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第3讲机械能守恒定律及其应用一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与运动路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh。
(2)重力势能的特点：①系统性：重力势能是物体和地球共有的；②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p。
二、弹性势能1．物体由于发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能，弹性势能的大小与形变量和劲度系数有关。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W弹＝－ΔE p。
三、机械能守恒定律1．内容在只有重力(或弹簧的弹力)做功的物体系统内，动能与重力势能(或弹性势能)可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2。
3．机械能守恒的条件对单个物体，只有重力做功；对系统，只有重力或系统内的弹簧弹力做功。
(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
)1．被举到高处的物体的重力势能一定不为零。
(×)2．重力做正功物体的重力势能反而是减小的。
(√)3．弹簧弹力做正功时，弹性势能增加。
(×)4．物体受到的合外力为零，物体的机械能一定守恒。
(×)5．物体除受重力外还受其他力作用，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。
(√)1．(重力做功与重力势能变化的关系)有关重力势能的变化，下列说法中不正确的是( )A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 JB．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能一定不是1 J解析根据重力做功特点与经过路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B、C两项正确，且重力势能与零势能面选取有关，所以D项错误；当物体加速运动时克服重力做功少于1 J，重力势能增加少于1 J。
机械能部分复习（一）知识要点：（一）有关动能定理专题复习1. 动能定理的文字表述：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
2. 动能定理的数学表达式21222121mv mv W -=总。
3. 对动能定理的理解及应用时应注意的问题：（1）等式的左边为物体所受的各力对物体做功的代数和，即321W W W W ++=总+……在应用时一定要注意判定各力做功的正、负情况，正功代入正值，负功代入负值。
如果物体所受的各力为恒力，则其合力合F 也为恒力，故总功也可按如下方法求解，即θcos s F W 合总=。
（2）等式的右边为物体动能的变化，指的是物体运动过程的末态动能22221mv E k =与初态动能21121mv E k =之差。
应用时一定要搞清研究对象所发生的运动过程的初态和末态，求初态和末态动能时，还应注意应该用该时刻物体运动的合速度大小。
说明：做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“=”的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能的增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”，“动能变化的多少用总功来量度”。
（3）动能定理是在牛顿第二定律的基础上推导出来，因牛顿第二定律适用于惯性参照系，所以动能定理也是在惯性参照系下才成立的。
在中学物理中一般取地球为参照系。
这样，当我们在应用动能定理时一定要注意，求功时用到的位移和求动能时用到的速度必须是对地的位移和对地的速度。
4. 动能定理的适用情况及注意的问题介绍（1）适用于单个物体或者可以看成单一物体的物体系（要注意：必须分清内力和外力，内力做功不在动能定理的考虑之列）；（2）适用于直线运动，也适用于曲线运动；（3）适用于恒力做功，也适用于变力做功（对于恒力做功可用做功公式表达，对于变力做功，列动能定理表达式时要用功的符号W 加脚标的形式表达，不能用做功公式表达）；（4）若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，则应用动能定理时，可以分过程考虑，也可全过程整体处理（要注意：有些力在选定的物体运动的过程中，并不是始终存在，这样必须搞清各过程各力做功情况，和物体的初、末动能）。
高三物理机械能守恒定律与其应用知识精讲一. 本周教学内容：机械能守恒定律与其应用机械能：动能、重力势能、弹性势能统称为机械能。
功是能量转化的量度，通过重力做功可以实现重力势能与动能之间的转化，通过弹力做功可以实现弹性势能和动能之间的转化。
〔一〕重力功与重力势能的变化问题1：起重机将同一个物体，拉到同样的高度，分别经过匀速、加速、减速过程1. 物体重力势能的增加量是否一样？2. 物体抑制重力做功是否一样？3. 物体动能的增加量是否一样？4. 合外力对物体做功是否一样？分析解答：1. 重力势能的增加为mgh,只要初末位置一样，势能的增加量就一样。
2. 物体抑制重力做功为mgh,与运动过程的具体情况无关。
3. 运动过程不同，物体速度变化不同，动能的变化不同。
4. 根据动能定理，合外力的功决定并量度动能的变化，动能变化不同，合外力的功一定不同。
具体分析：根据牛顿运动定律T-mg=ma,a1=o,T1=mg,ΣW=0，动能不变;a2>0,T2=mg+ma2,物体处于超重状态，ΣW=(T2-mg)h=ma2h>0，物体动能增加;a3与初速度反向，数值上T3=mg-ma3, 物体处于失重状态，ΣW=-ma3h<0,物体动能减小。
结论：物体抑制重力做功，数值上等于物体重力势能的增加量，它们只由状态决定，与运动过程无关。
物体动能的变化取决于合外力的总功。
弹力为应变力，不同的物理过程，弹力大小不同，弹力的功不同，合外力的功不同，动能的变化不同。
结论：1. 重力功的特点：重力做功与路径无关，与具体运动过程无关。
沿水平面运动或沿闭合路径一周，重力做功为0。
2. 重力功与重力势能的关系：抑制重力做功的过程，一定是物体位置升高的过程，物体重力势能增加。
并且抑制重力做多少功物体的重力势能就增加多少。
重力对物体做正功的过程，物体的位置一定下降，物体的重力势能一定减小。
并且重力做多少功，物体重力势能就减小多少。
高三物理总复习专题讲座（机械能）一、基本概念1、做功的两个必备因素是力和在力方向上的位移．而往往某些力与物体的位移不在同一直线上，这时应注意这些力在位移方向上有无分力，确定这些力是否做功．2、应用公式W＝Fscosα计算时，应明确是哪个力或哪些力做功、做什么功，同时还应注意：(1)F必须是整个过程中大小、方向均不变的恒力，与物体运动轨迹和性质无关．当物体做曲线运动而力的方向总在物体速度的方向上，大小不变，式中α应为0，而s是物体通过的路程．(2)公式中α是F、s之间夹角，在具体问题中可灵活应用矢量的分解；一般来说，物体作直线运动时，可将F沿s方向分解；物体作曲线运动时，应将s沿F方向分解，(3)功是标量，但有正负，其正负特性由F与s的夹角α的取值范围反映出来．但必须注意，功的正负不表示方向，也不表示大小，其意义是表示物体与外界的能量转换．(4)本公式只是计算功的一种方法，今后还会学到计算功的另外一些方法，尤其是变力做功问题，决不能用本公式计算，那时应灵活巧妙地应用不同方法，思维不能僵化．3、公式P=W/t求得的是功率的平均值。
P=Fvcosα求得的是功率的瞬时值。
当物体做匀速运动时，平均值与瞬时值相等。
4、P＝Fvcosα中的α为F与v的夹角，计算时一般情况下当物体做直线运动时，可将F 沿v方向与垂直v方向上分解，若物体作曲线运动时可将v沿F及垂直F的两个方向分解．5、P＝W/t提供了机械以额定功率做功而物体受变力作用时计算功的一种方法．6、功和能的关系应从以下方面理解：不论什么形式的能，只要能量发生了转化，则一定有力做功；能量转化了多少，力就做了多少功．反之，只要有力做功，则一定发生了能量转化；力做了多少功，能量就转化了多少．所以功是能量转化的量度，但决不是能的量度．7、功与能是不同的概念，功是一个过程的量，而能是状态量。
正是力在过程中做了功，才使始末状态的能量不同，即能量的转化．说功转化为能是错误的．8、“运动的物体具有的能叫动能”这句话是错误的．因为运动的物体除了动能外还有势能．9、关于重力势能，应明确：(1)重力势能的系统性，即重力势能是物体和地球共有的，而不是物体独有的，“物体的重力势能”是一种不够严谨的习惯说法．(2)重力势能的相对性，势能的量值与零势能参考平面的选取有关．E p=mgh中的h是物体到参考平面的竖直高度．通常取地面为参考平面．解题时也可视问题的方便随意选取参考平面．(3)重力势能的变化与参考平面的选取无关，只与物体的始末位置有关．10、重力做功的特点：(1)与路径无关，只由重力和物体始、末位置高度差决定．(2)重力做功一定等于重力势能的改变．即W G=E p1-E p2，当重力做正功时，重力势能减少；当重力做负功时，重力势能增加。
11、关于动能定理，要注意动能定理的表达式的等号左边是且仅是所有外力的功，等号右边是且仅是物体动能的改变量。
在列动能定理方程时，不要考虑势能及势能的变化。
12、关于机械能守恒定律应明确：(1)定律成立的条件是“只有重力做功”，不是“只有重力作用”．有其它力作用，但其它力不做功，而只有重力做功时，机械能仍守恒．(2)定律表示的是任一时刻、任一状态下物体机械能总量保持不变，故可以在整个过程中任取两个状态写出方程求解．(3)定律的表达式除了写成E p1+E p2=E k1+E k2外，还可写成ΔE p=-ΔE k，即在任一机械能守恒的过程中，重力势能的减少(增加)一定等于动能的增加(减少)。
利用ΔE p=-ΔE k进行计算有时会显得简明．13、应用机械能守恒定律解题时，只要考虑始末态下的机械能，无须顾及中间过程运动情况的细节。
因此，对于运动过程复杂、受变力作用、作曲线运动等不能直接应用牛顿运动定律处理的问题，利用机械能守恒律会带来方便。
14、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：(1)认真审题，确定研究对象；(2)对研究对象进行受力分析和运动过程、状态的分析，弄清整个过程中各力做功的情况，确认是否符合机械能守恒的条件；(3)确定一个过程、两个状态(始末)，选取零势能参考平面，确定始末状态的动能、势能值或这个过程中ΔE p和ΔE k的值；(4)利用机械能守恒定律列方程，必要时还要根据其它力学知识列出联立方程；(5)统一单位求解．解题的关键是准确找出始、末状态的动能和势能的值，尤其是势能值的确定．二、恒力做功与变力做功问题1、恒力做功求解恒力功的方法一般是用功的定义式W=Fscosα，需要特别注意：（1）位移s的含义：是力直接作用的物体对地的位移。
当力在物体上的作用位置不变时，s就是力作用的那个质点的位移；当力在物体上的作用位置不断改变时，s应是物体的位移。
如：一个不能视为质点的物体受到滑动摩擦力作用时，摩擦力的作用点时时变化，此时s就不是摩擦力作用点的位移，而是物体的位移。
[例]如图示，质量为m、初速为v0的小木块，在桌面上滑动。
动摩擦因数为μ，求木块停止滑动前摩擦力对木块和桌面所做的功。
[解答]对木块：W1=-fs=-μmg·v02/（2gμ）=-mv02/2对桌面：W2=0[例] 如图示，质量为m、初速为v0的小木块，在一块质量为M的木板上滑动，板放在光滑水平桌面上，求木块和板相对静止前，摩擦力对木块和木板所做的功。
[解答]据动量守恒mv0=（m+M）vW1=-fs2=-μmg·M（M+2m）v02/（M+m）22gμ=-Mm(M+2m)v02/2（M+m）2W2=fs1=Mm2v02/2（M+m）2gμ（2）一对相互作用力所做功之和不一定为零如：人竖直向上跳起，地面对人的作用力对人做正功，人对地而不做功（地球位移视为零），总功为正；一对静摩擦力，位移值一定相同，总功必为零；一对滑动摩擦力，做功时必然发热，系统内能增加，总功必为负。
2、判断做功正负的方法（1）从力与位移或速度方向的关系进行判断。
如：“子弹打木块”问题，摩擦力对子弹做负功，对木块做正功。
（2）从能量的增减进行判断[例]如图示，在质量不计、长度为L 的直杆一端和中点分别固定一个质量都是m 的小球A 和B ，试判断当杆从水平位置无摩擦地转到竖直位置的过程中，杆对A 、B 球做功的正负。
[解答]A 、B 两球组成的系统的机械能守恒，由机械能守恒定律：2221212B A mv mv l mg mgl +=+ 由于两球在同一杆上，角速度相等，故B A v v 2= 解之得：gl v A 1552=，gl v B 1551= 与A 、B 球自由下落时的速度比较，gl v A 2='，gl v B =' 可见A A v v '>，B B v v '<，故杆对A 球做正功，对B 球做负功。
3、变力做功大小或方向变化的力所做的功，一般不能用功的公式W=Fscos α去求解．需变换思维方式，独辟蹊径求解。
(1)用功率定义式求解将功率的定义式P=W/t 变形，得W=Pt 。
在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式。
[例]质量为m 的汽车在平直公路上以初速度v 0开始匀加速行驶，经时间t 前进距离s 后，速度达最大值v m ，设在这段过程中发动机的功率恒为P ，汽车所受阻力恒为f ，则在这段时间内发动机所做的功为：A 、PtB 、fv M tC 、fs+mv m 2/2D 、mv m 2/2-mv 02/2+fs（答案：ABD ）(2)用动能定理求解变力做功求解某个变力所做的功，可以利用动能定理，通过动能改变量和其余力做功情况来确定。
[例]如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用．当拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R ．当拉力逐渐增至4F 时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R ／2．在此过程中，拉力对小球做了多少功?[解答]此题中的F 是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功．根据F=mv 2／R ，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功．由F=mv 12／R 4F=mv 22／0.5R得W F =mv 22／2-mv 12／2=FR/2[例]如图，用F ＝20N 的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为10kg 的物体从A 点由静止沿水平面运动．当它运动到B 点时，速度为3m ／s ．设OC ＝4m ，BC ＝3m ，AC ＝9.6m ，求物体克服摩擦力做的功．[解答]作出物体在运动过程中的受力图。
其中绳的拉力T 大小不变，但方向时刻改变．N 随T 方向的变化而变化(此力不做功)．f随正压力N 的变化而变化．因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题．但绳拉力T 做的功，在数值上应等于向下恒力F 做的功．F 的大小已知，F 移动的距离应为OA 、OB 两段绳长之差．m C A C O A O 4.102=+=m C B C O B O 52=+=由动能定理 W F +W f =ΔE k 得：021)(2-=+-B f mv W B O A O F W f ＝-63(J)即物体克服摩擦力做了63J 耳的功．(3)用图象法求解变力做功如果能知道变力F 随位移s 变化的关系，我们可以先作出F-s 关系图象，并利用这个图象求变力所做的功．[例]如图，密度为ρ，边长为a 的正立方体木块漂浮在水面上(水的密度为ρ0)．现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功?[解答]未用力按木块时，木块处于二力平衡状态F 浮=mg 即ρ0ga 2（a-h ）=ρga 3并可求得：h=a （ρ0-ρ）/ρ0（h 为木块在水面上的高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F ’浮=ρ0ga 3以开始位量为向下位移x 的起点，浮力可表示为：F 浮=ρga 3+ρ0ga 2x根据这一关系式，我们可作出F 浮-x 图象(如图右所示)．在此图象中，梯形OhBA 所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。
W=（ρ0ga 3+ρga 3）h/2=ga 3h （ρ0+ρ）/2这里的“面积”为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解．即使F-x 关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功．三、重力功率与交通工具起动问题1、重力的功率（1）自由落体过程中重力的功率（2）平抛运动中重力的功率（3）沿斜面滑行的物体的重力的功率[例]质量为m 的物体，由静止开始沿倾角为θ的光滑斜面下滑，求前3s 内、第3s 内、第3s 末重力做功的功率。
[解答]θθθ222111sin 5.133sin 21sin m g g m g t W P =⨯⋅== θθθθ2222222sin 5.21)2sin 213sin 21(sin m g g g m g t W P =⨯-⨯⋅== θαθα223sin 3)90cos(3sin cos mg g mg v F P =-︒⋅⨯⋅=⋅=2、交通工具起动时的牵引力及功率汽车等交通工具的起动方式有两种：一是以恒定功率起动，二是汽车以恒定的牵引力起动，具体分析如下：（1）输出功率不变时的运动由于牵引力F ＝P ／v ，随着速度v 的增大，牵引力F 减小，则加速度a=（F-f ）/m 减小，但因a 与v 同向，汽车的速度v 不断增大，F 减小，a 减小，直至a=0时，汽车作匀速运动，此时速度为最大值v m ＝P/F=P/f ，在此之前，由牛顿第二定律得：（P/v ）-f=ma ，可知任一速度值均有与之相对应的一个确定的加速度值．由于汽车做变加速运动，所以不能用匀变速直线运动的公式求解，也不能对全过程应用牛顿第二定律，但动能定理是适用的，力和加速度瞬时对应关系也成立，因此解题时通常是对某一过程列动能定理方程，对某一瞬时列牛顿第二定律方程．[例]一辆机车的质量为750T ，沿平直轨道由静止开始运动．它以额定功率在5分钟内驶过2.5km ，并达到10m ／s 的最大速度．求：(1)机车发动机的额定功率P 和机车与轨道间的摩擦因数μ分别是多少?(2)当机车速度为5m ／s 时的加速度多大(g 取10m ／s 2)[解答]如图所示，设机车在A 处起动，因功率不变，故随着速度的增大，牵引力减小，加速度减小，机车做变加速运动．当牵引力减小到F=f 的B 处时，速度达到最大值v m ，以后机车做匀速运动．(1)由动能定理得：Pt-μmgs=mv m 2/2 ①在B 处：F=f=μmg ，故有P=Fv=μmgv m ②将②式代人①式、并代入数据可得：μ=0.01再将μ值代入②式得：P=7.5×105J(2)设此时牵引力为F’,则F’=P/v’=7.5×105／5=1.5×105N再由F’-f=ma得a=(F’-f)/m=0.1m／s2[例]输出功率保持10kw的起重机起吊500kg的重物，当货物升高到2m时速度达到最大值，此最大速度是多少?此过程用了多长时间?(g取10m／s2)[解答]起重机以恒定的功率吊起重物的过程是加速度不断减小、速度不断增大的过程.当货物的速度达到最大时，起重机的牵引力与货物的重力相平衡，即：F=mg=5×103N，v m＝P／F=2m／s．求解这一段运动时间不能用匀变速运动的公式，我们可以货物为研究对象运用动能定理求解：Pt-W G=mv2/2, t=(mv2/2+mgh)/P=1.1s(2)牵引力不变时的运动汽车以恒定的牵引力起动，则汽车开始一段时间作匀加速运动，由v=at及P=Fv=Fat可知，随时间的延长汽车的功率越来越大，直到达到其最大功率时，输出功率不能再增大，但此时由于牵引力仍大于阻力，汽车仍加速，则因受最大功率的制约，牵引力必须减小，汽车做加速度越来越小的匀加速运动，直至a=0时做匀速运动，故此种情形下，汽车前一阶段做匀加速运动，后一阶段做变加速运动。
