合条件自变量的取值范围.满足条件的绝对不等式相互之间比较大小.根据函数的奇偶，周期性，以及最小值求解函数的单调区间.【试题解析】(1) x ∈(-2,2)； （步骤1）(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有223322a b ab a b +>+>（步骤2）因为2233222()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，（步骤3）所以223322a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2(3) 1sin ,(2ππ,2π)()1|sin |,π1sin ,(2π,2ππ)x x k k f x x x k x x k k +∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ，（步骤4） f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，(步骤5) 函数f (x )在区间π(π,π)2k k -单调递增，在区间π(π,π+)2k k 单调递减，k ∈Z ．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三顶点.（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a=-，证明：E 为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标.【测量目标】平面向量的线性运算，直线方程和椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，椭圆中的探索性问题.【考查方式】通过向量坐标的基本运算求M.根据直线方程和椭圆方程的位置关系，解出两直线的斜率代数关系，再进行证明.根据向量等式的关系以及直线和椭圆方程的线性关系求出坐标. 【试题解析】(1) (,)22ab M -；（步骤1）(2) 由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11l y k x p =+：交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即22221a k b p +-＞0，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，(步骤2)则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，（步骤3）又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，（步骤4）故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．（步骤5）1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=-，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．（步骤6）。

2008年高考文科数学试题及参考答案（上海卷)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集是 ．2．若集合{|2}A x x =≤、{|}a B x x =≥满足2A B = ，则实数a = ．3．若复数z 满足(2)z i z =-（i 是虚数单位），则z = ．4．若函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则()f x = ．5．若向量a 、b 满足||1a =，||2b = ，且a 与b 的夹角为3π，则||a b +=．6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且||2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0)A 、(2,0)B 、(1,1)C 、(0,2)D 、(2,2)E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)．如果(,)P x y 是ABC∆围成的区域（含边界）上的点，那么当wxy =取得最大值时，点P 的坐标是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点(,)P x y 、点(,)P x y '''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处．小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=-，直线x t =（t R ∈）与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4tπ=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,]2t π∈时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22x x f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线C ：2212x y -=． （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点．记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；（3）已知点D 、E 、M 的坐标分别为(2,1)--、(2,1)-、(0,1)，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM ∆截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r>，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1．(0,2) 2． 2 3．1i +4．2x （x R ∈）56．－17． 48．459．224x -+10．10.5a =，10.5b =11． 5(,5)2二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：过E 作EFBC ⊥，交BC 于F ，连接DF ．∵EF ⊥平面ABCD∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． …… 4分由题意，得1112EF CC ==．∵112CF CB ==，∴DF =． …… 8分∵EFDF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠== ……10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是． …… 12分17．解法一：设该扇形的半径为r 米．由题意，得500CD =（米），300DA =（米），60CDO ∠=．…… 4分在CDO ∆中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅= ，…… 6分即2221500(300)500(3020)2r r r ⨯⨯-⨯-=+-， …… 9分解得490044511r=≈（米）． 答：该扇形的半径OA 的长约为445米．…… 13分解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H． …… 2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=．…… 4分在ACD ∆中，2222cos120AC CD AD AD CD =+-⋅⋅ 222150030500300207002=⨯⨯=+⨯+ ∴700AC =（米），…… 6分222c 12s 114o AC AD CD CAD AC CD +-∠==⋅．…… 9分在直角HAO ∆中，350AH =（米），1os 114c HAO ∠=， ∴4900445cos 11HAO AH OA =∠=≈（米）．答：该扇形的半径OA 的长约为445米．…… 13分18．解：（1）)cos(2)|4|||si 26n(4MN πππ⨯-⨯+=． …… 2分23|1cos |32π=-=． ……5分（2）32cos(2)||sin 22|62|||sin t t t MNt π=-+=．……8分|s i n (2)|6t π=-． ……11分∵[0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ……13分∴||MN……15分19．解： （1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x xf x =-． ……2分由条件可知1222xx -=，即222210x x -⋅-=，解得21x= ……6分∵20x>，∴2log (1x =．……8分（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)202tt tt tm -+≥-， ……10分即42(21())21t tm ≥---，∵220t>，∴2(21)t m ≥-+．……13分∵[1,2]t ∈，∴2(12)[17,5]t-+∈--，故m 的取值范围是[)5,-+∞． ……16分20．解：（1）所求渐近线方程为0y x =，0y x =． ……3分（2）设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --． ……4分22200000003(,1)(,)122MP MQ x y x y x y x λ=⋅=-⋅--=--+=-+ ．……7分∵0||x ，∴λ的取值范围是(,1]-∞-． ……9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率(0,2k ∈． ……11分由计算可得，当1(0,]2k ∈时，()s k =当1(,)22k ∈时，()s k = ……15分∴s 表示为直线l 的斜率k的函数是1,2122()k s k k ≤<<<=．……16分21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78r r r r r =+++++++++++++++484r =+．……2分∵48464r +=，∴4r =．……4分（2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n=时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分②假设nk =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-．……10分（3）124mT m =-（1m ≥）． 当121n m =+，122m +时，41n T m =+；当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-；当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+； 当1211nm =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数， ∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m rm +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分。

1、设集合A={x | x是小于10的正整数}，B={x | x是3的倍数}，则A∩B等于A、{3, 6, 9}B、{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}C、{3}D、{1, 3, 5, 7, 9}解析：集合A为小于10的正整数，即A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

集合B为3的倍数，即B={3, 6, 9, 12, ...}。

A与B的交集为A和B共有的元素，即A∩B={3, 6, 9}。

（答案：A）2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=6，则a3等于A、1B、2C、3D、4解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2 * (2a1+(n-1)d)，其中a1为首项，d为公差。

根据题意，S3=3/2 * (21+(3-1)d)=6，解得d=2。

因此，a3=a1+2d=1+22=5-1=4。

（答案：D）3、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i解析：由(1+i)z=2i，得z=2i/(1+i)。

为了消去分母中的虚部，我们同时乘以(1-i)，得z=2i(1-i)/((1+i)(1-i))=2i-2i²/(1-i²)=2i+2/2=1+i。

（答案：A）4、某公司招聘，甲乙丙丁四人参加面试，只有一人被录用。

当四人被问及谁被录用时，甲说：“丙被录用”；乙说：“我没被录用”；丙说：“丁被录用”；丁说：“我没被录用”。

若四人中只有一人说的是真话，则被录用的是A、甲B、乙C、丙D、丁解析：若甲说的是真话，则丙被录用，此时乙说的是假话，即乙被录用，矛盾；若乙说的是真话，则乙没被录用，此时甲、丙、丁说的都是假话，即丙没被录用，丁没被录用，甲被录用，符合题意；若丙说的是真话，则丁被录用，此时乙、丁说的都是真话，矛盾；若丁说的是真话，则丁没被录用，此时乙说的也是真话，矛盾。

因此，被录用的是甲。

（答案：A）5、已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，则a与b的夹角为A、锐角B、直角C、钝角D、平角解析：向量a与b的夹角θ的余弦值为cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a·b为向量a与b的点积，|a|和|b|分别为向量a和b的模。

上海 数学试卷（文史类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 2．已知集合A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________.3. 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.5.如图，若正四棱柱ABC D —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2， 高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示).6.若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________. 7.已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数z=x-2y 的最小值是___________.8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。

9．过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。

10.函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。

11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

12.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。

上海高考数学试题及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 2B. 1C. -1D. -2答案：B2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，公差d = 2，则a5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 17答案：C3. 若三角形ABC的内角A、B、C满足A + B = 120°，则角C的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，若点(1, 5)在直线l上，则该点与直线l的位置关系为：A. 在直线l上B. 在直线l外C. 与直线l垂直D. 与直线l平行答案：A5. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. √3D. 3答案：A二、填空题6. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值为______。

答案：-27. 计算定积分∫₀¹ (2x - 1) dx的值为______。

答案：1/28. 若向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为______。

答案：59. 已知双曲线的方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程为______。

答案：y = ±(4/3)x10. 若圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9，求圆心坐标为______。

答案：(2, -1)三、解答题11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

答案：f(x)的最小值为f(2) = -1。

12. 已知椭圆的方程为x^2/25 + y^2/9 = 1，求椭圆的离心率。

答案：椭圆的离心率为√6/5。

13. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 7，b = 8，c = 9，求三角形ABC的面积。

1998年上海高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

2002年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 若1)3(,=+∈i z C z 且（i 为虚数单位），则=z 。

2. 已知向量和的夹角为120，且a b a b a ⋅-==)2(,5||,2||则= 。

3. 方程12)321(log 3+=⨯-x x的解x= 。

4. 若正四棱锥的底面边长为cm 32,体积为34cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 。

5. 在二项式nx )31(+和nx )52(+的展开式中，各项系数之和分别记为n a 、n b ，n 是正整数，则nn nn n b a b a 432lim--∞→= 。

6. 已知圆1)1(22=-+y x 和圆外一点)0,2(-P ，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 。

7. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 （结果用数值表示） 8. 抛物线)1(4)1(2-=-x y 的焦点坐标是 。

10. 设函数x x f 2sin )(=，若)(t x f +是偶函数，则t 的一个可能值是 。

11. 若数列}{n a 中，211,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a 。

12. 已知函数)(x f y =（定义域为D ，值域为A ）有反函数)(1x f y -=，则方程0)(=x f 有解x=a ，且x x f >)()(D x ∈的充要条件是)(1x fy -=满足 。

二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围: 陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时, 必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3.答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5.考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则A∩B=( )(A) {1,2,3,4}(B) {1,2,3,4}(C) {1,2,3,4}(D) {1,2,3,4}【参考答案】A【详细解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以A∩B= {1,2,3,4}, 故选(A).2. 设z=√2i, 则z⋅z‾=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为z=√2i, 所以z⋅z‾=2, 故选(D).3.若实数x,y满足约束条件(略), 则z=x−5y的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) −72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,−1)、(32,1)和(3,12), 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: z min=−72, 故选(D).4.等差数列{a n}的前n项和为S n, 若S9=1,a3+a7=( )(A) -2(B) 73(C) 1(D) 29【参考答案】D【详细解析】令d=0, 则S9=9a n=1,a n=19,a3+a7=29, 故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）(A) 14(B) 13(C) 12(D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).6. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(0, 4)、F2(0,−4), 且经过点P(−6,4), 则双曲线C的离心率是( ) (A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】e=c=|F1F2|a=2, 故选(C).7.曲线f(x)=x6+3x在(0,−1)处的切线与坐标轴围成的面积为 ((A) 1(B)3 2(C) 12(D) √3 2【参考答案】A【详细解析】因为y′=6x5+3, 所以k=3,y=3x−1,S=12×13×1=16, 故选(A).8.函数f(x)=−x2+(e x−e−x)sin x的大致图像为 ( ) 【参考答案】B【详细解析】选(B).9.已知cos αcos α−sin α=13, 则tan (α+π4)=( )(A) 3(B) 2√3−1(C) -3(D) 13【参考答案】B【详细解析】因为cos αcos α−sin α=√3, 所以tan α=1−√33,tan (α+π4)=tan α+11−tan α=2√3−1, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面: (1)若m⊥α,n⊥α, 则m//n; (2)若α∩β=m,m//n, 则n//β; (3)若m//α,n//α,m与n可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若α∩β=m,n与α和β所成的角相等, 则m⊥n, 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在△ABC中, 内角A,B,C所对边分别为a,b,c, 若B=π3, b2=94ac, 则sin A+sin C=( )(A)23913(B) √3913 (C) 72(D)3√1313【参考答案】C【详细解析】因为 B =π3,b 2=94ac , 所以 sin A sin C =49sin 2 B =13. 由余弦定理可得: b 2=a 2+c 2 −ac =94ac , 即: a 2+c 2=134ac,sin 2 A +sin 2 C =134sin A sin C =1312, 所以 (sin A +sin C)2=sin 2A +sin 2C +2sin A sin C =74,sin A +sin C =√72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数 f(x)=sin x −√3cos x 在 [0,π] 上的最大值是【参考答案】2【详细解析】 f(x)=sin x −√3cos x =2sin (x −π3)⩽2, 当且仅当 x =5π6时取等号. 15. 已知 a >1,1log8a−1log a4=−52, 则 a = . 【参考答案】 64【详细解析】因为 1log8a−1loga4=3log 2a−12log 2 a =−52, 所以 (log 2 a +1)(log 2 a −6)=0, 而 a >1,故 log 2 a =6,a =64.16. 曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 .【参考答案】 (−2,1)【详细解析】令 x 3−3x =−(x −1)2+a , 则 a =x 3−3x +(x −1)2, 设 φ(x)=x 3−3x +(x −1)2,φ′(x) =(3x +5)(x −1),φ(x) 在 (1,+∞) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=−2, 所以 a 的取值范围为 (−2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题 第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 2S n =3a n+1−3. (1)求 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {S n } 的通项公式. 【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2S n =3a n+1−3, 所以 2S n+1=3a n+2−3, 两式相减可得: 2a n+1=3a n+2− 3a n+1, 即: 3a n+2=5a n+1, 所以等比数列 {a n } 的公比 q =53, 又因为 2S 1=3a 2−3=5a 1−3, 所以 a 1=1,a n =(53)n−1;(2) 因为 2S n =3a n+1−3, 所以 S n =32(a n+1−1)=32[(53)n−1].18.(12 分)题干略. 【详细解析】(1) χ2=150(70×24−26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;(2) p ‾>p +1.65√p(1−p)150, 故有优化提升. 19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB =DE =EF =CF =2, CD =4,AD =BC =√10,AE =2√3,M 为 CD 的中点. (1)证明: EM// 平面 BCF ; (2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF =CM , 而 CF 平面 ADO,EM ⊈ 平面 ADO , 所以 EM //平面BCF;(2)取DM的中点O, 连结OA,OE, 则OA⊥DM,OE⊥DM,OA=3,OE=√3, 而AE=2√3,故OA⊥OE,S△AOE=2√33. 因为DE=2,AD=√10, 所以AD⊥DE,S△AOE=√10.DM设点M到平面ADE的距离为ℎ, 所以V M−ADE=13S△ADE⋅ℎ=13S△AOE⋅DM,ℎ=4√3√10=2√305, 故点M到ADE的距离为2√30 5.20.(12 分) 已知函数f(x)=a(x−1)−ln x+1.(1)求f(x)的单调区间; ◻(2)若a⩽2时, 证明: 当x>1时, f(x)<e x−1恒成立. 【参考答案】见解析若a⩽0,f′(x)<0,f(x)的减区间为(0,+∞), 无增区间;若a>0时, 当0<x<1a 时, f′(x)<0, 当x>1a时, f′(x)>0, 所以f(x)的减区间为(0,1a ), 增区间为(1a,+∞);(2)因为a⩽2, 所以当x>1时, e x−1−f(x)=e x−1−a(x−1)+ln x−1⩾e x−1−2x+ ln x+1. 令g(x)=e x−1−2x+ln x+1, 则g′(x)=e x−1−2+1x. 令ℎ(x)=g′(x), 则ℎ′(x)=e x−1−1x2在(1,+∞)上递增, ℎ′(x)>ℎ′(1)=0, 所以ℎ(x)=g′(x)在(1,+∞)上递增, g′(x)>g′(1)=0, 故g(x)在(1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当x>1时, f(x)< e x−1恒成立.21.(12 分) 已知粗圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点M(1, 32在椭圆C上, 且MF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2) P(4,0), 过P的直线与椭圆C交于A,B两点, N为FP的中点, 直线NB与MF交于Q,证明: AQ⊥y轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1, 则|F1F|=2,|MF|=32. 因为MF⊥x轴, 所以∣MF1=52,2a=|MF1|+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2−1=3, 故椭圆C的方程为: x24+y 23=1;{3x 12+4y 12=123(λx 2)2+4(λy 2)2=12λ2可得: 3⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ+4⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=12, 结合上式可得: 5λ− 2λx 2+3=0.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3λy 25λ−2λx 2=−λy 2=y 1, 故AQ ⊥y 轴.x 2y 1)(x 1y 2+x 2y 1)=x 12y 22−x 22y 12=(4+4y 123)y 22−(4+4y 223)y 12=4(y 2−y 1)(y 2+y 1)=4(y 2−y 1)(x 1y 2+x 2y 1),即: x 1y 2+x 2y 1=y 2+y 1,2x 2y 1=5y 1−3y 2.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3y 1y 25y1−2y 1x 2=y 1, 故 AQ ⊥y 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ρcos θ+1. (1)写出 C 的直角坐标方程;(2)直线 {x =ty =t +a (t 为参数)与曲线 C 交于 A 、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为 ρ=ρcos θ+1, 所以 ρ2=(ρcos θ+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x 2+y 2=(x +1)2, 即: y 2=2x +1; ◻(2) 将 {x =ty =t +a 代入 y 2=2x +1 可得: t 2+2(a −1)t +a 2−1=0,|AB|=√2|t 1−t 2|=√16(1−a)=2,解得: a =34.[选修 4-5: 不等式选讲](10 分)实数 a,b 满足 a +b ⩾3. (1)证明: 2a 2+2b 2>a +b ;(2)证明: |a−2b2|+|b−2a2|⩾6.【解析】(1)因为a+b⩾3, 所以2a2+2b2⩾(a+b)2>a+b;(2) |a−2b2|+|b−2a2|⩾|a−2b2+b−2a2|=|2a2+2b2−(a+b)|=2a2+2b2−(a+b)⩾(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)⩾6.。