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第十讲 整式及乘法公式教学目标：1．会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法计算。
2．掌握整式的混合运算，能灵活的运用运算律与乘法公式的简化运算。
3．熟悉整式的乘除的转化，深化对相关性质和公式的理解。
重点难点：1．同底数幂的乘法，幂的乘方法则和积的乘方法则。
2．单项式乘法法则，单项式与多项式及多项式与多项式的乘法法则。
3．平方差公式和完全平方差公式的运用。
知识导航：一、基本概念1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 a m ⋅ a n = a m +n （m 、n 都是正整数）2．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
即 (a m )n = a mn （m 、n 都是正整数）3．积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab )n = a n b n（n 为整数） 二、整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点/易错点1（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m ⋅a n ⋅a p =a m+n+p（m, n,p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
第十二讲分式及其运算1.掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为 0、为 1 的条件。
2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分3.会进行分式的加减、乘法、除法、乘方运算。
1.掌握分式方程的混合运算，了解验根的含义。
2.掌握零指数幂、负指数幂的意义。
3.会列出分式方程解简单的应用题。
一、分式的基本概念及性质1.概念：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A∕B 叫做分式（B≠0）。
①在分式中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
②对于任意一个分式，分母都不能为 0，否则分式无意义。
③分式值为 0 的条件：在分母不等于 0 的前提下，分子等于 0，则分数值为 0。
2.分式的基本性质和变形应用（1）分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
（2）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．3.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
二、分式的运算1．分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
③分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
④分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
三、分式方程1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.解分式方程的基本思想：将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
考点/易错点1分式的约分步骤:①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
![【配套K12】[学习]2018年秋八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘](https://img.taocdn.com/s1/m/4711037df01dc281e53af0f0.png)
第十四章 14.1.6多项式乘多项式知识点：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为关键提醒:(1)运用多项式乘法法则时,必须做到不重不漏,为此,相乘时,要按照一定的顺序进行;(2)多项式乘以多项式,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积.考点1：多项式与多项式相乘的计算【例1】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b);(2)(x-y)(x2+xy+y2).解:(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b=6ax+9bx-4ay-6by;(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3.点拨:(1)中先用3x分别与2a,3b相乘,再用-2y分别与2a,3b相乘,然后把所得的积相加;(2)中可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加.考点2：整式乘法的实际应用【例2】为应对国际金融危机,2009年我国出台了一系列刺激住房消费的优惠政策.李小雨家刚刚买了一套房子,房子的结构如图所示(单位:m),他家打算在房子里铺满地砖.(1)他家至少需要购买多少平方米的地砖?(2)如果铺设的这种地砖的价格是每平方米3n元,请你帮他家算一算至少需要花多少钱?解:(1)4a·2b+(2a+a)(4b-2b)+b(4a-2a-a)=8ab+3a·2b+b·a=8ab+6ab+ab=15ab(m2);(2)3n·15ab=45abn(元).点拨：此种解法是把整个图形分成若干个小长方形,分别计算它们的面积,再把结果相加.分割的方法不同,所列的整式也就不同.。
多项式乘多项式课题教学目标1．理解多项式与多项式相乘的法那么，并能运用法那么进行计算．2．理解算理，开展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.重点多项式与多项式相乘的法那么的概括与运用．难点探索多项式乘法的法那么，注意多项式乘法的运算中“漏项〞、“负号〞的问题。
教学手段方法多媒体课件、讲练结合教学过程教师活动学生活动说明或设计意图复习旧知问题 1 某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为p m．那么它的面积是多少？Pa b假设将这块长方形绿地的长增加b m，那么扩大后的绿地面积是多少？回忆单项式乘单项式的法那么是什么？依据是什么？单项式乘多项式的法那么是什么？依据是什么？完成问题11.复习前两节课的内容，为本节课。
因为本节课是以前两节课为根底。
引入，更容易能够让学生把知识的来龙去脉弄清楚。
新知探究问题 2 假设将原长方形绿地的长增加b m、宽增加q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？qp1.完成问题2(a b)(p q)++a(p q)b(p q)+++(a b)p(a b)q+++1.从实际问题入手，与复习旧知类比，更形象地进入新课程。
2.本例题的解法多，可促使学生积极思考，对于爱表现的学生更能让他们争先恐a b(a b)(p q)ap aq bp bq ++=+++3.多项式与多项式相乘的法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ap aq bp bq+++2.根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？3.分组讨论如何用文字表达所发现的规律：你能类比单项式与多项式相乘的法那么，表达多项式与多项式相乘的法那么吗？4. 你认为在运用法那么计算时，应该注意什么问题？后地说出自己的答案，活泼课堂气氛。
3.在新课引入的过程中老师一直是引导者，引导学生自己主动概括，发挥学生的主体地位。
4.通过文字概括可锻炼学生的语言表达能力和数学语言的表达顺序。
教学过程一、复习预习1.求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
例如a n 这个表达式中，a 是底数，n 是指数，a n 又读作a 的n 次幂2.乘方的性质：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等。
二、知识讲解考点1同底数幂的乘法法则：一般地，对于任何底数a 与任何正整数m 、n ，=因此我们有a m ﹒a n =a m+n （m ，n 都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。
即a m ×a n ×﹒﹒﹒×a p =a m+n+﹒﹒﹒+p (m ，n ，...,p 都是正整数)（2）不要忽略指数为1的因数（3）底数不一定只是一个数字或一个字母注意法则的逆用，即a m+n =a m ﹒a n （m ，n 都是正整数）考点2幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
幂的乘方法则：一般的，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()n m a n m a n a m a a a a a a a a a a ++=⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ 个个个)()()(()nm m n a n m m m n m a m m m a a a a a m =+⋅⋅⋅++=⨯⋅⋅⋅⨯⨯= 个个因此，我们有(a m )n =a mn （m ，n 都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：(1)法则可推广为[(a m )n ]p =a mnp （m ，n,p 都是正整数）(2)此法则可以逆用a mn =(a m)n =(a n )m （m ，n 都是正整数）考点3积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b 与任意正整数n ，因此，可得出(ab)n =a n b n （n 是正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
第十讲 整式及乘法公式教学目标：1．会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法计算。
2．掌握整式的混合运算，能灵活的运用运算律与乘法公式的简化运算。
3．熟悉整式的乘除的转化，深化对相关性质和公式的理解。
重点难点：1．同底数幂的乘法，幂的乘方法则和积的乘方法则。
2．单项式乘法法则，单项式与多项式及多项式与多项式的乘法法则。
3．平方差公式和完全平方差公式的运用。
知识导航：一、基本概念1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 a m ⋅ a n = a m +n （m 、n 都是正整数）2．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
即 (a m )n = a mn （m 、n 都是正整数）3．积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab )n = a n b n（n 为整数） 二、整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点/易错点1（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m ⋅a n ⋅a p =a m+n+p（m, n,p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即a m+n =a m ⋅a n（m,n 都是正整数）.（4）公式(a m)n=amn的推广：((am)n)p=amnp( a ≠ 0 ，m, n, p 均为正整数)（5）逆用公式：a mn=(am)n=(an)m，根据题目需要常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.（6）公式(ab)n=an⋅bn的推广：(abc)n=an⋅bn⋅cn( n 为正整数).（7）逆用公式：a n b n=(ab)n逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011(2(2)1 22⨯=⨯=（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 . 特殊的二项式相乘，(x +a)(x +b)=x 2+(a +b)x +ab .典型例题：推荐学习K12资料【例 1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘a ⋅ a ⋯a 记为a n ，记为 a n ．如 2×2×2=23=8，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数，记为 log 28（即 log 28=3）．一般地，若 a n=b （a ＞0 且 a ≠1，b ＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 log a b（即 log a b =n ）．如 34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log 381（即 log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log 24= ，log 216= ，log 264= ．（2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264 之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N = ；（a ＞0 且 a ≠1，M ＞0，N ＞0）（4）根据幂的运算法则：a n •a m =an +m 以及对数的含义证明上述结论．【答案】解：（1）log 24=2，log 216=4，log 264=6；（2）4×16=64，log 24+log 216=log 264；（3）log a M +log a N =log a （MN ）；（4）证明：设 log a M =b 1，log a N =b 2，则a b 1 =M ，a b 2 =N ，∴MN =a b 1 · a b 2 = a b 1+b 2 ，∴b 1+b 2=log a （MN ）即 log a M +log a N =log a （MN ）．【解析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log 24+log 216=log 264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M +log a N =log a（MN ）；（4）首先可设 log a M =b 1，log a N =b 2，再根据幂的运算法则：a n •a m =a n +m 以及对数的含义证明结论．【例 2】 设 m =2100，n =375，为了比较 m 与 n 的大小。
小明想到了如下方法： m = 2100 = (24 )25 =1625 ，即25 个 16 相乘的积；n =375=（33）25=2725，即 25 个 27 相乘的积，显然 m ＜n ，现在设 x =430，y =340，请你用 小明的方法比较 x 与 y 的大小。
【答案】解：由阅读材料知：x =（43）10=6410，y =（34）10=8110，又∵64＜81，∴x ＜y ．故答案为 x ＜y ．【解析】本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底 数大的值比底数小的值要大．根据题意先把 x 、y 分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．【例 3】已知（x +a ）（x 2﹣x +c ）的积中不含 x 2 项和 x 项，求（x +a ）（x 2﹣x +c ）的值是多少？+【答案】解：∵（x +a ）（x 2﹣x +c ）=x 3﹣x 2+cx +ax 2﹣ax +ac ，=x 3+（a ﹣1）x 2+（c ﹣a ）x +ac ，又∵积中不含 x 2 项和 x 项，∴a ﹣1=0，c ﹣a =0，解得 a =1，c =1．又∵a =c =1．∴（x +a ）（x 2﹣x +c ）=x3 1．== =【解析】考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 0．要灵活掌握立方和公式．先根据多项式乘多项式的法则计算，再让 x 2 项和 x 项系数为 0，求得 a ，c 的值，代入求解．【例 4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣32 8×2，92﹣72=8×4，152﹣32 8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．【答案】解：（1）112﹣92 8×5，132﹣112=8×6．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．（3）证明：设 m ，n 为整数，两个奇数可表示 2m +1 和 2n +1， 则（2m +1）2﹣（2n +1）2=4（m ﹣n ）（m +n +1）．当 m ，n 同是奇数或偶数时，m ﹣n 一定为偶数，所以 4（m ﹣n ）一定是 8 的倍数．当 m ，n ﹣奇﹣偶时，则 m +n +1 一定为偶数，所以 4（m +n +1）一定是 8 的倍数所以，任意两奇数的平方差是 8 的倍数．【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是 8 乘以一个数．根据平方差公式，把 等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．【例 5】已知 a =2002，b =2003，c =2004，求 a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值．【答案】解：∵2(a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc )=(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c)2=(2002-2003) 2+(2003-2004) 2+(2002-2004)2==1+4+1=6，∴a +b +c ﹣ab ﹣ac ﹣bc =3．【解析】本题考查了完全平方式，对原式扩大 2 倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．题中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．【例 6】已知多项式 6a 2+mab ﹣ab ﹣10b 2 除以 3a ﹣2b ，得商为 2a +5b ，求 m 的值．【答案】解：∵（3a ﹣2b ）（2a +5b ）=6a 2+11ab ﹣10b 2，∴mab ﹣ab =11ab ，∴m ﹣1=11，解得 m =12．+【解析】本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．根据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a ﹣2b ）（2a +5b ）展开再利用对应项系数相等即可求解．课堂检测：1.若 248 -1能被 60 或 70 之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）A ．61，63B ．63，65C ．61，65D ．63，672.乘积22221111(1)(1(1)(1)23910----K 应等于（）A ．512B ．12C ．23D ．1120 3．若 (2a m b n )3 = 8a 9b 15 成立，则（ ）．A . m ＝3， n ＝5B . m ＝3， n ＝12C . m ＝6， n ＝12D . m ＝6， n ＝54．1993 + 9319 的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．若 x 为任意实数时，二次三项式 x 2 - 6x + c 的值都不小于 0，则常数 c 满足的条件是（ ）A . c ≥ 0B . c ≥ 9C . c > 0D . c > 9课后作业：1．若多项式 x 2 +ax +8 和多项式 x 2 -3x +b 相乘的积中不含 x 2 x 3项，求（a -b ）3-（a 3 -b 3 ）的值．2．设 m 2＋m －2＝0，求 m 3＋3m 2＋2012 的值．3．已知 x 2m = 5 ，求15x 6 m - 5 的值．4．已知 x a = 2 ， x b = 3 ．求 x 3a +2b 的值．5．（1）计算（x +1）（x +2）= ，（x ﹣1）（x ﹣2）= ，（x ﹣1）（x +2）= ，（x +1）（x ﹣2）= ．（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知 a 、b 、m 均为整数，且（x +a ）（x +b ）=x 2+mx +12，则 m 的可能取值有多少个？6．阅读下列解答过程，并回答问题．在（x 2+ax +b ）（2x 2﹣3x ﹣1）的积中，x 项的系数为﹣5，x 2 项的系数为﹣6，求 a ，b 的值．解：（x 2+ax +b ）•（2x 2﹣3x ﹣1）= 2x 4﹣3x 3+2ax 3﹣3ax 2﹣3bx =①推荐学习K12资料推荐学习K12资料2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②根据对应项系数相等，有325326aa b-=-⎧⎨-=-⎩，解得49ab=⎧⎨=⎩回答：（1）上述解答过程是否正确？．（2）若不正确，从第步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？．（3）写出正确的解答过程．7．已知多项式x2﹣mx﹣n 与x﹣2 的乘积中不含x2 项和x 项，求这两个多项式的乘积．8．已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定a、b、c 的值．。
