秋学期高中数学北师大版必修一对数及其运算 第二课时 教案

4. 对数及其运算-北师大版必修1教案一、教学内容本节课主要介绍对数及其运算的相关知识，包括对数的定义、常用对数、自然对数、对数运算及其性质等。

二、教学目标•掌握对数的定义及其特点；•熟练掌握常用对数、自然对数及其性质；•能够熟练使用对数运算的基本方法；•培养学生的数学思维和解决问题的能力。

三、教学重难点1.对数的定义和性质；2.常用对数、自然对数及其性质；3.对数运算及其性质；4.对数运算的基本方法。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过研究下列问题来引出对数的概念：•质因数分解•通过指数运算求解问题•乘除幂次转化为加减引导学生逐步认识指数与算术的关系，了解指数运算的特点。

2. 对数的定义及其性质（20分钟）•对数的定义（西方定义和国内定义的区别）•对数的性质•对数的基本换底公式让学生掌握对数的意义，了解自然对数和常用对数的定义，掌握对数的相关性质及其应用。

3. 常用对数、自然对数及其性质（25分钟）•常用对数和自然对数的定义和特点•常用对数、自然对数之间的互相转化•常用对数、自然对数的计算及其性质通过例题、练习，让学生掌握常数的含义及其性质，能够熟练地进行常数转化运算。

4. 对数运算及其性质（25分钟）•对数的乘除法及其性质•对数幂次及其性质•对数运算的基本方法通过对数的乘除、幂次运算及其相关性质的学习，让学生熟练掌握对数运算及其相关计算方法。

5. 案例分析（25分钟）通过对一些常见的数学问题进行分析，让学生了解如何运用对数来解决问题。

6. 总结与作业布置（5分钟）通过让学生回答一些问题，对本节课所学知识内容进行复习和总结，并布置相应的练习作业。

五、教学反思通过本节课的教学，让学生掌握了对数及其运算的相关知识，有利于他们进一步深入理解指数的含义及其计算运算方法，从而提高他们的数学水平和解决问题的能力。

第2课时 对数的运算性质及换底公式学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)．预习教材P80－85完成下列问题： 知识点一 对数的运算性质 如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则： (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a MN＝log a M －log a N ．思考 当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示 不一定成立．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)对数的运算性质(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 能推广为log a (a 1·a 2·…·a n )＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n (a >0且a ≠1，a n >0，n ∈N *)．( )提示 (1)错误．M 和N 为负数时log a M 和log a N 无意义． (2)错误．log a x ＋log a y ＝log a (xy )． (3)正确．能log a [(a 1a 2…a n－1)·a n ]＝log a (a 1·a 2·…·a n－1)＋log a a n ＝log a (a 1·a 2·…·a n －2)＋log a a n －1＋log a a n ＝…＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n ．答案 (1)× (2)× (3)√ 知识点二 换底公式log b N ＝log a Nlog a b (a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)．【预习评价】1．换底公式中底数a 是特定数还是任意数？ 提示 是大于0，且不等于1的任意数． 2．换底公式有哪些作用？提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值．知识点三 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1； (3)log an b n＝log a b ； (4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b ．【预习评价】1．计算log 2781＝( ) A.43 B ．34 C ．23D ．32解析 log 2781＝log 3334＝lg 34lg 33＝43．答案 A2．计算log 42＋log 48＝________． 解析 log 42＋log 48＝log 416＝2． 答案 23．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？ 提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化． 第二步：利用对数的性质化简、求值．题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值． (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12． 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg (75)＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12．(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．【训练1】 计算下列各式的值． (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27．解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1．(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3－＝115．题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 计算下列各式的值． (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． 解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2．(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) ＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52 ＝133×3＝13． 规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． (2)常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m nlog a b ， log a b ＝1log b a等．【训练2】 (1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)log 2125·log 318·log 519＝________．解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322) ＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4． (2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3lg 2·lg 3·lg 5＝－12．答案 (1)D (2)－12方向1 含有附加条件的对数式或指数式的求值 【例3－1】 (1)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645． (2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．解 (1)法一 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a． 法二 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 18log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a．法三 ∵log 189＝a,18b＝5，∴lg9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a． (2)法一 由3a＝4b ＝36，得a ＝log 336＝2log 36，b ＝log 436＝log 2262＝log 26． ∴2a ＋1b ＝22log 36＋1log 26＝log 63＋log 62＝log 6(2×3)＝log 66＝1． 法二 对已知条件取以6为底的对数，得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b＝log 62，于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1．方向2 与方程的综合应用 【例3－2】 解下列方程．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2； (3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1．解 (1)首先，方程中的x 应满足x >10， 其次，原方程可化为lgx3＝lg5x －10，∴x3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0． 解得x ＝15或x ＝－5(舍去)， 经检验，x ＝15是原方程的解． (2)首先，x >0且x ≠110，其次，原方程可化为lg x ＋2lg x 1＋lg x＝2，即lg 2x ＋lg x －2＝0．令t ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2， ∴x ＝10或x ＝1100．经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1>0且x 2－1≠1，即x >1或x <－1且x ≠±2． 由2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1．综上可知，x >1或x <－1且x ≠±2． 其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1． ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2． 又∵x >1或x <－1且x ≠±2，∴x ＝2． 经检验，x ＝2是原方程的解． 方向3 与集合知识的综合应用【例3－3】 已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，则log 8(x 2＋y 2)＝________．解析 在集合B 中，根据集合中元素的互异性，有|x |≠0，且y ≠0.则在集合A 中，x ≠0，且xy ≠0，有lg(xy )＝0，解得xy ＝1.此时，A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，y }．由A ＝B ，得|x |＝1或y ＝1．①若|x |＝1，则x ＝－1或x ＝1(舍去)．此时y ＝－1.经检验，符合题意． ②若y ＝1，则|x |＝x ，解得x ＝1，与集合中元素的互异性矛盾． 综合可知，x ＝－1，y ＝－1，log 8(x 2＋y 2)＝log 82＝13．答案 13方向4 与函数知识的综合应用【例3－4】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ∈，＋，x2，x ∈－1，0]，－2x ＋3，x ∈－∞，－1]，求f (f (f (－2－3)))的值．解 ∵－2－3<－1，且当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－2x ＋3，∴f (－2－3)＝－2－2－3＋3＝－14．∵－14∈(－1,0]，且当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (f (－2－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝116>0．又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ， ∴f (f (f (－2－3)))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 2116＝－4．规律方法 (1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．(2)解对数方程时，先由对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可，这样做可以避免烦琐的计算．课堂达标1．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a2解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3(lg x －lg y )＝3a ．答案 A2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a bC ．abD ．a ＋b解析 log 32＝ln 2ln 3＝ab ．答案 B3．log 510＋log 512＝________．解析 原式＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫10×12＝log 55＝1． 答案 14．log 23·log 34＝________． 解析 原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2．答案 25．计算：lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8×(lg 32－lg 2)．解 原式＝－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2×lg 24＝4． 课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．。

§4.1 对数及其运算（其次课时）一．教学目标：1．学问与技能①通过实例推导对数的运算性质，精确 地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并把握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培育同学分析、综合解决问题的力量.培育同学数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法①让同学经受并推理出对数的运算性质. ②让同学归纳整理本节所学的学问. 3. 情感、态度、和价值观让同学感觉对数运算性质的重要性，增加同学的成功感，增加学习的乐观性. 二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数学问的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具学法：同学自主推理、争辩和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程：1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log ba Nb a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷= ();mn m n mn n ma a a a ==2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m na a a +⋅=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。

于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能依据指数的性质依据以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让同学探究，争辩）假如a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+（2）log log log aa a MM N N =-（3）log log ()na a M n M n R =∈证明：（1）令,m nM a N a ==则：m n m nMa a a N -=÷=log aMm n N ∴-= 又由,m nM a N a ==log ,log a a m M n N ∴==即：log log log a a aMM N m n N -=-=（3）0,log ,N nna n N M M a ≠==时令则 log ,bna b n M M a ==则N b n na a ∴= Nb ∴=即log log log aa a MM N N =-当n =0时，明显成立.log log na a M n M ∴= 提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？例题分析 例4 计算：（1）㏒3（92×35）； （2）lg1001/5例5 用㏒a x, ㏒a y ㏒a z 表示下列各式：（1）㏒a （x 2yz ） （2）㏒a yz x 2（3）㏒z y x 2.例6科学家以里氏震级来度量地震的强度。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

对数的运算性质【教学目标】1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。

【教学重难点】1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

【教学过程】一、基础铺垫对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性。

若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M n ＝n log a M (n ∈R )；(3)log a M N ＝log a M －log a N 。

二、新知探究1．对数运算性质【例】求下列算式的值。

2log 32－log 3329＋log 38＋3log 515。

[解]原式＝log34－log3329＋log38－3log55＝log3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－3＝log39－3＝2－3＝－1． 【教师小结】对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。

2．对数运算性质的应用[探究问题]（1）已知a ＝2lg 3，b ＝3lg 2，则a ，b 的大小关系是什么？提示：∵lg a ＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2，lg b ＝lg 3lg 2＝lg 2lg 3．∴lg a ＝lg b∴a ＝B ．（2）设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值是什么？ 提示：由2a ＝5b ＝m ，取对数得a lg 2＝b lg 5＝lg m ，∴a ＝lg m lg 2，b ＝lg m lg 5，又1a ＋1b ＝2，∴lg 2lg m ＋lg 5lg m ＝2，∴lg 10lg m ＝2．∴lg m ＝12，∴m ＝1012＝10。

4．1 对数及其运算(2)导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b ＝N log a N ＝b .3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式a log a N ＝N . 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则．a m ·a n ＝a m ＋n ；a m ÷a n ＝a m －n ；(a m )n ＝a mn；m a n ＝nm a .从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道am ＝M ，a n ＝N ，a m ·a n ＝a m ＋n ，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？3在上述24你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m ·a n ＝a m ＋n ，设M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝a m ＋n ，由对数的定义得到M ＝a m m ＝log a M ，N ＝a n n ＝log a N ，MN ＝a m ＋n m ＋n ＝log a MN ，log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n ，所以m －n ＝log a M N . 又由M ＝a m ，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N，即log a M N＝log a M －log a N . 设M ＝a m ，则M n ＝(a m )n ＝a mn .由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n ＝mn .所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有log a (MN )＝log a M ＋log a N ，①log a M N＝log a M －log a N ，②log a M n ＝n log a M (n ∈R )．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．。

§4.1 对数及其运算（2）----教学设计教材分析本节内容包括对数的定义、对数式与指数式的互化、对数的运算性质．对数既是一个重要的数学概念，也是一种重要的运算，且与指数概念紧密相连，是高考考查的一个重要知识点．本节课是本节的第二课时，主要内容是对数的运算性质．本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法．在前面，我们学习了指数的运算性质和对数的概念，它是学习本节课的基础，同时本节课又是后面学习换底公式和对数函数的基础．教学目标1．知识与技能理解对数运算性质及其推导过程，能灵活运用运算性质进行对数运算.2.过程与方法经历探究、发现、证明、应用对数运算性质的过程.3.情感态度与价值观在对数运算性质的探究过程中，培养学生善于观察，勇于探索的自主学习习惯和科学的思维方法.重点难点重点：利用对数的运算性质解决相关问题.难点：对数运算性质的证明与对数的运算性质的灵活应用．教学方法与手段教学方法：探究交流、讲练结合.教学手段：多媒体辅助教学.教学过程一、问题引入1．上节课我们学习了对数的运算，前面又学习过指数的运算和指数的运算性质，那么对数是否也有类似的运算性质呢？2.请同学们完成课本80页表格3-7，猜想对数的运算性质.二、新知学习通过完成表格3-7，引导学生归纳出对数的运算性质.1．对数运算性质：如果0,1,0,0,a a M N >≠>>则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log n a a M n M =()n R ∈；（3）log log log a a a M M N N=-. 证明：（1）设log ,log a a M p N q ==,由对数的定义,得,p q a M a N ==.因为 p q p q MN a a a +==，所以log ()a p q MN +=，即 log ()log log a a a MN M N =+.(2)（3）可由学生仿照（1）证明.说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”…….②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=--是不成立的；)10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的．三、例题讲解例1．用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：(1)log a xy z ； (2)log a 解：（1）log log ()log log log log a a a a a a xy xy z x y z z=-=+-；（2）log log (log a a a x =- =a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2．计算：（1）25log 5； （2）1log 4.0； （3）)24(log 572⨯； （4）5100lg .解：（1）255log 25log 52==； （2）0.4log 10=；（3）75751422222log (42)log 4log 2log 25log 214519⨯=+=+=+=；（4）=2122lg10lg10555==． 例3．计算：(1)2(lg5)lg2lg50+⋅； (2)100lg20log 25+； (3)7lg142lg lg 7lg183-+-. 说明：此例题可讲练结合.解：(1)50lg 2lg )5(lg 2⋅+=)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+=2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ =2lg )2lg 5(lg 5lg ++=2lg 5lg +=1；(2)25log 20lg 100+=5lg 20lg +=100lg =2；(3)解法一：27lg142lg lg 7lg18lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(23)3-+-=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg7lg 22lg30=+-++--=；解法二：277lg142lg lg 7lg18lg14lg()lg 7lg1833-+-=-+-227147lg14lg()lg7lg18lg lg1073()183⨯=-+-===⨯. 评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.思考：判断下列各式是否成立，如果不成立，请举一个反例.(1)log ()log log a a a MN M N =⋅；（2）lg lg lg M M N N=； (3)log ()log log a a a M N M N +=+；(4)log ()log log a a a M N M N -=-.通过这些式子让学生加深对对数的运算性质的理解，避免出现以上错误.四、课堂练习教材第83页练习题1、2、3题．五、课堂小结由学生自主归纳在使用对数的运算性质时要注意什么问题.注意把对数的运算性质与指数的运算性质相结合记忆.六、作业必做题：课本87页A 组5、6.选做题：已知3010.02lg =，4771.03lg =，求45lg 的值.七、板书设计八、教学反思本节课的成功之处:一、问题引入比较恰当，学生通过填写表格，很容易猜想出对数的运算性质．二、选取的例题不错，题型多样，学生基本能掌握对数运算性质的应用．不足之处：一、板书要再清晰，紧凑，把每一步的过程写清楚，不能省去中间步骤，这样才能让学生看得更清楚．二、例题可通过多媒体展示，节省时间．。