人教版数学九年级上册教案:第22章 二次函数 小结与复习(2)
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二次函数中的利润问题教学目标:通过探究二次函数中的利润问题,让学生经历将实际问题转化为数学问题的过程,从而掌握二次函数中利润问题的解题方法,渗透数形结合、建模、分类讨论以及方程与函数思想,提高学生解决实际问题的能力.教学重点:利用方程及函数模型解决利润问题.教学难点:实际利润问题中的自变量范围及函数值的确定.教学过程:一、复习导入问题:学校商店销售某种文具盒,若文具盒进价为20元/个,售价为x 元/个,则每个文具盒可获利 元,若每天可卖出()x 60-个,则每天的利润为 元.设计意图:从简单生活实际出发,回顾与利润有关的量之间的关系,为解决本节探究二次函数利润问题做铺垫。
二、典例探究例1 丰融超市引进一批进价为20元/件的日用商品,经过一段时间的试销发现,每件商品的销售单价x (元/件)与月售量y (件)之间满足的关系如下图:(1)求y 与x 的函数关系式;(2)设每月获得利润为w 元,当销售价为多少时,每月获得的利润最大?最大利润是多少?(3)试销期间,若物价部门规定,该商品销售单价不得高于34元/件,且不低于成本价,那么售价定为多少元,每月利润最大?最大利润是多少?设计意图:通过本例学习,让学生进一步熟练运用待定系数法求函数解析式,体会建模思想、数形结合思想和分类讨论思想在解决数学实际问题中的价值,提升学生分析和解决实际问题的能力.三、类比训练九年级某班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(190x ≤≤,且x 为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y (单位:元/件),每天的销售量为p (单位:件),每天的销售利润为w (单位:元).(1)求出w 与x 的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.设计意图:通过当堂训练,及时巩固解决二次函数利润问题的方法与技巧,提升学生解决实际问题的能力.四、巩固练习某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数,时间x (天) 1 3060 90 每天销售量p (件) 198140 80 20销售价格、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:(1)求(2)该商品应如何确定销售价格,才能使周销售利润w最大?最大值为多少?(3)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(0)m ,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.设计意图:留作课后练习,强化数学思想方法和应用意识,进一步提升学生的学科素养..五、小结反思通过本节课的学习,你在知识、技能和思想方法等方面有哪些收获?还存在哪些困惑?设计意图:通过梳理本节学习内容,积累解决二次函数实际问题的方法与经验,构建自我知识体系.六:课后作业:完成巩固练习.附板书设计:课题: 二次函数中的利润问题基本关系式: 单件利润= 总利润=思想方法: 1.待定系数法2.数学建模思想及二次函数图象与性质3.数形结合思想4.分类讨论思想。
二次函数一. 教学内容:二次函数小结与复习二. 重点、难点:1. 重点:⑴体会二次函数的意义,了解二次函数的有关概念;⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并能确定其最值;⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式;⑷利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思.2. 难点:⑴二次函数图象的平移;⑵将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.三. 知识梳理:1. 二次函数的概念及图象特征二次函数:如果,那么y叫做x的二次函数.通过配方可写成,它的图象是以直线为对称轴,以为顶点的一条抛物线.2. 二次函数的性质值函数的图象及性质>0 ⑴开口向上,并且向上无限伸展;⑵当x=时,函数有最小值;当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大.<0 ⑴开口向下,并且向下无限伸展;⑵当x=时,函数有最大值;当x<时,y随x的增大而增大;当x>时,y随x的增大而减小.3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论.4. 、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向;a>0. 开口向上;a<0,开口向下.⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置:a、b同号,对称轴(<0=在y轴的左侧;a、b异号,对称轴(>0)在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x=0)的位置:c>0,与y轴的交点在y轴的正半轴上;c=0,抛物线经过原点;c<0,与y轴的交点在y轴的负半轴上.⑷b2-4ac→决定抛物线与x轴交点的个数:①当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;②当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;③当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:⑴设一般形式:(a≠0);⑵设顶点形式:(a≠0);⑶设交点式:(a≠0).6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例1. 二次函数y=-x2+2x-1通过向(左、右)平移个单位,再向___________(上、下)平移个单位,便可得到二次函数y=-x2的图象.例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示,则下列5个代数式:ab,ac,a-b+c,b2-4ac,2a+b 中,值大于0的个数有()A. 5B. 4C. 3D. 2例3. 如图,抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴交于A、B两点,且OA:OB=3:1,则m的值为()A. -B. 0C. -或0D. 1例4. 已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,求m的值.例5. 已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.例6. 如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4. 9m,AB=10m,BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆高为4m,宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部,AO、BC为壁)例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾,空军某部奉命赶赴灾区空投物资。
二次函数中的三角形面积问题教案《二次函数中的三角形面积问题教案》这是优秀的教学设计文章,希望可以对您的学习工作中带来帮助!作业内容二次函数中的三角形面积问题教案球溪高级中学郭燕教学目标知识与技能1.复习巩固二次函数的性质;2.通过观察分析,能够概括总结出二次函数中三角形面积问题的基本类型;3.能够用直接法和割补法求二次函数中的三角形面积;过程与方法在求面积的过程中,体会数形结合和转化思想在二次函数三角形面积问题中的应用。
情感态度与价值观5.进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心6.在转化,建模的过程中,体验解决问题的方法,培养学生合作交流意识和探索精神。
二、教学重难点重点:直接法和割补法(铅垂法)求二次函数中的三角形面积问题;难点:二次函数中三角形面积的最值问题。
三、教学过程【复习旧知】1.已知二次函数,请用五点法在方格纸上画出草图,并结合图像尽可能多地写出你认为正确的结论。
师生活动:学生作图,思考,发言;教师总结二次函数的性质可从开口方向,顶点,与坐标轴的交点,对称轴,最值,增减性,对称性等方面研究。
设计意图:复习巩固五点法作二次函数草图,同时简单回顾二次函数的性质。
【问题探究】若二次函数与x轴交于A,B两点(B在A的左边),与y轴交于点C,顶点为点D。
【问题1】:任意连接ABCDO五点中的三个点,能组成哪些三角形?师生活动:学生思考后举手口答。
设计意图:引入今天的复习课内容——二次函数中的三角形面积问题。
【追问1】:在这四个三角形中,哪些三角形的面积比较好求,请写下来。
【追问2】:这些三角形面积为什么相对容易求解?——有一边在坐标轴上。
师生活动:学生思考求解,并积极发言,同时观察分析,总结规律。
设计意图:会利用公式直接计算至少有一边在坐标轴上的三角形面积。
【追问3】:若二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称点为点E,你能求出和的面积吗?【追问4】:这两个三角形面积为什么也相对容易求解?——有一边平行于坐标轴。
第26章 《二次函数》小结与复习(1)教学目标:理解二次函数的概念,掌握二次函数y =ax2的图象与性质;会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向,能较熟练地由抛物线y =ax2经过适当平移得到y =a(x -h)2+k 的图象。
重点难点:1.重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,根据图象概括二次函数y =ax2图象的性质。
2.难点:二次函数图象的平移。
教学过程:一、结合例题精析,强化练习,剖析知识点1.二次函数的概念,二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象性质。
例:已知函数4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的m 值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
教师精析点评,二次函数的一般式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)。
强调a ≠0.而常数b 、c 可以为0,当b ,c 同时为0时,抛物线为y =ax 2(a ≠0)。
此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y 轴,即直线x =0。
(1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数,则m 2+m -4=2,且m +2≠0,即:m 2+m -4=2,m +2≠0,解得;m =2或m =-3,m ≠-2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m +2>0, (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m +2<0。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
强化练习;已知函数mm 2x)1m (y ++=是二次函数,其图象开口方向向下,则m =_____,顶点为_____,当x_____0时,y 随x 的增大而增大,当x_____0时,y 随x 的增大而减小。
第二十四课时教学内容:小结与复习。
(P50-51)教学目标:1、抛物线与一元二次方程的结合与应用;2、利用二次函数解决实际问题。
教学重点难点:重点:二次函数的图象与性质及运用二次函数解决实际问题。
难点:二次函数与一元二次方程的结合与应用。
教学准备:投影仪、投影片。
教学过程:一、复习引入:(出示投影1)学生交流讨论下列问题:1、二次函数的解析式有哪几种表示形式?2、二次函数的图象是怎样的?3、二次函数有哪些性质?4、怎样画二次函数的图象?5、怎样建立二次函数模型?为什么要建立二次函数模型?学生逐一回答上述问题,重点讨论第5个问题,学生讨论后教师引导学生归纳并板书:(1)从实际问题建立二次函数模型,可以用于:①优化问题,即求二次函数何时达到最大(或最小)值;②已知自变量的取值,求函数值;③已知函数值,求自变量的对应值;特别地,求抛物线与X轴的交点的横坐标。
这些可通过解一元二次方程解决,但是要注意检查方程是否符合实际问题的要求。
(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的解的近似值,它是图象与x的交点的横坐标。
二、例题讲解:(出示投影2)补充例1 某幢建筑物,从10 m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直,如图5,如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面m,求水流落地点B离墙的距离。
教师引导学生分析后,学生独立解答。
(出示投影3)补充例2 某乡镇企业现在年产值是15万元,如果每增加100元投资,一年增加250元产值,求总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系式。
教师引导学生分析后,学生独立解答。
(出示投影4)补充例3 一次函数y=-2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B,若AC∶CB=1∶2,那么,求这个二次函数顶点坐标。
教师引导学生分析后,学生独立解答。
(出示投影5)补充例4 求抛物线y=9x2+12x+4与x的交点的横坐标。
第2章 复习与小结(2)江苏省靖江第一高级中学 宋锦芳教学目标:1.掌握圆锥曲线的统一定义;2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质;3.会求一些简单的曲线的轨迹方程.教学重点:圆锥曲线的统一定义及曲线方程的求法.教学难点:圆锥曲线的统一定义及曲线方程的求法.教学方法:启发引导.教学过程:一、 复习1.圆锥曲线的统一定义是什么?2.椭圆、双曲线、抛物线的准线方程分别是什么?3.求曲线方程的步骤有哪些?方法有哪些?二、基础练习1.已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 点到另一个焦点的距离为 ;2.如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍,那么这个椭圆的离心率为 ;3.若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2,则双曲线22221x y a b-=的离心率是 ;4.抛物线216y x =-的准线方程为 ; 5.抛物线顶点在原点,焦点在y 轴上,其上一点P (m ,1)到焦点距离为5,则抛物线方程为 .三、例题讲解例1 根据下列条件判断方程22194x y k k+=--表示什么曲线: ()14k < ()249k <<例 2 已知点P 是椭圆221259x y +=上一点,F 1和F 2是椭圆的焦点,()()()01212012121212190,260,3,F PF F PF F PF F PF F PF F PF θ∠=∆∠=∆∠=∆若求的面积;若求的面积;若求的面积.变式1:若将椭圆改为双曲线呢?变式2:已知F 1,F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1MF 2=60°.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.例3 已知圆C 1的方程为:()()2220213x y -+-=,椭圆C 2的方程为: ()222210x y a b a b+=>>,C 2的离心率为2,若C 1与C 2相交于A ,B 两点,且线段AB 恰好为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.226910x y x +--= 相内切,求△ABC 面积的最大值.(2)在(1)的条件下,给定点P (-2,2), 求53PA AB +的最小值. (3)在(2)的条件下求|P A |+|AB | 的最小值. 例5 已知ABC ∆的两个顶点A ,B 坐标分别是(5,0)-,(5,0),且AC ,BC 所在直线的斜率之积等于m (0)m ≠,试探求顶点C 的轨迹.四、巩固练习1. 方程 2213sin(2)4x y πα-=+ 表示椭圆,则α的取值范围是___________; 2.抛物线y 2=2x 上到直线x -y +3=0的距离最短的点的坐标为_________;3. 椭圆221123x y +=的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的 倍;4. 设直线:l x =A ),动点P 到直线l 的距离为d ,且2PAd =.求动点P 的轨迹方程. 五、课后作业1.如果方程22112x y m m+=--表示双曲线,则实数m 的取值范围是 ; 2.一个椭圆的离心率12e =,准线方程是x =4,对应的焦点F (2,0),则椭圆的方程是 ; 3.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB |长是 ;4.如图,已知OA 是双曲线的实半轴,OB 是虚半轴,F 为焦点,且S △ABF =(162-,∠BAO =30°,则双曲线的方程为__________________ ;5.已知圆C 过双曲线 221916x y +=的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_ __.6.以抛物线 ()220y px p =>的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴位置关系为7.已知点A (-,设F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,M 为椭圆上一动点, (1) 求|AM |+2|MF |的最小值,并求出此时点M 的坐标.(2) 求MF 的最大值和最小值;(3) 设左焦点为F 1,求1MF MF ⋅的最大值.。
教学时间课题 《二次函数》小结与复习(3) 课型 新授课 教学目标 知 识和能 力 1.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
过 程 方 法 情 感态 度价值观教学重点利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。
教学难点将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策。
教学准备 教师 多媒体课件学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图一、例题精析,引导学法,指导建模1.何时获得最大利润问题。
例:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销 售,区政府对该花木产品每投资x 万元,所获利润为P=-150(x -30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x 万元可获利润Q=-4950(50-x)2+1945(50-x)+308万元。
(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动:投影给出题目后,让学生先自主分析,小组进行讨论。
教师活动:在学生分析、讨论过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析:(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-150 (x -30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M 1=10×10=100万元。
教学时间 课题 《二次函数》小结与复习(2) 课型 新授课
教
学
目
标
知 识 和 能 力 会用待定系数法求二次函数的解析式,能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,能
较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合
题。
过 程 和 方 法
情 感 态 度 价值观
教学重点 用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
教学难点 会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、例题精析,强化练习,剖析知识点 用待定系数法确定二次函数解析式. 例:根据下列条件,求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。 (2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。 (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。 (4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。学生活动:学生小组讨论,并让学生阐述解题方法。 教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2) 强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。 (1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
二、知识点串联,综合应用
例:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经
过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标,
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
学生活动:学生先自主分析,然后小组讨论交流。教师归纳:
(1)求抛物线解析式,只要求出A、B,C三点坐标即可,设y=x2-2x-3。
(2)抛物线的顶点可用配方法求出,顶点为(1,-4)。
(3)由|0B|=|OC|=3 又OM⊥BC。
所以,OM平分∠BOC
设M(x,-x)代入y=x2-2x-3 解得x=1±132
因为M在第四象限:∴M(1+132,1-132 )
题后反思:此题为二次函数与一次函数的交叉问题,涉及到了用待定系数法求函数
解析式,用配方法求抛物线的顶点坐标;等腰三角形三线合一等性质应用,求M点
坐标
时应考虑M点所在象限的符号特征,抓住点M在抛物线上,从而可求M的求标。
强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一
个交点。
(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
三、课堂小结
1.投影:让学生完成下表:
2.归纳二次函数三种解析式的实际应用。