高中数学教学论文 怎样判断和证明有关充要条件问题 苏教版选修2-1

充分条件和必要条件2【教学目标】1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；【教学重点】理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．【教学难点】命题条件的充要性探求（较高要求）．【教学过程】一、复习回顾一般地，如果已知p q⇒，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件练习：1．若,A B都是的充要条件，D是A的必要条件，B是D的必要条件，则D是C的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的条件，A⌝是B⌝的条件3．（1）若:1,:4p x q x>≥，则p是q的条件；（2）若4,2,::4,2,x y xp qxy y+>>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩则q是p的条件；二、讲授新课例 1 如图，在三棱锥S ABC-中，SA Sb SC==，求证：222AC BC AB+=的充要条件是平面SAB⊥平面ABC．A例 2 当且仅当m 取什么整数值时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=和2244450x mx m m -+--=的根都是整数．例3 求关于x 的方程2(1)(2)40()m x m x m R -++-=∈有两个正根的充要条件．练习1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=三、课堂小结1．掌握充要条件的判断,必须正确理解“推出”的含义．“p ⇒q ”是指由p 经过推理可以得出q ,也就是说“若p 成立,则q 一定成立”,即命题“若p 则q ”为真．2．充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p 则q ”的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”、“谁是结论”,防止南辕北辙．如“A 是B 的什么条件”中,A 是条件,B 是结论,而“A 的什么条件是B ”中,A 是结论,B 是条件．3．充要条件的判断,有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若⌝p ⇒⌝q ,则p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件．另外还可以利用集合关系进行解释．记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B,若A ⊆B,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件． 四、课后作业：1．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒ A ＞30°．∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件．答案：B2．若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________．解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6． 答案：必要不充分条件 3．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立．如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0．因此应选A ．答案：A4．在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）． 答案：C5． “m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 (B)（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件6．设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （D ） A ． l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,,7．p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥。

【关键字】数学1.1.2充分条件和必要条件课题 1.1.2充分条件和必要条件第 1 课时计划上课日期：教学目标知识与技能1．理解充分条件、必要条件的意义；2．会判断所给的条件是充分条件还是必要条件．过程与方法问题链导学，讲练结合情感态度与价值观教学重难点充分条件、必要条件和充要条件的判断．教学流程\内容\板书关键点拨加工润色一、问题情境例如，（1）x＝y⇒x2＝y2，但是x2＝y2x＝y；（2）x2＞1 x＞1，但是x＞1⇒x2＞1；（3）两个三角形相似⇒两个三角形对应角相等．反之，两个三角形对应角相等⇒两个三角形相似．思考：上述命题中，条件与结论有什么关系？二、学生活动1．讨论老师提出的问题，举手发言；2．列举数学中的类似实例；3．分析、概括各种实例的共同特征．三、建构数学一般地，如果p⇒q，那么称p是q 的充分条件，同时称q是p 的必要条件；如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称为充要条件，记作p⇔q；如果p⇒q且q p，那么称p是q的充分不必要条件；如果p q且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件；如果p q且q p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．四、数学运用例1 指出下列命题中，p是q的什么条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）（1）p：x－1＝0，q：（x－1）（x＋2）＝0；（2）p：两直线平行，q：内错角相等；（3）p：a＞b，q：a2＞b2；（4）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．例2 从“⇒”、“”、“⇔”中选择适当的符号填空．（1）x2＞1 x＞1 ．（2）a，b都是偶数 a＋b是偶数．（3）n是2的倍数n是4的倍数．例3 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空．（1）“a＝b”是“2a＝2b”的．（2）“ln a＝ln b”是“a＝b”的．（3）“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线”的．（4）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“l⊥α”的．五、要点归纳与方法小结1．如何理解充分条件和必要条件的概念；2．如何理解充分条件和必要条件的关系．教学心得此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

充分条件与必要条件知识集结知识元充分条件、必要条件、充要条件知识讲解1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．例题精讲充分条件、必要条件、充要条件例1.若a>0，b>0，则“a+b<4”是“ab<4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例2.不等式成立的一个充分不必要条件是（）B．x>1A．C．0<x<1 D．x<0例3.若a>0，b>0，则“a+b≤8”是“ab≤16”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件当堂练习单选题练习1.已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习2.已知p：|x-m|<1，q：x2-8x+12<0，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．（3，5）B．[3，5]C．（-∞，3）∪（5，+∞）D．（-∞，3]∪（5，+∞）练习3.“a3>b3”是“log7a>log7b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习4.已知函数f（x）=（x2+a2x+1）e x，则“函数f（x）在x=-1处取得极小值”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习5.“a<-1”是“∃x0∈R，a sin x0+1<0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件填空题练习1.已知集合A={x|<2x<8，x∈R}，B={x|-1<x<m+1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解答题练习1.'已知p：x2-7x+10<0，q：x2-4mx+3m2<0，其中m>0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．'练习2.'设p：实数x满足x2-（3a+1）x+2a2+a<0，q：实数x满足|x-3|<1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a>0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．'练习3.'已知命题p：关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，命题q：1-m≤x≤1+m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．'。

充分条件和必要条件〔2〕教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.教学重点：命题条件的充要性的正确判断．教学难点：充分性与必要性的推导证明．教学过程一．问题情境1．情境：一般地，如果p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件二．学生活动练习：⑴“a b c >>〞是“()()()0a b b c c a ---<〞的 充分不必要 条件． ⑵假设a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使,a b 不都为0的充分条件是①②⑤．三．建构数学1．充要条件：如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

我们就说，p 和q 互为的充要条件。

说明：⑴符号“⇔〞叫做等价符号.“p q ⇔〞表示“p q ⇒且p q ⇐〞；也表示“p 等价于q 〞.⑵“充要条件〞有时还可以改用“当且仅当〞来表示，其中“当〞表示“充分〞，“仅当〞表示“必要〞.2.充要条件的判断方法：四种“条件〞的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件〔方法有：直接证法或间接证法〕； ⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性p q ⇒，必要性q p ⇒这两个方面，缺一不可。

四．数学运用1．例题：例1．假设M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，那么M是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性解：由题意可知：M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件例2．求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化解：由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或例3．p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，某某数m 的取值X 围．解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，那么p 是q 的充分不必要条件 于是有12101m m-≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥例4．求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q <分析：首先要区分清楚“必要性〞、“充分性〞各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。