六个角度判断充要条件

充要条件的判断和应用无锡市第一中学 屠莉雯在《常用逻辑用语》单元的“充分条件和必要条件”的学习中，许多同学感到比较困难，经常会判断错。

的确，充分条件和必要条件是研究命题条件与结论关系的一个重要概念，较为抽象，容易混淆，因而也是一个学习的难点。

弄懂这些知识，有助于更好的理解命题成立的条件和提高逻辑推理能力。

笔者接下来就来和同学们讨论一下如何正确判断和应用充分条件和必要条件，轻松备战高考。

一、充要条件的判断利用定义判断充分条件和必要条件的方法当然是最基本、最常规的方法。

根据定义：（1）若g p ⇒，则称p 是q 的充分条件，同时也称q 是p 的必要条件；（2）若g p ⇒且p q ⇒，则称p 是q 的充要条件；（3）若q p ⇒且q p ，则称p 是q 的充分不必要条件，也称q 是p 的必要不充分条件；（4）若pq且qp ，则称p 是q 的既不充分又不必要条件。

所以只要判断p 能否推出q 或者q 能否推出p 即可。

例1：（2007年湖北高考卷）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

则s 是q 的 条件；p 是q 的 条件。

解析：由题意，s r q p ,,,之间的关系可表示为：所以s 是q 的充要条件；p 是q 的充分不必要条件。

点评：对于条件比较多且关系复杂的问题，用推断符号“⇒”可以直观表示条件与结论之间的关系，结合条件的传递性，易于判断充分必要条件。

在利用定义判断时，当“推出”关系不易判断时，可以将判断“p 能否推出q ”转化成判断命题“若p 则q ”的真假性。

即若要确定p 是q 的充分不必要条件，只要得到命题“若p 则q ”为真，而命题“若q 则p ”为假。

其它情况可类似地处理。

这样处理有利于理清条件与结论的逻辑关系，以便化复杂问题为简单问题，更利于着手进行判断。

例2：（2006年湖南高考卷）“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的 条件。

培优课从集合的角度理解充分条件、必要条件、充要条件教科书给出了充分条件、必要条件的定义：“如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件”，大家会发现若解决每个充分(必要)条件问题都从原始定义出发，有时会让我们的思路转几个弯才能达到目的，若能转化为集合与集合之间的关系问题，用集合的观点来解决此类题目，会使问题变得简单，通俗易懂.1.依据：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.若A⊆B，就说x具有性质p，则x必具有性质q，即p⇒q.类似地，B⊆A与q⇒p等价，A＝B与p⇔q等价.2.结论：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则结论：p是q的充分条件，q是p 的必要条件；若B⊆A，则结论：q是p的充分条件，p是q的必要条件；若A＝B，则结论：p是q的充要条件.类型一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】(1)若p：－2＜x＜2，q：0≤x＜16，则p是q的________条件.(2)若p：一个四边形是平行四边形，q：一个四边形是正方形，则q是p的________条件.答案(1)既不充分也不必要(2)充分条件但不是必要解析(1)令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜16}，显然A B，且B A，∴p是q的既不充分也不必要条件.(2)显然B A，∴q是p的充分条件但不是必要条件.类型二充分条件与必要条件的应用【例2】已知p：－1≤x≤4，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分条件但不是必要条件，则实数m 的取值范围为________.答案 [3，＋∞)解析 因为p 是q 的充分条件但不是必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒p ， 即{x |－1≤x ≤4}{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－1，1＋m ＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－1，1＋m ≥4，解得m ≥3.∴m 的取值范围为[3，＋∞).类型三 充要条件的应用【例3】 设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 结合Venn 图可知，A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ；反之A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件.故选C.类型四 应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围)【例4】 (1)已知p ：x 2＋x －6＝0，q ：ax ＋1＝0(a ≠0).若p 是q 的必要条件但p 不是q 的充分条件，则实数a 的值为________.答案 －12或13解析 令A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A ＝{－3，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a . 由题意p ⇒q ，q ⇒p ，∴B A ，∴－1a ＝2或－1a ＝－3，∴a ＝－12或a ＝13.综上：a ＝－12或a ＝13.(2)已知p ：实数x 满足4a ＜x ＜a ，其中a ＜0，q ：实数x 满足－1≤x ≤4.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.解 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A ＝{x |4a ＜x ＜a }，B ＝{x |－1≤x ≤4}.由题意p ⇒q ，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a ≥－1，a ≤4，∴－14≤a ＜0.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0.尝试训练1.设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“0≤x ≤2”的________条件.答案 必要条件但不是充分解析 设A ＝{x |2－x ≥0}＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤2}，显然BA ，故填必要条件但不是充分.2.－2＜x ＜2的一个必要条件但不是充分条件的是( )A.－2≤x ≤2B.－2＜x ＜0C.0＜x ≤2D.1＜x ＜3答案 A解析 由集合关系可知选A.3.不等式3x ＋a ≥0成立的充要条件为x ≥2，求实数a 的值.解 3x ＋a ≥0化为x ≥－a3.由题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－a 3＝{x |x ≥2}，所以－a3＝2，a ＝－6.。

从集合角度看充要条件的理解湖南省武陵源一中 高飞 （高级教师） 段宏杰 邮编:427400 电话：131********充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p 的对象组成的集合为P,满足条件q 的对象组成的集合为Q.（1） 若P Q ⊆，则p 为q 的充分条件，其中当P Q 时，p 为q 的充分不必要条件； （2） 若Q P ⊆，则p 为q 的必要条件，其中当Q P 时，p 为q 的必要不充分条件；（3） 若P Q ⊆且Q P ⊆,即P=Q ，则p 为q 的充要条件；（4） 如果以上三种关系均不成立,即P 、Q 之间没有包含或相等关系(P Q ⊄且Q P ⊄），此时P Q =∅或P 、Q 既有公共元素，也有非公共元素，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件。

例1 设p: 2200x x -->,q ： 2102x x -<-,则p 是q 的（ ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件分析：先求出各个不等式的解集，再利用集合间的包含关系判断哪个选项正确。

解：对于p ： 220045x x x x -->⇒<->或，即P={}45x x x <->或，对于q ：2210(1)(2)02x x x x -<⇒--<-0(1)(1)(2)0x x x x ≥⎧⇒⎨-+->⎩或0(1)(1)(2)0x x x x <⎧⎨-+-<⎩ 012210,{2211}x x x x Q x x x x ⇒≤<><--<<=<->-<<或或或即或或显然Q P ⊂，则p 是q 的充分不必要条件，故选A 。

评注:本题考查二次不等式，分式不等式的解,以及运用集合知识判断充分、必要条件,准确理解不等式的解集是关键.例2．命题“22530x x --<”的一个充分不必要条件是（ )A 。