加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：31专题4 三角函数解三角形 含答案

训练目标 (1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形.训练题型(1)正弦定理、余弦定理及其应用；(2)三角形面积；(3)三角形形状判断；(4)解三角形的综合应用.解题策略(1)解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程(组)；(2)对已知两边和其中一边的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况；(3)判断三角形形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系.1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A ＝________.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S ＝________.3．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 的形状为________三角形．4．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________.5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则c ＝________.6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2，BC →·BA →＝12，则tan B ＝________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________.8．锐角三角形的内角分别是A 、B 、C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .9．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝________.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 的形状为________三角形．11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________ m.12．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos A ＝csin C ，则A ＝________.13．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________． 14．(2015·江淮名校联考)已知点G 为△ABC 的重心，且AG →⊥BG →，若1tan A ＋1tan B ＝2λtan C ，则实数λ＝________.答案解析1．45°解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知BC <AB ，得A <C ，所以A ＝45°. 2.152解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 3．等腰直角解析 由正弦定理得sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，又sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，两式相除，得1＝tan B ＝tan C ，所以B ＝C ＝45°，所以A ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形． 4.31010解析 由题意得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2＋9－62·22＝5，即AC ＝5，则BC sin A ＝AC sin B ，3sin A ＝522，得sin A ＝31010. 5.6±22解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64，∴c ＝b ·sin Csin B ＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， ∴c ＝b ·sin C sin B ＝6－22.6．2－ 3解析 由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，再由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12 ，∴tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2＝2－32×12＝2－ 3.7.π4解析 因为S ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(2bc cos A )＝12bc cos A ，且S ＝12bc sin A ，所以sin A ＝cos A ，所以tan A ＝1，所以A ＝π4.8．①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴A >π2－B ，且A ，π2－B ∈(0，π2)，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，故③成立． 9. 6解析 ∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∵sin(A ＋B )＝32，又sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ∈(0，π2)，C ＝π3.∴根据余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6， ∴c ＝6(负值舍去)． 10．钝角解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(B ＋A )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0， 所以cos B sin A <0，又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角， 故△ABC 是钝角三角形． 11．507解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连结OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有 OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)． 12.π4解析 令csin C ＝k ，由正弦定理，得a ＝k sin A ，c ＝k sin C .代入已知条件得sin A cos A ＝sin C sin C ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.13.78解析 设顶角为C ，因为l ＝5c ，且a ＝b ＝2c ， ∴C 为最小角，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.14.14 解析如图，连结CG 并延长，交AB 于点D ，由G 为△ABC 的重心，知D 为AB 的中点， ∵AG ⊥BG ，∴DG ＝12AB ，由重心的性质得，CD ＝3DG ，即CD ＝32AB ，由余弦定理AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ， BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ， ∵∠ADC ＋∠BDC ＝π，AD ＝BD ， ∴AC 2＋BC 2＝2AD 2＋2CD 2， ∴AC 2＋BC 2＝12AB 2＋92AB 2＝5AB 2，又1tan A ＋1tan B ＝2λtan C， ∴cos A sin A ＋cos B sin B ＝2λcos C sin C， ∴λ＝(sin A cos B ＋cos A sin B )sin C 2sin A sin B cos C ＝sin 2C 2sin A sin B cos C ＝AB 22BC ·AC ·cos C＝AB 2BC 2＋AC 2－AB 2＝AB 25AB 2－AB 2＝14， 即λ＝14.。