高数竞赛讲稿
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空间解析几何
一、向量
{,,},{,,},{,,}x y z x z x y z a a a b b b c c c ===a b c
x x y y z z
a b a b a b ⋅=++a b
x
y z x
y
z
a a a
b b b ⨯=i
j k a b []()x
y z x
y z x
y
z
a a a
b b b
c c c =⨯⋅=abc a b c
二、平面与直线方程 1. 平面点法式
点 0000(,,)M x y z ， 法向量 {,,}A B C =n , 方程为 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= 0Ax By Cz D ⇒+++= （一般式方程） 2. 直线点向式方程
点 0000(,,)M x y z ， 法向量 {,,}m n p =l , 方程为
00
0x x y y z z
m n p
---== 3． 直线一般式方程
1111
222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 1
112
2
2
A B C A B C =i
j k l 4. 过直线 111122220
A x
B y
C z
D L A x B y C z D +++=⎧⎨
+++=⎩：的平面束方程为
11112222+=0A x B y C z D A x B y C z D λ++++++（） 三、常见曲面的名称与方程 1. 柱面（母线平行于坐标轴）
,)0,(,)0,(,)
F x y H y z
G x z ===（
2. 球面、椭球面
222
2222
222
,
1x y z x y z R
a b c ++=++= 3. 单叶（双叶）双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、锥面（自己总结）
四、旋转曲面
平面内曲线绕面内定直线旋转： :(,)0l f y z =
绕Z 轴
法则：确定曲面上点(,,)M x y z 所满足条件，
设 (,,)M x y z 由曲线上的点000(,,)N x y z 旋转而成，则
0222000(,)0
z z x y y f x y =⎧⎪+=⎨⎪=⎩
→
(,)0f z =
例1 曲面 ∑由直线段
:,,,[0,1]2222
L x y z t t =
-=+=∈ 绕Z 轴旋转而成，求此曲面的直角坐标方程。
例 求直线1
:11
z l x y --==
- 在平面:210x y z π-+-=上的投影直线的方程，并求该投影直线绕Y 轴旋转一周而成旋转曲面的方程。
例 曲面∑
是由半支双曲线0
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩:l x y z ==旋转而成的曲面，求该曲面的
直角坐标方程，并求原点到该曲面的最短距离。
例 设,a b →
→
是三维空间中的两个非零常向量，1,,3b a b π
∧→
→→⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭
，
求0
lim
x a x b a
x
→
→→
→+-
例 求两直线1223
::1y x y x L L z x z x
==+⎧⎧⎨⎨
=+=⎩⎩ 之间的最短距离。
微分方程
一、 几种特殊类型的微分方程的求解方法 1. 可分离变量的微分方程
()(
)()()
dy
y h x g y h x dx g y '=⇒= 两边积分，可得通解 ()()G y H x C =+
2. 一阶线性方程
()()y p x y Q x '+=
通解 ()()[()]p x dx p x dx
y e Q x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰
3. 齐次方程
()dy y
dx x ϕ= 解法 令 y
u x
= ， 代入方程后得
()du u x x dx
ϕ+=
这是关于 u 的可分离变量方程，解出 (,,)0F x u C = 通解为 (,,)0y F x C x
= 4. 可降阶的二阶方程的求解方法
（1）(,)y f x y '''= 令 (,)y p p f x p ''=⇒
=
利用一阶方程的求解方法解出 1(,,)0x p C φ=，即 1(,,)0x y C φ'=
（2）(,)y f y y '''=， 令 =dp dp dy dp
y p y p p dx dy dx dy
''''=⇒==
=， 将原方程化成
(,)dp
p
f y p dy
= 利用一阶方程求解方法解出 1(,,)0y p C ϕ=， 即 1(,,)0y y C ϕ'=
二、二阶常系数线性微分方程求解
y p y q y '''+⋅+⋅= 齐次方程 ()y p y q y f x '''+⋅+⋅= 非齐次方程
1. 12(),()y x y x 是齐次方程的两个解，1122()()C y x C y x ⇒+也是齐次方程的解
2. 12(),()y x y x 是齐次方程的两个线性无关的解，1122()()C y x C y x ⇒+是其通解
3. ()Y x 是齐次方程通解，*()y x 是非齐次方程的一个特解，则 *()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解
例 求微分方程2(1)(arctan )0y dx x y dy ++-=的通解。
例 求微分方程 2
2(),(1)0dy x x y dx y =+= 的特解
例 求微分方程 22
(1)[(1)]0y y dx x y x y dy ++++= 的通解
例 1
1,,2,x
x
x
y y e y e y e π
====+
都是某个二阶常系数齐次线性微分方程的解，求此微分方程。
例 22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+- 是某个二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。
例 ()()()y p
x y q x y f x '''++=有三个解：
2
123,,x
x
x
x x y e y e e y e e -==+=+， 求此微分方程。
例 123(),(),()y x y x y x 都是12()()()y p x y p x y q x '''++=的解， 12(),(),()p x p x q x 为已知函数，且
2132()()
()()
y x y x y x y x -≠-常数 ，求证：
1211223(1)()()()y C C y x C y x C y x =--++
是给定微分方程的通解，其中12,C C 为任意常数。
例 已知微分方程
22
3
(6)(8)0y x y d x x
x y d y
+++= 的两边同乘以3()y f x 后是全微分方程，试求可导函数()f x ，并求出微分方程通解。
例 求微分方程通解：
2(ln )0x x y x y y '''-+=。
例 求微分方程的通解：
2322c o s (45)
x x
y y y e x e x -'''-+=⋅++。
