浙江宁波市九校2016-2017学年高二下期末联考数学试卷含答案

高二六校期末数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．DBBCA BCAAB二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分． 11、13，2n 12、，13、524,425 14、25,52 15、16、144 17、7(,1)2-- 三、解答题：本大题共5小题，共74分．19、解：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =222BC AB AC ∴=+ 即AB AC ⊥．PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD PA AB ∴⊥．又因为AC PA A ⋂=AB ∴⊥平面PAC ．…………………..5分又底面ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴CD ∴⊥平面PAC ． ……………………..6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB AC ⊥，且PA ⊥底面ABCD ，∴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(2,2,0)D -． 由M 是棱PD 的中点，得(1,1,1)M -．(1,1,1)AM −−→∴=-，(2,0,0)AB −−→=．设(,,)n x y z →=是平面MAB 的一个法向量，则有0n AM n AB −−→→−−→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩，即020x y z x -++=⎧⎨=⎩， 取1y =，得0x =，1z =-，所以(0,1,1)n →=-． ……………………..10分 因为N 是棱AB 上的一点，所以设(,0,0)N a (02)a ≤≤， 则(,2,0)NC a −−→=-．从而cos ,NC nNC n NC n−−→→−−→→−−→→⋅<>===……………………..12分设直线CN 与平面MAB 所成角为θ， 则sin cos ,NC n θ−−→→=<>5=， ……………………..14分 解得1a =即1AN =，1NB =，从而1ANNB=． ……………………..15分20、（Ⅰ）当0a =时，2()(1)ln f x x b x =-+，222()2(1)b x x bf x x x x -+'=-+=，12x >………3分 因为()f x 在定义域内有且只有一个极值点，所以2220x x b -+=在1(,)2+∞内有且仅有一根，则有图知0∆>， 所以12b <………………7分（Ⅱ）2b a =-，2()(1)ln(21)2ln f x x a x a x =-+-- 法1： 222(1)()2(1)2(1)2(1)[1]21(21)(21)a a a x af x x x x x x x x x x -'=-+-=-+=----- 222(1)[](21)x x ax x x --=--………………11分因(1)0f =，[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则[1,)x ∈+∞内，先必须递增，即()f x '先必须0≥，即2()2h x x x a =--先必须0≥，因其对称轴14x =，有图知(1)0h ≥（此时在[1,)x ∈+∞()0f x '≥），所以1a ≤ ………………15分法2： 因()0f x ≥，所以221ln(21)2ln 0x x a x a x -++--≥， 所以22ln (21)ln(21)x a x x a x -≥---，………………11分令()ln g x x a x =-，因(1,)x ∈+∞， 221x x >-， 所以()g x 递增，()g x '≥，所以10a x-≥，1a ≤ ………………15分2222221122222222221212212214,319141 (543)(2)(1),(,),(,)(1)(34)84120143841,34c a a b a b x y AB y k x A x y B x y y k x k x k x k x y k k x x x x k ⎧=⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎩∴+==+=+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩-+=-=+、(1)由已知得即椭圆方程为分由题意可设的方程为：得222212122222222222212123412(1)||34643(1)(1)(,)343434314()34340(,0)343433||||4.....34||kk AB k k k ky y k x k x AB k k k k k AB y x k k kk k y x M k k k AB F M k F M ++==++=+++=∴-+++-=-+++==-∴-+++=∴=+的中点坐标为的中垂线方程为：令得为定值.............................................15分222*122(111(),111111, 2......................711n n n n n n N y N n n R R n n n n x y MN a a R n n N a n =+=+===∴+==++>>∴∀∈>+n 、(1)由点在曲线分又点在圆C 上，则分的方程为化简得分分又))()))())112222222221111111.............912(2)0111121111212111143104001011n n n n n n a a n n a a xx x x xx x x x x x x x x x x x x ++>++∴=++>+=+∴>>≤≤+≤≤+⎛⎫+≤+≤+ ⎪⎝⎭++≤+≤+++≤≤-≤≤≤≤≤+分先证：当时，即即即即即故当时，))11211111 (12213)212(123222273............................1552n n n nn n xx n na n n nn S n T S n T ≤≤+∴+≤≤+∴+≤=+≤+=+≤≤+-∴<≤≤成立分当且仅当时取等号）求和得分。

参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D6．C7．B 8．A二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每空4分，共36分） 9．433，12 10．12，31411．0，[)3,+∞ 12．2，43y x =． 13．22314.21415.3三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()2cos cos cosC 2cos2Ca Bb A a a +=-得： ()2sin cos sin cos cosC sin 2cos12C A B B A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即：()sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C +=…………4分 即：sin cos sin cos C C A C =…………6分故2C A C π==或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形…………8分 （2）若23B π=，则6A C π==，设2c m =，则23b m = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=…………10分故7=71m m =，…………12分1sin 32ABC S AC AB A ∆=⋅=…………14分17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E 点，连接DE ，PE .PAB ∆ 为等边三角形，AB PE ∴⊥，CA AB ∴⊥，AB DE ∴⊥，所以AB PDE ⊥平面，所以AB PD ⊥，………3分且PED ∠为二面角P AB D --的平面角，由余弦定理可知222222+(23)23cos 232232PE DE PD PD PED PE DE -+-∠===⋅⋅⋅，得到22PD =， 而22BD =，满足222BD PD PB +=，所以PD BD ⊥，………………………6分由PD BCPD ABC PD AB⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面，又因为PD PBC ⊂平面，所以PBC ABC ⊥平面平面………………………7分（Ⅱ）BD PAD ⊥ 平面，过N 点作//NN AD '交AD 于N '点，连接NM ，N M '.所以NN PAD '⊥平面，且322NN '=，………………………10分 则NMN '∠为直线NM 与平面PAD 所成的角，且sin NN NMN NM''∠=………12分 而33132N M '≤≤，所以6sin 3θ≤，所以3cos 3θ≥…………………15分 方法2：建立空间直角坐标系，酌情给分. 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）当2n =时，22221222324621a a --=+=+=- , 当3n =时，3233132339182731a a --=+=+=- , …………2分 因为21231n n n na a n n --=+- ,所以21231n n n a a n n n --=+- ,当2n ≥时，由累加法得 22122323 (231)n n a a n --=+⨯+⨯++⨯, 因为11a =,所以2n ≥时， 有()112131313n n na n ---=+=-，即()132n n a n n -=≥ ，又1n =时，111131a -== ， 故()13n n a n n N -*=∈. …………7分 （Ⅱ）n N *∈时,131n n n b a n-==,则21111...232n n S =++++. …………8分记函数()21111...232n n f n S n n ⎛⎫=-=++++- ⎪⎝⎭，所以()()111111...1232n f n n +⎛⎫+=++++-+ ⎪⎝⎭, 则()()111121 (1102122)221n n n n n f n f n +⎛⎫+-=+++-<-< ⎪+++⎝⎭,所以()()1f n f n +<.………………………10分 由于()121111102f S ⎛⎫=-=+-> ⎪⎝⎭, 此时121S >，()2211122120234f S ⎛⎫=-=+++-> ⎪⎝⎭,此时222S >,……………12分 ()321111111331302345678f S ⎛⎫=-=+++++++-< ⎪⎝⎭,此时323S <,由于()()1f n f n +<,故3n ≥时，()()30f n f ≤<，此时2n S n <. 综上所述，当1,2n =时,2n S n >;当()3n n N *≥∈时,2n S n <. ………………15分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）2214x y +=…………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1AT 的方程为：(2)6my x =+， 直线2A T 的方程为：(2)2my x =-， 11112221111(2)(2)66(2)(2)144m m y x y x x x x y y ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩，因为12x ≠-，所以得到2121829m x m -=+，从而1269my m =+，即2221826(,)99m m M m m -++，同理222222(,)11m m N m m --++，……7分 （1）当12x x =时，则由22221822291m m m m --=++，及0m >，解得3m =，直线MN 方程为1x =，此时32OMN S ∆=.……………………9分（2）当12x x ≠时，直线MN 方程为，232222222422262222262291()()18222119191m mm m m m m m m y x x m m m m m m m m -+-+-+++=-=---++-+-++，整理得3426(1)9m my x m+=--，所以直线MN 恒过定点(1,0)G ，……………11分 222222322422122623919134()3(1)(9)4129(9)(1)101122910OMN OGM OGN m m m m m m m m m m m m m m m S m m m m m m m S S OG y y ∆∆∆--+++++++++=+=-==+===++++++ …………………………………………………13分12x x ≠ ，0,3m m ∴>≠且令323t m m =+>，则2444344422323OMN t S t t t ∆==<=+++， 综上（1）（2）max 3()2OMN S ∆=……………………………………15分 20．（本题满分15分） 解：(Ⅰ)()f x '=21()g x x '=-，=g (1)1k '=-切，而 3(1)2f =， 所以在处的切线方程为：52y x =-+，………………………3分(Ⅱ) 所以()f x =x xln ，因为()f x '=2ln 1x x -=0得x e =可以得出:（0，e ）是递增区间；(e ,)∞+是递减区间……………………5分 所以当n e >时()(1)g n g n >+,即ln ln(1)1n n n n +>+1(1)n n n n +∴>+ 即111(1)nn n n +>+112017201620172016∴<…………………………7分（Ⅲ）由题意得上恒成立，令()ln 2x h x b x =-， ()y f x =1x =],1[2ln e x x b m 在-<则2()(0),2b xh x x x-'=>则()h x 在(0,2)b 上是增函数，在(2,)b +∞上是减函数， ………………………8分（1）当上是减函数， 故………………9分 （2）当上是减函数， 又 故①当②当………………11分（3）当 ………………12分综上，当 故当…………14分 又因为对于任意正实数b ，不等式 ………………15分],1[)(,210,120e x h b b 在时即≤<≤<;2)()(mineb e h x h -==],2[,]2,1[)(,221,221e b b x h eb b 在上是增函数在时即<<<<,21)()1(,2)(,21)1(b e e h h e b e h h --=--=-=;2)()(,2121min e b e h x h e b -==-<<时;21)1()(,221min -==<<-h x h e b e 时;21)1()(,],1[)(,2,2min -==≥≥h x h e x h e b e b 故上是增函数在时即时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤<-=∈21,21210,2)(,],1[mine b e b e b x h e x 时.21,21;2,210-<->-<-≤<m e b e b m e b 时当时.2,],1[2)(em e m x x bf -≤+>所以上恒成立在。

2017-2018学年浙江省宁波市六校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．（，3）D．（3，+∞）2．（4分）如果＝1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m＝（）A．1B．﹣1C．2D．03．（4分）设随机变量X的分布列如下：则方差D（X）＝（）A．0B．1C．2D．34．（4分）要得到y＝3sin（2x+）的图象只需将y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（4分）若将函数f（x）＝x5表示为，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a4＝（）A．5B．﹣5C．10D．﹣106．（4分）已知平面α和平面β相交，a是α内一条直线，则有（）A．在β内必存在与a平行的直线B．在β内必存在与a垂直的直线C．在β内不存在与a平行的直线D．在β内不一定存在与a垂直的直线7．（4分）若函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．8．（4分）若a，b都是实数，则“|a+b|+|a﹣b|＜2”是“a2+b2＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）正△ABC边长为2，点P是△ABC所在平面内一点，且满足，若，则λ+μ的最小值是（）A．B．C．2D．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上.11．（6分）设等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，则a7＝；数列{a n}的前n项和S n＝．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为，体积为．13．（6分）已知双曲线，则双曲线的离心率e＝，若该双曲线的两渐近线夹角为θ，则sinθ＝．14．（6分）不等式组表示的区域为D，z＝x+y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为，z的最大值为．15．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足，则∠NMF＝．16．（4分）小明玩填数游戏：将1，2，3，4四个数填到4×4的表格中，要求每一行每一列都无重复数字．小明刚填了一格就走开了（如图所示），剩下的表格由爸爸完成，则爸爸共有种不同的填法．（结果用数字作答）17．（4分）已知f（x）＝x2+kx+|x2﹣1|，若f（x）在（0，2）上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，sin B＝2sin C，且．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若角A为钝角，点D为BC中点，求线段AD的长度．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，M 是棱PD的中点，且P A＝AB＝AC＝2，BC＝2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2+aln（2x﹣1）+blnx，a，b为常数．（Ⅰ）若a＝0时，已知f（x）在定义域内有且只有一个极值点，求b的取值范围；（Ⅱ）若b＝﹣2a，已知x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．21．（16分）椭圆C：过点，离心率为，左右焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1作不垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于M点，求证：为定值，并求出这个定值．22．（16分）设n∈N*，圆∁n：x2+y2＝（R n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．（1）用n表示R n和a n；（2）求证：a n＞a n+1＞2；（3）设S n＝a1+a2+a3+…+a n，T n＝，求证：．2017-2018学年浙江省宁波市六校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A＝{x∈R|3x+2＞0}＝{x|x}，所以A∩B＝{x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}＝{x|x＞3}，故选：D．2．【解答】解：，2﹣2i＝2+2mi可得m＝﹣1故选：B．3．【解答】解：根据所给分布列，可得a+0.1+0.3+0.4＝1，∴a＝0.2，∴随机变量X的分布列如下：∴EX＝0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4＝2．DX＝0.1×（0﹣2）2+0.2×（1﹣2）2+0.3×（2﹣2）2+0.4×（3﹣2）2＝1．故选：B．4．【解答】解：∵，∴只需将y＝3sin2x的图象向左平移个单位故选：C．5．【解答】解：由题意可得[﹣1+（1+x）]5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a3（1+x）3+a4（1+x）4+a5（1+x）5 ，∴a4＝＝﹣5．故选：B．6．【解答】解：平面α和平面β相交，a是α内一条直线，在A中：当a与平面α和平面β的交线相交时，在β内不存在与a平行的直线，故A错误；在B中：平面α和平面β相交，a是α内一条直线，由线面垂直的性质定理得在β内必存在与a垂直的直线，故B正确；在C中：当a与平面α和平面β的交线平行时，在β内存在与a平行的直线，故C错误；在D中：由线面垂直的性质定理得在β内必存在与a垂直的直线，故D错误．故选：B．7．【解答】解：∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）＝0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）＝0则k＝1又∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）＝log a（x+k）＝log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．8．【解答】解：∵a，b都是实数，|a+b|+|a﹣b|＜2，∵|a+b|+|a﹣b|≥|2a|，∴|2a|＜2，解得|a|＜1，|a+b|+|a﹣b|≥|2b|，∴|2b|＜2，解得|b|＜1，“|a+b|+|a﹣b|＜2”⇒“a2+b2＜2”，当a＝1，b＝时，“a2+b2＝＜2”，“|a+b|+|a﹣b|＝＝2”，不满足“|a+b|+|a﹣b|＜2”，∴若a，b都是实数，则“|a+b|+|a﹣b|＜2”是“a2+b2＜2”的充分而不必要条件．故选：A．9．【解答】解：正△ABC边长为2，点P是△ABC所在平面内一点，且满足，建立平面直角坐标系，如图所示：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），由于点P在以（﹣1，0）为圆心，，为半径的圆上，则：P点的坐标为（﹣1+，），所以：，，，由于，故：＝，则：，，当θ＝270°时，sinθ＝﹣1，即．故选：A．10．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上.11．【解答】解：等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，则a7＝（a4+a10）＝13，等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，则19＝7+6d，解得d＝2，∴a1＝7﹣3d＝1，∴S n＝n+＝n2，故答案为：1，n2．12．【解答】解：由几何体的三视图可得其原图形是底面半径为1，高为1的半圆锥，如图，该几何体的表面积等于下底半圆面的面积加上等腰三角形P AB的面积加上以1为底面半径，以1为高的圆锥侧面积的一半．底面半圆面积为π，三角形P AB的面积为×2×1＝1，因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长为，所以圆锥侧面积的一半为××2π×＝．所以该几何体的表面积为++1＝+1．几何体的体积为：＝．故答案为：+1；．13．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为双曲线，则a＝4，b＝3，则c＝5，其离心率e＝＝，双曲线的渐近线方程为：y＝x，该双曲线的两渐近线夹角为θ，可得tan＝，sinθ＝＝＝．故答案为：；．14．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，∴平面区域D的面积为S△ABC＝×5×5＝，由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然y＝﹣x+z过（2，3）时，z最大，z最大值＝5，故答案为：，5．15．【解答】解：过N作NH⊥准线l，垂足为H，由抛物线的定义可得|NF|＝|NH|，在直角三角形NMH中，由|NH|＝|NM|，可得cos∠MNH＝＝，即有∠NMF＝∠MNH＝，故答案为：．16．【解答】解：根据题意，分4步进行分析：①，第一行后面的3个空格，可以将2、3、4全排列后填入，有A33＝6种填法，②，对于第二行，四个数字分别有3、2、2、1种填法，③，对于第三行，第一个数字有2种填法，由于要求每一行每一列都无重复数字，则后面的3个格子有1种填法，④，对于第三行，由于要求每一行每一列都无重复数字，只有1种填法，则爸爸共有6×3×2×2×2×1×1＝144种填法；故答案为：144．17．【解答】解：先分类讨论，去掉绝对值符号，得到函数，其中函数，对称轴为，且恒过点（0，﹣1），开口向上，则一个零点必在x轴负半轴上，则另一个零点必须在区间（1，2）上，函数h（x）＝kx+1的零点必须在区间（0，1）上，故要使得函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点，则必须满足条件，以保证在区间（0，1]上有一个零点；同时必须满足条件，以保证在区间（1，2）上有一个零点；由①得到，，即k≤﹣1；由②得到，，即；由于要同时成立，二者求交集，得到；故k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵，∴2A＝或2A＝，∴A＝，或A＝，∴sin A＝．∵sin B＝2sin C，∴b＝2c．又已知，∴b＝2c＝2，故△ABC的面积为•bc•sin A＝•2••sin A＝．（Ⅱ）若角A为钝角，则A＝，∵＝，∴＝＝＝，∴AD＝．19．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB＝AC＝2，，∴BC2＝AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC∩P A＝A，∴CD⊥平面P AC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴＝（﹣1，1，1），＝（2，0，0），．设＝（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y＝1，则，∴平面MAB的法向量＝（0，1，﹣1）∵P A⊥平面ABCD，∴＝（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞＝＝＝﹣∵二面角M﹣AB﹣C为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），＝（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量＝（0，1，﹣1），∴＝，解得x＝1，即AN＝1，NB＝1，∴＝120．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝（x﹣1）2+blnx，，，因为f（x）在定义域内有且只有一个极值点，所以2x2﹣2x+b＝0在内有且仅有一根，则△＞0，所以．（Ⅱ）b＝﹣2a，f（x）＝（x﹣1）2+aln（2x﹣1）﹣2alnx，法1：＝．因f（1）＝0，x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，则x∈[1，+∞）内，先必须递增，即f'（x）先必须≥0，即h（x）＝2x2﹣x﹣a先必须≥0，因其对称轴，有h（1）≥0（此时在x∈[1，+∞）f'（x）≥0），所以a≤1．法2：因f（x）≥0，所以x2﹣2x+1+aln（2x﹣1）﹣2alnx≥0，所以x2﹣alnx2≥（2x﹣1）﹣aln（2x﹣1），令g（x）＝x﹣alnx，因x∈（1，+∞），x2＞2x﹣1，所以g（x）递增，g'（x）≥0，所以，a≤1．21．【解答】解：（1）∵椭圆C：过点，离心率为，左右焦点分别为F1，F2．∴由已知得，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆方程为+＝1．（2）证明：过F1作不垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，F1（﹣1，0），由题意可设AB的方程为：y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，|AB|＝＝，y1+y2＝k（x1+1）+k（x2+1）＝，∴AB的中点坐标为（﹣，），AB的中垂线方程为y﹣＝﹣，令y＝0，得x＝﹣，∴M（﹣，0），|F1M|＝，∴＝4为定值．22．【解答】（1）解：∵N（）在曲线上，∴N（，）代入圆∁n：x2+y2＝，可得，∴M（0，）∵直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．∴＝∴（2）证明：∵，∴＞2∵＞，∴＞+∴a n＞a n+1＞2；（3）证明：先证当0≤x≤1时，事实上，等价于等价于≤1+x≤等价于≤0≤后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x2﹣x≤0，即0≤x≤1∴当0≤x≤1时，∴∴（等号仅在n＝1时成立）求和得∴．。

2016学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科命题：学军中学 桐乡高级中学 审核：舟山中学考生须知：1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷无效； 4． 考试结束后，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上．1．已知直线1l ：07=++my x 和2l ：()2320m x y m -++=互相平行，则实数m = （ ▲ ） A.1m =-或3 B.1m =- C.3m =- D.1m =或3m =-2．若βα，表示两个不同的平面，直线m α⊂，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1,2,3，则该三棱锥的外接球的表面积（ ▲ ）A. π24B.π18C. π10D. π6 4．正方体1111D C B A ABCD -棱长为4，N M ,,P 分别是棱A A D A 111,,11C D 的中点，则过P N M ,,三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ▲ ） A ．23．3．3． 35． 定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离．．．．为：2200ba c by ax d +++=.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是（ ▲ ）D A 1B 11D MNP第4题A.若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行B.若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直C.若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直D.若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交6．实数,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ▲ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．27．在所有棱长都相等的三棱锥BCD A -中，Q P 、分别是BC AD 、的中点,点R 在平面ABC 内运动，若直线PQ 与直线DR 成030角，则R 在平面ABC 内的轨迹是 （ ▲ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．直线8．设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若在曲线C 的右支上存在点P ,使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，圆心记为M , 又21F PF ∆的重心为G ,满足21//F F MG ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．2B ．3C ．2D ． 5二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．9．双曲线191622=-y x 的离心率为 ▲ ,焦点到渐近线的距离为 ▲ ．10．已知点()1,0A ,直线1l ：,01=--y x 直线2l ：022=+-y x ，则点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为 ▲ ,直线2l 关于直线1l 的对称直线方程是 ▲ ．11．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如右图所示，则这个四棱锥的体积是 ▲ ，表面积是ABCSE12．如图，三棱锥ABC S -中，若32=AC ,4=====BC AB SC SB SA ,E 为棱SC 的中点，则直线AC 与BE 所成角的余弦值为 ▲ ,直线AC 与平面SAB 所成的角为 ▲ ．13．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变； ③二面角C AD P --1的大小不变；④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11D A . 其中真命题的编号是 ▲ （写出所有真命题的编号）14． 两定点)0,2(),0,2(B A -及定直线310:=x l ，点P 是l 上一个动点，过B 作BP 的垂线与AP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为 ▲ ．15．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,6AB =,BC =O 为AC 的中点，过C 作BO 的垂线，交AB BO 、分别于D R 、.若DPR CPR ∠=∠,则三棱锥ABC P -体积的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知直线1:10l x y --=,直线2:30l x y +-= （I ）求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标；ABCD1A 1B 1C 1D 第13题ABCP DOR第15题（II ）过点P 的直线与x 轴的非负半轴．．．．交于点A ，与y 轴交于点B ，且4AOB S ∆=（O 为坐标原点），求直线AB 的斜率k ．17．如右图, 在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥A A 1平面ABC ，BC AC ⊥，1AC =，2BC =，11A A =，点D 是AB 的中点.（I ）证明：1AC ∥平面1CDB ；(Ⅱ)在线段AB 上找一点P ，使得直线1AC 与CP 所成角 的为60，求AP AB的值．18．已知圆4:22=+y x O 及一点)0,1(-P ，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ． （I ）求轨迹C 的方程；（II ）若直线PQ 的斜率为1，该直线与轨迹C 交于异于M 的一点N ，求CMN ∆的面积．19．如图，四棱锥A OBCD -中 ，已知平面AOC ⊥面OBCD，2,4,AO OB BC CD ====0120OBC BCD ∠=∠=．（I ）求证：平面ACD ⊥平面AOC ； （II ）直线AO 与平面OBCD 所成角为60，第18题ABCD1A 1B 1C 第17题第19题ACDO求二面角A BC D --的平面角的正切值．20．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，M 在椭圆上，△12MF F 的周长为452+,面积的最大值为2. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线)0(>=k kx y 与椭圆C 交于B A ,，连接22,AF BF 并延长交椭圆C 于E D ,，连接DE ．探索AB 与DE 的斜率之比是 否为定值并说明理由．第20题2016学年第二学期浙江省名校协作体高二年级数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABDDACBC二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.45, 3 10. ()12-，， 052=--y x 11.2 , 22232++ 12. 41， 06013. ①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）14. 2214x y += 15. 33 三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、解：（1）联立两条直线方程：1030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标为(2,1)． 5（2）设直线方程为：1(2)y k x -=-令0x = 得12y k =-，因此(0,12)B k -； 令0y =得12x k =-，因此1(2,0)A k -．211002k k ork k -≥⇒≥< 811(12)(2)42AOBS k k∆∴=--=， 10 解得12k =-或322k =+．1417 （Ⅰ）证明：设1CB 与B C 1相交于E ，连结DE , ………….2分D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点, ∴DE ∥1AC , ………….6分⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ,∴1AC ∥平面1CDB .………….7分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，1CC 为z 轴，CA 为x 轴，CB 为y 轴，……….9分 设(01)AP AB λλ=<<()1,2,0CP CA AB λλλ=+=-，()11,0,1AC =-所以11cos ,2AC CP =13λ⇒= 15（向量写出，夹角公式写出，计算答案错误至少给2分） 非向量做法：指出角给2分，其他视情况相应给分 18、（1）设),(),,(11y x Q y x M ，则y y x x 2,1211=+=，2 把),(11y x 代入422=+y x 得1)21(:22=++y x C 。

参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每空4分，共36分） 9．433，12 10．12，31411．0，[)3,+∞ 12．2，43y x =． 13．22314.21415.3三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()2cos cos cosC 2cos 2Ca Bb A a a +=-得： ()2sin cos sin cos cosC sin 2cos12C A B B A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即：()sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C +=…………4分 即：sin cos sin cos C C A C =…………6分故2C A C π==或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形…………8分 （2）若23B π=，则6A C π==，设2c m =，则23b m = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=…………10分故7=71m m =，…………12分1sin 32ABC S AC AB A ∆=⋅=…………14分17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E 点，连接DE ，PE .PAB ∆为等边三角形，AB PE ∴⊥，CA AB ∴⊥，AB DE ∴⊥，所以AB PDE ⊥平面，所以AB PD ⊥，………3分且PED ∠为二面角P AB D --的平面角，由余弦定理可知222222+(23)23cos 232232PE DE PD PD PED PE DE -+-∠===⋅⋅⋅，得到22PD =， 而22BD =，满足222BD PD PB +=，所以PD BD ⊥，………………………6分 由PD BCPD ABC PD AB⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面，又因为PD PBC ⊂平面，所以PBC ABC ⊥平面平面………………………7分 （Ⅱ）BD PAD ⊥平面，过N 点作//NN AD '交AD 于N '点，连接NM ，N M '.所以NN PAD '⊥平面，且322NN '=，………………………10分 则NMN '∠为直线NM 与平面PAD 所成的角，且sin NN NMN NM''∠=………12分 而33132N M '≤≤，所以6sin 3θ≤，所以3cos 3θ≥…………………15分 方法2：建立空间直角坐标系，酌情给分. 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）当2n =时，22221222324621a a --=+=+=-, 当3n =时，3233132339182731a a --=+=+=-, …………2分 因为21231n n n na a n n --=+-,所以21231n n n a a n n n --=+-,当2n ≥时，由累加法得22122323 (231)n n a a n --=+⨯+⨯++⨯, 因为11a =,所以2n ≥时， 有()112131313n n na n ---=+=-，即()132n n a n n -=≥，又1n =时，111131a -==， 故()13n n a n n N -*=∈. …………7分（Ⅱ）n N *∈时,131n n n b a n-==,则21111...232n n S =++++. …………8分记函数()21111 (232)n n f n S n n ⎛⎫=-=++++- ⎪⎝⎭， 所以()()111111...1232n f n n +⎛⎫+=++++-+ ⎪⎝⎭, 则()()111121...1102122221n nn n n f n f n +⎛⎫+-=+++-<-< ⎪+++⎝⎭, 所以()()1f n f n +<.………………………10分 由于()121111102f S ⎛⎫=-=+-> ⎪⎝⎭, 此时121S >，()2211122120234f S ⎛⎫=-=+++-> ⎪⎝⎭,此时222S >,……………12分 ()321111111331302345678f S ⎛⎫=-=+++++++-< ⎪⎝⎭,此时323S <,由于()()1f n f n +<,故3n ≥时，()()30f n f ≤<，此时2n S n <. 综上所述，当1,2n =时,2n S n >;当()3n n N *≥∈时,2n S n <. ………………15分 19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）2214x y +=…………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A T 的方程为：(2)6my x =+， 直线2A T 的方程为：(2)2my x =-， 11112221111(2)(2)66(2)(2)144m m y x y x x x x y y ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩，因为12x ≠-，所以得到2121829m x m -=+，从而1269my m =+，即2221826(,)99m m M m m -++，同理222222(,)11m m N m m --++，……7分 （1）当12x x =时，则由22221822291m m m m --=++，及0m >，解得3m =，直线MN 方程为1x =，此时32OMN S ∆=.……………………9分 （2）当12x x ≠时，直线MN 方程为，232222222422262222262291()()18222119191m mm m m m m m m y x x m m m m m m m m -+-+-+++=-=---++-+-++， 整理得3426(1)9m my x m +=--，所以直线MN 恒过定点(1,0)G ，……………11分 222222322422122623919134()3(1)(9)4129(9)(1)101122910OMN OGM OGN m m m m m m m m m m m m m m m S m m m m m m m S S OG y y ∆∆∆--+++++++++=+=-==+===++++++ …………………………………………………13分12x x ≠，0,3m m ∴>≠且令323t m m =+>，则2444344422323OMN t S t t t ∆==<=+++， 综上（1）（2）max 3()2OMN S ∆=……………………………………15分 20．（本题满分15分） 解：(Ⅰ)()f x '=21()g x x '=-，=g (1)1k '=-切，而 3(1)2f =， 所以在处的切线方程为：52y x =-+，………………………3分(Ⅱ) 所以()f x =x x ln ，因为()f x '=2ln 1xx-=0得x e =可以得出: （0，e ）是递增区间；(e ,)∞+是递减区间……………………5分 所以当n e >时()(1)g n g n >+,即ln ln(1)1n n n n +>+1(1)n n n n +∴>+ 即111(1)nn n n +>+112017201620172016∴<…………………………7分（Ⅲ）由题意得上恒成立，令()ln 2x h x b x =-， ()y f x =1x =],1[2ln e x x b m 在-<则2()(0),2b xh x x x-'=>则()h x 在(0,2)b 上是增函数，在(2,)b +∞上是减函数， ………………………8分（1）当上是减函数， 故………………9分 （2）当上是减函数， 又 故①当②当………………11分（3）当 ………………12分综上，当 故当…………14分 又因为对于任意正实数b ，不等式 ………………15分],1[)(,210,120e x h b b 在时即≤<≤<;2)()(mineb e h x h -==],2[,]2,1[)(,221,221e b b x h eb b 在上是增函数在时即<<<<,21)()1(,2)(,21)1(b e e h h e b e h h --=--=-=;2)()(,2121min e b e h x h e b -==-<<时;21)1()(,221min -==<<-h x h e b e 时;21)1()(,],1[)(,2,2min -==≥≥h x h e x h e b e b 故上是增函数在时即时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤<-=∈21,21210,2)(,],1[mine b e b e b x h e x 时.21,21;2,210-<->-<-≤<m e b e b m e b 时当时.2,],1[2)(em e m x x bf -≤+>所以上恒成立在。

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面,,,,,l m n αβγαββγγα⋂=⋂=⋂=.则“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出四组成对数据：（1）()()()()2,3,1,1,0,1,1,3----；（2）()()()()0,0,1,1,2,4,3,9；（3）()(()(2,0,3,0,2,3-；（4）()()()()0,0,1,1,2,2,3,3---，其中样本相关系数最小的是（）（提示：样本相关系数()()()()12211ni i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()()2,4,g x 是()f x 的反函数，则函数22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．既是偶函数又是减函数D ．既是偶函数又是增函数4．已知函数()231cos 22x f x x =++，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()1πsin 1212g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()πsin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()1sin 12g x x =+D ．()sin21g x x =+5．在ABC 中，已知sin cos 2cos ,2sin sin cos B B A A C C ==，则()tan πB +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣，则()P A =（）A ．0.05B ．0.27C ．0.68D ．0.327．在正三棱锥A BCD -中，侧棱AB =点E 在棱BC 上，且16BE BC ==若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，过点E 作球O 的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数127,,,a a a ，满足1234567a a a a a a a <<>><<，则满足要求的排列的个数为（）A ．58B ．71C ．85D ．96二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知关于x 的方程()210x tx t ++=∈R 在复数范围内的根为12,x x .若122x x -=，则实数t 的值可能为（）A ．B ．1C ．0D ．-10．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()00P X P Y =>=B ．()()34P X P Y ===C ．()()E X E Y =D ．()()D X Y D >11．已知2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．展开式的各二项式系数的和为0B ．1220251a a a +++=- C ．20252024202301220252221a a a a ++++= D ．1220251111a a a +++=- 第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{2,0,1},{1}M N x x a =-=-<∣.若M N ⋂的真子集个数是3，则实数a 的取值范围是.13．已知平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，对任意的实数k ，a kb c ++ 的最小值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足下列两个条件：①()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+；②()30,0x f x x ∀>+>.请你写出一个符合要求的函数解析式.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数()321x f x x-=-.(1)设()()g x f x a b =++，若()g x 是奇函数，求,a b 的值，并证明；(2)已知函数[)[)21,1,03()2(),0,13x m x h x f x m x ⎧++∈-⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩，若关于x 的方程()h x mx =在[)1,1-内恰有两个不同解，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥D ABC -中，CD ⊥平面,1,2,ABC BC BA B ==是以AC 为直径的圆周上的一点，,M N 分别是,BD AD 上的动点，且MN 平面ABC ，二面角C AB D --的大小为45.(1)求证：MN AB ；(2)求证：MN ⊥平面BCD ；(3)当直线CN 与平面ABD 所成的角最大时，求AN 的值.17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[](](](](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]4,6，(]8,10二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知(]4,6这一组学生的均值为5，方差为2；求(]8,10这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,14内的概率，其中0,1,2,,10k =⋯.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由.18．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c sin C c =.(1)若tan tan tan ,3A B C a =+=，求ABC 的面积；(2)若B 为锐角，ABC ABC 的内切圆半径的最大值.19．（1）我们学过组合恒等式11C C C m m m n n n -+=+，实际上可以理解为011111C C C C C m m m n n n -+=+，请你利用这个观点快速求解：051423324150105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++.（计算结果用组合数表示）（2）（i ）求证：1111C C k k n n n k--=；（ii ）求值：101220250(1)C 2025n n n n n -=--∑.1．C【分析】根据面面垂直的判定和性质结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当,,αβγ两两垂直时，在β内作a l ⊥，在γ内作b n ⊥，因为αβ⊥，l αβ= ，γα⊥，n γα=I ，所以,a b αα⊥⊥，所以a ‖b ，因为,a γb γ⊄⊂，所以a ‖γ，因为,a m ββγ⊂= ，所以a ‖m ，因为a α⊥，所以m α⊥，因为,l n α⊂，所以,m l m n ⊥⊥，同理可证得n l ⊥，所以,,l m n两两垂直，当,,l m n 两两垂直时，因为,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，所以,,,,,n l l m m n αβγ⊂⊂⊂，因为m n ⊥，所以m 与n 是相交直线，因为,l m l n ⊥⊥，,m n γ⊂，所以l γ⊥，因为,l l αβ⊂⊂，所以,αγβγ⊥⊥，同理可证得αβ⊥，所以,,αβγ两两垂直，所以“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的充要条件，故选：C2．D【分析】画出散点图，结合相关性的定义即可求解.【详解】分别作出四组数据的散点图，根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，3．B【分析】首先代入点的坐标求出a ，即可求出()g x 的解析式，从而求出22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】因为函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()2,4，所以24a =，解得2a =（负值已舍去），所以()2x f x =，又()g x 是()f x 的反函数，所以()2log g x x =，则222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令202x x +>-，解得22x -<<，所以22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的定义域为()2,2-，令()222log 22x x h x g x x ++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则()()2222log log 22x x h x h x x x -+⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()22x h x g x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，又24122x y x x +-==---在()2,2-上单调递增，2log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()2,2-上单调递增.故选：B4．A【分析】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【详解】由()211cos 1πsin cos sin sin 12222226x x f x x x x +⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得：11πsin 1226f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，可得()1ππ1πsin 1sin 1266212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5．A【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简tan tan .A C =和tan tan 1,tan C B A==，最后利用诱导公式计算结果；【详解】在ABC 中，sin 2cos ,sin 2cos sin ,π,sin()2cos sin ,sin B A B A C A B C A C A C C =∴=++=∴+= sin cos cos sin 2cos sin ,sin cos cos sin A C A C A C A C A C∴+==化简得sin sin =,tan tan .cos cos A C A C A C =cos 2sin ,cos 2sin cos sin 2cos sin cos B A B A C B A C C=∴== 两式做比值得tan tan 1,tan C B A ==则()tan πB +=tan 1,B =故选：A.6．C 【分析】根据条件概率公式可得(),()P AB P AB ，进而可得()P A ，即可由对立事件概率公式求解.【详解】由()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣可得()()()0.05,(()()0.30.90.27P AB P B P A B P AB P B P A B ====⨯=∣∣,所以()()()0.050.270.32P A P AB P AB =+=+=,故()1()0.68P A P A =-=,故选：C7．B【分析】取正BCD △的中心G ，根据正三棱锥的结构特征分析可知AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，结合外接球的性质可得外接球的半径为5R =，分析可知当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的面积最小，据此运算求解即可.【详解】如图，取正BCD △的中心G ，连接,,AG GE OE ，由题意可知：AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，由BG ⊂平面BCD ，可得AG BG ⊥，因为正BCD △的边长为62162262sin 60BG ==︒可得226AG AB BG -=，设正三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()(222626R R =-+，解得5R =，可知1OG AG R =-=，在BEG 中，可知26,2,30BG BE EBG ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos EG BG BE BG BE EBG =+-⋅⋅∠，即23242262142EG =+-⨯⨯，可得14EG =则2215OE EG OG =+=由球的性质可知：当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，此时圆的半径为2210r R OE =-=210πr π=，所以面积最小的截面的面积为10π.故选：B.8．B【分析】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，分51a =，52a =和53a =三类进行讨论.【详解】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，当51a =时，67,a a 有26C 种选法，剩余数字中3a 最大，12,a a 有23C 种选法，最后剩下一个就是4a ，共有2263C C 15345=⨯=种，当52a =时，11a =，67,a a 有25C 种选法，剩余数字中3a 最大，而2a ，4a 有22A 种选法，共有2252C A 10220=⨯=种，当53a =时，11a =，22a =，67,a a 有24C 种选法，剩余数字3a ，4a 只有1种，共有24C 6=种，则满足要求的排列的个数为4520671++=种.故选：B9．ACD【分析】根据韦达定理求得()22124x x t =--，讨论24t -，求得12x x -，结合条件，即可求解.【详解】由韦达定理可知，12x x t +=-，121=x x ，()()22221211244x x x x x x t +-=-=-，当240t ->时，12x x -，则122x x -==，得t =±当240t -<时，12x x -=，则122x x -=，得0=t .故选：ACD10．BC【分析】A 选项，X 0=，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出()308P X ==，()203P Y ==，A 错误；B 选项，计算出()()1344P X P Y ====；C 选项，求出X 的可能取值和对应的概率，计算出()32E X =，同理可得()32E Y =，得到C 正确；D 选项，利用方差计算公式得到()()D X D Y <.【详解】A 选项，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，故()11211144C C 11302C 2C 8P X ==⨯+⨯=，Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，故()11112132222244C C C C C 11202C 2C 3P Y +==⨯+⨯=，故()()00P X P Y =<=，A 错误；B 选项，3X =，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1214C 1132C 4P X ==⨯=，4Y =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故()2324C 1142C 4P Y ==⨯=，故()()34P X P Y ===，B 正确；C 选项，X 的可能取值为0,2,3，其中()308P X ==，()134P X ==，2X =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1314C 1322C 8P X ==⨯=，故()33130238842E X =⨯+⨯+⨯=，Y 的可能取值为0,4,6，其中()203P Y ==，()144P Y ==，6Y =，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，()2224C 1162C 12P Y ==⨯=，故()211304634122E Y =⨯+⨯+⨯=所以()()E X E Y =，C 正确；D 选项，()22233333130232828242D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2223231311904623242124D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然()()D X D Y <，D 错误.故选：BC11．BCD【分析】二项式系数和为2n ，得出A ；令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，令0x =，得到01a =，得出B ；由二项式定理可得()2025C 1k k k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，它是()()202521+-的展开，得到C ；1C k n =1111112C C k k n n n n +++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 化简即可得D.【详解】2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，展开式的各二项式系数的和为20252，所以A 错；令0x =，得到01a =，令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，1220251a a a +++∴=- ，所以B 对；由二项式定理可得：()()20252025C C 1k k k k k x x -=-，()2025C 1kk k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，0,1,22025k = ，()()()()()()202501220252025020241202320202520252025202520252C 12C 12C 12C 1211-+-+-+-=+-= ，20252024202301220252221a a a a ∴++++= ，故C 对；()2025C 1,0,12025kk k a k =-= ，()()()()()()()!!!!2!!11111C !21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++()()()()()111!1!1!!111121!1!2C C k k n n k n k k n k n n n n n n +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2025202520252025012202500020252025202520252025202511111111C C C C C 1C k k k k k k k k a ===-===-+-+--∑∑∑ ，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 020262026202620261102027C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭011a = ，1220251111a a a +++∴=- ，故D 对.故选：BCD.12．10a -<<【分析】M N ⋂的真子集个数是3，所以共有2个元素，分{}1,0M N ⋂=-和{}0,2M N ⋂=两种情况即可解出答案.【详解】M N ⋂的真子集个数是3，M N ⋂共有n 个元素，所以213n -=，2n =.{}{1}11N x x a x a x a =-<=-<<+∣∣若{}1,0M N ⋂=-，则有11012a a -<-⎧⎨<+≤⎩，10a ∴-<<；若{}0,2M N ⋂=，则有11012a a -≤-<⎧⎨+>⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围是10a -<<.故答案为：10a -<<.13．122-【分析】根据题意，得到由a kb c a kb c ++≥+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，结合221a kb k k +=-+ ，得到a kb +.【详解】因为平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，可得12a b ⋅=- ，由12a kbc a kb c a kb ++≥+-=+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，又由222222121()24a kb a k b ka b k k k +=++⋅=-+=-+ ，当12k =时，a kb +所以a kb c ++的最小值为122-.12.14．()3(0)f x x kx k =-+>（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可.【详解】因为()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，所以()()3226=-f x f x x ，可得()()332(2)2⎡⎤+=+⎣⎦f x x f x x ，设()3(0)f x x kx k +=>，可得()3(0)f x x kx k =-+>.因为()()()()3322333+=-+++=----++f x y x y k x y x x y xy y k x y ，()()()()3223333+-+=----++f x f y xy x y x x y xy y k x y ，所以()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，且()30+=>f x x kx ，符合题意.故答案为：()3(0)f x x kx k =-+>.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到()()3226=-f x f x x ，再构造函数.15．(1)13a b =⎧⎨=⎩，证明见解析(2)[)()3,03,99,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将()321x f x x -=-代入()()g x f x a b =++，结合奇函数定义可得答案.（2）由()h x mx =[)1,1-内恰有两个不同解，得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，23y mx m =-过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象分析即可.【详解】（1）法一：()131f x x =---，所以()131g x b x a =-+-+-，因为()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，所以113311b b x a x a ⎡⎤-+-=--+-⎢⎥-+-+-⎣⎦整理得：()222262(1)0a b x a ⎡⎤-+---=⎣⎦所以220620a b -=⎧⎨-=⎩，所以13a b =⎧⎨=⎩，法二：()131g x b x a =-+-+-，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以10a -=，则1a =，取()()11g g -=-得3b =，所以13a b =⎧⎨=⎩.，由上，()1g x x=-且定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且()()11g x g x x x-=-==--，即()g x 为奇函数，得证.（2）由题意得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，32213x mx m x -=--，得到25232033mx m x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，若0m ≠时，由Δ=0，解得9m =，且()k x 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，又23y mx m =-也经过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当23y mx m =-经过点()0,2-时，3m =，当23y mx m =-经过点()0,1时，32m =-，由图可知m 的取值范围是[)()3,03,99,2∞⎛⎤-⋃⋃+ ⎥⎝⎦.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行；（2）先证明AB ⊥平面BCD ，再由//MN AB 即可得证；（3）先找出线面角CNM ∠，再由sin CM CNM CN∠=转化为求CN 最小值，此时可得AN .【详解】（1）因为//MN 平面,ABC MN ⊂平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，所以//MN AB .（2）因为CD ⊥平面,ABC CD ⊂平面BCD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，因为B 是以AC 为直径的圆周上一点，所以AB BC ⊥，又平面ABC ⋂平面,BCD BC AB =⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面BCD ，由（1）得//MN AB ，所以MN ⊥平面BCD .（3）由（2）可知AB ⊥平面,BCD AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD当M 为BD 中点时，因为BCD △是等腰直角三角形，则CM BD ⊥，且1BC =，则CM =，由平面ABD ⊥平面BCD ，BD 为交线，CM ⊂平面BCD ，CM BD ⊥，可得CM ⊥平面ABD ，所以CN 在平面ABD 上的射影为NM ，则直线CN 和平面ABD 所成的角为CNM ∠.sin CM CNM CN∠=.所以当CN 最小时，CNM ∠最大.此时CN AD ⊥，由AC ==AD ==可得2AC AN AD ==17．(1)11.5(2)平均值为9，方差为13(3)6k =，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出0.10,a =再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据()P k 最大不等式节出k 的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.10,a =频率分布直方图中，第一个小长方形面积为20.020.04,⨯=第二个小长方形面积为20.030.06,⨯=第三、四个小长方形面积为20.050.1,⨯=第五个小长方形面积为20.150.3,⨯=第六个小长方形面积为20.10.2,⨯=前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为x ；()0.6100.10.75x +-⨯=，解得11.5x =（2）按分层抽样(](]4,6,8,10二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设(]8,10这一组的平均值x ，方差y55158920x x ⨯+⨯=⇒=所以总体方差是{}22152(58)15(98) 3.7520y ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，解得13y =（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知(]8,14内的概率是0.1520.120.0520.6⨯+⨯+⨯=，由()()()()11P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩得1011111010101191010C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4k k k k k kk k k k k k -----++-⎧≥⎨≥⎩解得5.6 6.6k ≤≤所以当()P k 最大时，6k =18．(1)3)1【分析】（1）先应用正弦定理求出角B,再分类讨论应用两角和差正切公式求出角C ，再求面积即可；（2）应用三角形面积等于周长乘以半径的一半，再结合不等式求最大值即得.【详解】（1sin C c =sin sin B C C =，所以2sin 2B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =，或3π4B =（i ）当π4B =时，tan 1tan AC =+因为()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +-=+=-，所以tan tan 1tan tan A C A C -=+化简得2tan tan 20C C --=，所以tan 1C =-，或tan 2C =①当tan 1C =-时，3π4C ∠=（舍去）；②当tan 2C =时，作AD BC ⊥于D ，得12,32AD BD CD CB CD BD BD BD ===+=+=，所以2,2BD AD ==，此时132ABC S BC AD =⨯= （ii ）当3π4B =时，tan 1tan AC =-+类似可得：tan tan 1tan tan A C A C-+=+化简得：2tan tan 20C C +-=，所以tan 1C =，或者tan 2C =-.①当πtan 1,,tan 04C C A ===，舍去；②当tan 2,C C =-为钝角，舍去综上得3ABC S =△.（2）由（1）可知ππ,2244B b ===记ABC 内切圆半径为得r ，因为()11sin 22ac B a b c r =++，所以sin ac B r a b c ==++因为222π2cos 4b a c ac =+-，所以(24()2a c ac =+-+，即2ac =，所以)22222ac r a c a c ===+-++由(2224()2())a c ac a c a c =+-+≥+-+，得a c +≤所以)max 21r ⎫==⎪⎪⎭当且仅当a c =时取等号.19．（1）515C ；（2）（i ）证明见解析；（ii ）22025-【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得；（2）（i ）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得；（ii ）将所求和式展开后，拆项，利用（i ）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果.【详解】（1）0514********105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++011223344510101010101010101010C C C C C C C C C 46644C 4=+++++++++123451223344511111111111111111111111111C 4C 6C 4C C C C 3C 3C 3C 3C C C =++++=+++++++234523344512121212121212121212C 3C 3C C C C 2C 2C C C =+++=+++++345344545513131313131313141415C 2C C C C C C C C C =++=+++=+=；（2）（i ）1111A A A 111C C !!!k n k k k k n n n n n n k k k kn ----=⋅===；（ii ）10120123202520252024202320220(1)1111C C C C C 20252025202420132012n n n n n -=-=-+-+-∑ 101210131C 1013+012310122025202420232022101312025202520252025C C C C C 20252024202320221013⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦ 0123101220252024202320221013+)1[(C C C C C 2025=-+++ 12310122024202320221013231012C C C C ]2024202320221031()1--+-- 由（i ）得11C C k k n n k n--=，则有102110121011202420232023202210131012121012C C ,C C ,,C C 202420231013==⋯=，原式()()0123101201210112025202420232022101320232022202110121C C C C C C C C C 2025⎡⎤=-+-++--+--⎣⎦构造数列{}n a ，令0123123C C C C n n n n n a ---=-+-+ ，则01231112C C C C n n n n n a ++--=-+-+ ，所以()()012301231112123C C C C C C C C n n n n n n n n n n a a ++------=-+-+--+-+()()()()00112233111223C C C C C C C C n n n n n n n n +-----=---+---+ 0121231C C C n n n n a ----=-+-+=- 所以11n n n a a a +-=-，即()2111n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-，即3n n a a +=-，所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列.又因为12345620231202531,0,1,1,0,1,,1,1a a a a a a a a a a ===-=-======- ，所以()()1012202520252023310(1)112C 2025202520252025n n n n a a a a n -=-=-=-=--∑.【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题.解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题.。

2016学年第一学期浙江省名校协作体试题高二数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()(lg 1f x =-的定义域为（ ▲ ）A ．()2,3B ．(]2,3C ．[)2,3D ．[]2,3 2．为了得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ▲ ）A ．向右平移65π个单位 B ．向右平移125π个单位 C ．向左平移65π个单位 D ．向左平移125π个单位3． 若101a b c >><<，，则（ ▲ ） A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 4．若正数,x y 满足410x y +-=，则x y xy +的最小值为（ ▲ ）A ．12B ．10C ．9D ．85．方程2357x x x x++=共有（ ▲ ）个不同的实根A ．0B ．1C ．2D ．无数多个6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01>a ，13853a a =，则n S 中最大的是（ ▲ ） A ．10S B ．11S C ．20SD ．21S7．已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在ππ43⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ▲ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．98．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若T 均是()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的一个周期，则T 也均是()f x 、()g x 、()h x 的一个周期，③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数，下列上述命题成立的个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．集合{}29A x R x =∈<，{}24xB x R =∈<，12log 2C x R x ⎧⎫⎪⎪=∈<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =I ▲ ；A C =U▲ ；R B =ð ▲ ．10．设函数21,0()2log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则[(2)]f f -= ▲ ；使()0f a <的a 的取值范围是 ▲ ． 11．若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= ▲ ；cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= ▲ ．12．在数列{}n a 中，12a =，38a =．若{}n a 为等差数列，则其前n 项和为 ▲ ；若为等比数列，则其公比为 ▲ ． 13．在ABC ∆中，tantan 122A B +=，则tan 2C的取值范围为 ▲ ．14．已知函数()()214f x x a x =+-+，()()214g x x a x a =++++，若不存在实数0x ，使得()()0000f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15．已知a 、b 、c 是三个单位向量，且0c a c b ⋅=⋅>，则对于任意的正实数t ，1c ta b t--的最小值为12，则a b ⋅= ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2016-2017学年浙江省宁波市九校（余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等）高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）抛物线y=﹣的准线方程是（）A．x=B．x=C．y=2 D．y=42．（4分）i是虚数单位，若=a+b i（a，b∈R），则a+b的值是（）A．﹣B．﹣2 C．2 D．3．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若tanα≠1，则α≠B．若α=，则tanα≠1C．若α≠，则tanα≠1 D．若tanα≠1，则α=4．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βD．若m⊥α，m∥n，n⊂β则α⊥β5．（4分）如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面中心，M为线段SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P的轨迹为（）A．线段B．圆C．椭圆D．抛物线6．（4分）过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|的值为（）A．2 B．C．1 D．7．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）A．πB．12πC．16πD．32π8．（4分）已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+4上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）设直线l与椭圆相交于A，B两点，与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，）B．（2，）C．（2，）D．（1，）二、填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）若复数z=（1+a i）（1﹣i）为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是，||=．12．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设A1D1中点为M，CD的中点为N，若∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°且AA1=AB=AD=1，则|AC1|=，若=x+y+z，则x+y+z=．13．（5分）已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为，若此双曲线C还过点M（2，），则双曲线C的方程为．14．（5分）如图是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为，表面积为．15．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面BEF，则线段A1P长度的取值范围是．16．（5分）定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为．17．（5分）如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE 上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列结论错误的是．（填序号）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④直线EF与AC所成角可能为15°．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知命题p：“曲线C1==1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：表示双曲线”．（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（15分）如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，二面角A﹣C1C﹣B的大小为，点D线段BC的中点．（1）若AB=AC，求证：平面BB1C1C⊥平面AB1D；（2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．20．（15分）在平面直角坐标系中，定点F（1，0），P是定直线l：x=﹣1上一动点，过点P 作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q，记Q点的轨迹为曲线T，过点E（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线AB，CD交曲线T于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．（1）求曲线T的方程；（2）若k1+k2=1，求证：直线MN过定点．21．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面P AB，P A=PB=AB=6，BC=9，点M，N 分别为PB，BC的中点．（1）求证：AM⊥平面PBC；（2）E是线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面P AB所成角的正弦值．22．（15分）已知F1为椭圆C1：=1的上焦点，F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）过F1点作互相垂直的两条直线分别交抛物线C2于A，B两点，交椭圆C1于C，D两点，求四边形ABCD的最小值．参考答案一、选择题1．C【解析】抛物线y=﹣的标准方程为：x2=8y，可得p=4，抛物线y=﹣的准线方程是：y=2．故选：C．2．C【解析】∵==，且=a+b i，∴a=，b=，则a+b=+=2．故选C．3．A【解析】命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠，故选：A4．D【解析】A．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；B．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；D．正确，由m⊥α，m∥n便得n⊥α，又n⊂β，∴β⊥α，即α⊥β．故选D．5．A【解析】设圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．于是有=（0，1，），=（x，y，﹣）．由于AM⊥MP，所以（0，1，）•（x，y，﹣）=0，即y=，此为P点形成的轨迹是底面圆的弦．故选：A．6．D【解析】抛物线x2=4y，抛物线的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，p=2，设A（x，y），则|AF|=y+1=3，故y=2，此时x=2，即A（2，2），k AF==，则直线AF的方程为：y=x+1，代入x2=4y，得x2﹣x﹣4=0，解得x=2（舍）或x=﹣，则y=，B（﹣，）则|BF|==，故选：D．7．C【解析】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，∴AA1=3，∴AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，∴球的半径为2，∴球的表面积为4π×22=16π，故选C．8．B【解析】由题意得，2c=|AB|=4．∴c=2．2a=|P A|+|PB|．当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点A（﹣2，0）关于直线l：y=x+4的对称点为A′（x，y）．则．解得，．∴A′（﹣4，2）．则|P A|+|PB|=|P A′|+|PB|≥|A′B|．∴2a≥|A′B|==2．∴当a=时，椭圆有最大离心率．此时，=．故选：B．9．C【解析】设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），O（1，1，0），P（a，2，2），0≤a≤2，=（2，0，2），=（2，2，0），=（a﹣1，1，2），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），∴sinα=|cos＜＞|=||=||=，∵0≤a≤2，sinα在a∈[0，2]是减函数，∴a=2时，sinα取最小值（sinα）min==，a=0时，sinα取最大值（sinα）max==．∴sinα的取值范围是[]．故选：C．10．D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），代入椭圆方程相减，整理得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得2ky0=﹣x0，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=2，即M的轨迹是直线x=2．将x=2代入椭圆方程，得y2=6，∴﹣＜y0＜，∵M在圆上，∴（x0﹣1）2+y02=r2，∴r2=y02+1≤7，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴1＜r2＜7，故1＜r＜时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，1＜r＜，故选D．二、填空题11．﹣1 3【解析】∵z=（1+a i）（1﹣i）=a+1+（a﹣1）i为纯虚数，∴，解得a=﹣1．∴z=﹣2i，则．∴||═|2i+i|=|3i|=3．故答案为：﹣1，3．12．0【解析】①=+，∴=+++2+2=3+2×3×cos60°=6，解得=．②==﹣=+﹣，与=x+y+z比较可得：x==y，z=﹣1．则x+y+z=0．故答案为：，0．13．或【解析】双曲线C与双曲线有共同的渐近线，可得：或=，即：，可得e2﹣1=，可得：e=．，可得：e2﹣1=，e=．此双曲线C设为：还过点M（2，），可得：，即m=，所求双曲线方程为：．故答案为：或；．14．4+6+2【解析】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V==，表面积为4+6+2故答案为，4+6+2．15．[，]【解析】取BB1的中点M，连结A1C1，A1M，C1M，∵在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∴BE∥A1M，BF∥C1M，∵BE∩BF=B，A1M∩C1M=M，BE，BF⊂平面BEF，A1M，C1M⊂平面A1MC1，∴平面BEF∥平面A1MC1，∵P是侧面BCC1B1内一点，A1P∥平面BEF，∴P∈线段C1M，∵A1C1=，A1M=C1M=，∴线段A1P长度的最大值为A1C1=，最小值为点A1到线段C1M的距离d，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A1（1，0，1），M（1，1，），C1=（0，1，1），=（1，﹣1，0），=（1，0，﹣），∴点A1到线段C1M的距离：d=||==．∴线段A1P长度的取值范围是[，]．故答案为：[，]．16．【解析】设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物y2=x的线准线x=﹣，P到y轴距离S=||=﹣=﹣，∴﹣≥﹣=2﹣=，当且仅当M，N过F点时取等号，故答案为：．17．④【解析】对于①，在图2中记AC与BD的交点（中点）为O，取BE的中点为M，连结MO，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，∴AC∥平面BEF，故①正确；对于②，如果四点共面，则Y由BC∥平面ADEF⇒BC∥EF∥AB⇒BC=EF，与已知矛盾，故②正确；对于③，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对于④，以D点为原点，DA，DC分别为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法求直线EF与AC所成角，故④错误．故答案为：④三、解答题18．解：（1）若p为真：则，解得﹣4＜＜﹣2，或m＞4；（2）若q为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1，∵p是q的必要不充分条件，则{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜＜﹣2，或m＞4}即或t≥4解得﹣4≤t≤﹣3或t≥419．（1）证明：由题意，∠ACB=，AB=AC，∴△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，AD⊥CC1，∴AD⊥平面BB1C1C，∵AD⊂平面AB1D，∴平面BB1C1C⊥平面AB1D；（2）解：当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，∵4=AB2=≥AC•BC﹣AC•BC=AC•BC，∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，设A1到平面AB1D的距离为d，则由等体积可得，∴d=，∴sinθ==．20．（1）解：过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q，∴|QP|=|QF|，即点Q 到点F（1，0）的距离等于点Q到直线l1：x=﹣1的距离，由抛物线的定义可得点Q的轨迹是以F为焦点，以直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，方程为y2=4x．（2）证明：设AB的方程为y=k1（x﹣2），联立抛物线方程得k1y2﹣4y﹣8k1=0，y1+y2=，y1y2=﹣4m，AB中点M（+2，），同理，点N（+2，），∴k MN==k1k2，∴MN：y﹣=k1k2[x﹣（+2）]，即y=k1k2（x﹣2）+2，∴直线MN恒过定点（2，2）．21．证明：（1）∵=AB，M为PB中点，∴AM⊥PB，∵BC⊥平面P AB，AM⊂平面P AB，∴AM⊥BC，∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．解：（2）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，∵AM∥平面PNC，AM⊂平面AMC，平面AMC∩平面PEN=EF，∴AM∥EF，AE=AC=2，即E为靠近A的AC的一个三等分点．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∴EH⊥平面P AB，∴∠EPH是直线PE与平面P AB所成的角，且HE=BC=3，HA=BA=2，∴PH==2，PE=，∴sin=，∴直线PE与平面P AB所成角的正弦值是．22．解：（1）由题意可知：抛物线C2：x2=4y的焦点（0，1），则a2﹣b2=1，由抛物线的定义可知：|MF1|=y M+1=，则y M=，则M（﹣，），椭圆的下焦点为F2，丨MF2丨==，由椭圆的定义可知：2a=|MF1|+丨MF2丨=4，a=2，b2=3，∴椭圆的方程：；（2）设直线AB，y=kx+1，则CD：x=﹣k（y﹣1），，y2﹣（4k2+2）y+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则丨AB丨=y1+y2+p=4k2+4，，整理得：（4k2+3）y2﹣8k2y+4k2﹣12=0，设A（x3，y3），B（x4，y4），则y3+y4=，y3•y4=，丨CD丨=•丨y3﹣y4丨=，则四边形ABCD的面积S，S=丨AB丨丨CD丨=，令t=3+4k2（t≥3），则S=（t++2）≥8，当t=3，即k=0时，四边形ABCD的最小值8．。

绍兴一中2016学年第二学期期末考试高二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则=A. B. C. D.【答案】C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，所以．由条件可知>0，故．故选D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选B.4. 已知，则的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以，故选A．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5. 是恒成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A...【解析】设成立；反之，，故选A.6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式的解集为R.可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0，得：，解得：0<a<4，当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R.综上可得：实数a的取值范围为(0,4].本题选择D选项.7. 函数的图象大致是A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009【答案】A8. 已知函数(、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意得，函数f（）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当=时，函数f（）取得最小值，∴2×+φ=2π+，∈，可解得：φ=2π+，∈，∴f（）=Asin（2+2π+）=Asin（2+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（）=Asin在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：B．9. 已知数列的前项和为，，当时，，则（ ）...A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009 【答案】D 【解析】，故选D.10. 对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C 【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C.点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题， 变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n 的取值范围.二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分)11. 已知，记：，试用列举法表示_____．【答案】{﹣1，0，1，3，4，5} 【解析】{﹣1，0，1，3，4，5}.12. 若实数满足则的最小值为__________．【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线+y−2=0，=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如图所示。