2019考研数学二真题及答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个
选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）
A 、 1.
B 、2.
C 、 3.
D 、 4.
选：C .
点拨：因为 3
tan ~3
x x x --，所以3k =，选 C .
2、曲线3sin 2cos y x x x x π
π⎛
⎫
=+<<
⎪⎝⎭
－２
２的拐点是（ ） A 、,
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
２２. 选：C .
点拨：cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）
A 、0
x
xe dx +∞
-⎰
. B 、 2
x xe dx +∞
-⎰
. C 、 2
tan 1arx x
dx x +∞
+⎰
. D 、
2
1x
dx x +∞
+⎰
. 选：D .
点拨：A 、0000
1x x x x xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞
+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；
B 、2
220011
22
x x xe
dx e dx +∞
+∞--==⎰⎰，收敛；
C 、22
200
tan 1arctan 128
arx x dx x x π+∞
+∞==+⎰
，收敛； D 、22220
00
111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞
+∞
+∞=+=+=+∞++⎰
⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则
,,a b c 依次为（ ）
A 、 1,0,1.
B 、 1,0,2.
C 、2,1,3.
D 、
2,1,4.
选：D.
点拨： 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，
所以2,1a b == 。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。故选D 。
5、已知积分区域(),2
D x y x y π⎧⎫
=+≤⎨⎬⎩
⎭
，1D
I =
，2sin D
I =⎰⎰，
(
31D
I dxdy =-⎰⎰，则（ ）
A 、321I I I <<.
B 、 213I I I <<.
C 、123I I I <<.
D 、
231I I I <<.
选：A .
点拨：比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 2x y π
+≤，可得 2
2
2
2x y π⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭
【画图发现2x y π+≤包含在圆2
222x y π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
的内部】
，令u =，则 02u π≤≤，于是有 sin u u >，
从而D
D
>⎰⎰。
令()1cos sin f u u u =--，则()sin cos f u u u '=-，()04
f π'=。()f u 在0,4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内
单调减少，
在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增加，又因为(0)()02f f π==，故在0,2π
⎛⎫
⎪⎝⎭
内()0f u <，即
1cos sin u u -<，
从而(1D
D
dxdy >-⎰⎰⎰⎰。综上，选A 。 6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2
()()
lim
0()x a f x g x x a →-=-是
两条曲线()y f x =，
()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A 、充分非必要条件.
B 、充分必要条件.
C 、必要非充分条件.
D 、既非充分也非必要条件.
选：A .
点拨：充分性：利用洛必达法则，由2
()()
lim
0()
x a
f x
g x x a →-=-可得 ()()
lim
02()x a
f x
g x x a →''-=-及()()lim
02
x a f x g x →''''-=， 进而推出 ()()f a g a =，()()f a g a ''=，()()f a g a ''''=。由此可知两曲线在x a =处有相同切线，且由曲率公式3
22
[1()]
y K y ''='+可知曲线在x a =处
曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线()y f x =，()y g x =在x a =处相切，可得()()f a g a =，
()()f a g a ''=；
由曲率相等
33222
2
()()[1(())]
[1(())]
f a
g a f a g a ''''=
''++，可知()()f a g a ''''=或
()()f a g a ''''=-。
当()()f a g a ''''=-时，所求极限
2()()()()()()
lim
lim lim ()()2()2
x a
x a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--，而()f a ''未必等于0，因此必要性不一定成立。故选A 。
7、设A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则
*()r A =（ ）。
A 、0.
B 、 1.
C 、2.
D 、3.
选：A .
点拨：因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，，所以4()2r A -=，从而()241r A =≤-， 则*()r A =0，故选 A 。
