注重基础考查 凸显能力立意——2012年新课标全国高考数学试卷评析

2012年高考数学试卷评析暨2013年高考备考建议（理数）李玉强2012年6月24日2012年高考数学试卷评析暨2013年高考备考建议辉县市高级中学李玉强一、2012年高考数学试卷评析：1.试卷总体评价2012年是我省课改高考第二年，本年我省高考数学试卷的命制稳中有变，试卷重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，体现教学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性。

试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索。

总体而言，2012年高考数学试卷是一份很有质量且有一定特色的试卷。

2.试卷主要特点：（1）结构合理而鲜活。

既考查了主干，又考查了新增。

函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计仍是试卷的主要考查内容；算法、三视图、正态分布等题的设计，充分体现了“考新知识”的命题模式；还有几道题目是老知识新考法，可谓“老树新花”。

如：集合题目与组合知识综合，而不是简单地考查集合运算；复数题目与命题综合，考查更全面，很有新意；概率统计题目以贴近生活的出售玫瑰花为背景，且答案不唯一、不死板，更为开放、新颖，更为注重考查学生的能力；解析几何与2011年一样仍为抛物线，改变了传统的考查椭圆的模式（近四年来都以考抛物线为主，这一点应特别注意）。

（2）全面考查，重点突出。

对知识点较单一的内容，考查较全面。

如：复数、排列组合、概率统计、线性规划、程序框图、三视图等，都有专门考查，对核心概念，主干知识的考查仍为重点，如：函数、导数、不等式、数列、三角、解析几何和立体几何等。

部分题目综合程度加深，如：数列、反函数、不等式的求解（恒成立）、极坐标与参数方程等内容的考查向纵深发展。

（3）对数学方法、数学能力、数学思想的考查充分而到位。

数学方法：坐标法、换元法、转化法、定义法、割补法、赋值法等。

数学能力：空间想象能力(7、16、19)推理论证能力（12、16、19、22）抽象概括能力（1、6、10、11、15）运算求解能力（2、3、4、5、8、13、14、17、20、23、24）数据处理能力（15、18、20）数学思想：函数与方程思想、数形结合、分类与整合、特殊与一般、化归与转化。

2012年的江西省高考数学（理科）试卷难度较大2012年的高考是江西省实施新的课程标准后的第二次高考。

由于以前《大纲》版的江西省的高考数学试题较其他省份略显偏难，因此，今年我省的高考数学试卷的难易更加引起各方面的关注。

通过对今年我省数学高考试卷的分析，我感到今年的江西高考数学试卷在命制中，本试卷的知识覆盖面广，基本把每个知识点都涉及到。

题目数量、难度安排适宜，题目立意新颖，试卷难、中、易比例恰当。

达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。

分析下来，整套试卷难度较大，与去年江西高考卷难度相当。

选择题中第1~5题比较简单，第6题考查学生的归纳能力，第8题是一个应用性问题，第9题是以新增的概率统计为素材的比较大小题，但要求学生熟悉公式的变形推导，方可解决。

第10题图形题是江西试卷的一大特点，并一直延续下来了。

要解答好这类题目，需要学生有一定数学思维和判断分析能力。

填空题考生容易下手，其中第15题延续了去年的模式，是对选修的考查，基本上是一学就会的题。

而今年的填空题比选择题的第6题到第10题易拿分。

只要学生细心，一般不容易失分。

解答题第16、17题只要学生运算细心，基本上能顺利拿下，第18题是以立几体积计算为背景的古典概型题，要求学生有较强计数能力。

第19题立几题回归到往年的中档题位置，传统方法，向量法都容易解决。

第20题解析几何第1问学生容易拿分，第2问是开放性问题，要求学生有较强的运算能力和计算技巧及很强的推理能力才可得到最终结论的题。

第21题是定义型的题，比较抽象，要求学生有很强的理解能力和扎实的基本功，相对较难一点，但没有偏难题。

2012年的高考数学（文科）试卷覆盖面广难易有层次今年文科数学总体难度与去年基本持平。

从知识点分布看，试题覆盖面很大，在新课标所要求的各知识系列中基本上都有试题。

在全面考查的前提下，重点考查了高中数学知识的主干内容，如函数与导数、三角函数、数列、立体几何、圆锥曲线等仍是支撑整份试卷的主体内容。

2012年高考数学（湖北卷）试题分析与反思年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。

今年是湖北省高考自主命题第九年，又是告别传统高考、实施新高考的第一年。

在“平稳过渡，无缝对接”的指导思想下，今年湖北卷继续贯彻“坚持稳定为主，注重基础考查，突出能力立意，着力内容创新”的命题指导思想，以新课改为契机，在试卷的内容和题型等方面进行了调整，较好地处理了基础与发展、继承与创新的关系，将学科知识和能力融为一体，全面检测考生的学科素养，稳步推进新课程改革和中学素质教育，有力发挥高考甄别选拔的测试功能。

一．试卷总体评价2012年湖北高考数学试题坚持“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，充分体现“以能力立意”的指导思想，符合《考试说明》的各项要求，适合湖北省考生的实际水平，保持了命题的连续性、稳定性、创新性。

应该说2012年湖北省高考数学试题总体平稳，试题源于教材而又高于教材，注重数学思维，凸显数学味和突出数学的应用性, 多角度、多视点、多层次地考查了数学思维与思想。

很好地考查了数学的基本知识、基本技能、基本方法，强调知识和能力的综合。

同时2012年高考数学试题有适当的创新，体现“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念，有利于进一步推进数学新课程改革，对中学数学的教与学有很好的导向作用。

二、试卷考点内容及难度评估(考试说明要求难度在0.4~0.7)表1：理科试卷考点内容统计难度评估内容统计代数几何三角、向量选做题整卷考点内容集合逻辑函数计数原理统计概率算法框图导数应用数列推理不等式复数运算立体几何解析几何函数恒等变换解三角形向量运算平几选讲参数坐标题序 29513820123227186221 4101914211711171516分值1010175191019522221251255难度题序选择题填空题171819202122全卷难度估计0．740．660.780.750.650.640.300.220.596表2：文科试卷考点内容统计难度评估内容统计代数几何三角、向量整卷考点内容集合逻辑函数统计概率算法框图导数应用数列推理不等式复数运算立体几何解析几何三角函数三角变换解三角形向量运算题序 1436210111613227172091412151952118813分值221751922552222 1255难度题序选择题填空题18192021 22 全卷难度估计0．780．620.760.680.560.240.160.542三、试卷特点评析1、突出新增内容，强化主干知识试卷紧扣《考试说明》，整体把握高中数学课程，基础与能力并重，稳定与创新兼顾。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y B x y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ）（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10【答案】：D【解析】：由题意得，当5x =时，4,3,2,1y =共4中情形；当4x =时，3,2,1y =共3种情形；当3x =时，2,1y =共2种情形；当2x =时，1y =共1种情形，共计10种可能，所以集合B 中的元素个数为10个，故选D.【点评】：本题考查了集合的运算性质，属于中低挡试题，关键在于准确把握试题的条件，正确、合理分类求解.(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种【答案】：A【解析】：由题意得，先由甲地选1名教师2名学生，剩余的1名教师2名学生去乙地，则有122412C C =种不同的安排方法，故选A.【点评】：本题考查了排列组合的相关知识，属于中低档试题，准确把握题意是解题的关键.（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： P 1:|z|=2, P 2:z 2=2i,P 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1，其中的真命题为（ ）（A ）p 2,p 3 (B)P 1,P 2 (C)P 2,P 4 (D)P 3,P 4【答案】：C【解析】：由题意得，22(1)112i z i i --===---+，则z =22(1)2z i i =--=， 1z i =-+，复数z 的虚部为1-，所以24,p p 是正确的，故选C.【点评】：本题考查了复数的基本概念和复数运算，正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键，属于中低挡试题，解题时需认真、细致.（4）设12F F 是椭圆E ：2222(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45【答案】：C【解析】：由题意得（如图所示）0122120F F P MF P ∠=⇒∠ 在直角2MF P ∆中，02sin60PM PF =， 又232F M a c =-，且02tan 6022PM F M a c a c ==⇒-- 所以34c e a ==，故选C. 【点评】：本题考查了圆锥曲线的几何性质——离心率的计算，正确把握条件是解题的关键.（5）已知{}n a 为等比数列，332a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7【答案】：D【解析】：由题意，根据等比数列的性质得56478a a a a ==-，又472a a +=，设47,a a 是方程2280x x --=的两根，则解得44772,4,4; 2.a a a a =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 解得1107a a +=-，故选D.【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质，属于中低档试题.（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出A,B,则（A ）A+B 为12,,...,n a a a 的和（B ）2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】：C【解析】：由题意，根据给定的程序框图可知，此程序框图是计算123,,,,N a a a a 的最大值与最小值的算法框图，A 表示计算123,,,,N a a a a 最大值，B 表示计算123,,,,N a a a a 的最小值，故选C.【点评】：本题考查了程序框图的相关知识，正确理解算法框图是解决此类问题的关键.（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9（C ）12 （D ）18【答案】：B【解析】：由题意得，根据三视图的规则，原几何体表示底面为直角边长为腰直角三角形，高为3的三棱锥，所以几何体的体积为11139332V Sh ==⨯⨯=，故选B. 【点评】：本题考查了三视图的相关知识，根据三视图的规则得到原几何体的线面关系及度量关系，从而计算几何体的体积与表面积.（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，AB =，则C 的实轴长为（A （B ）（C ）4 （D ）8【答案】：C 【解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为22221x y a a-=，又抛物线216y x =的准线方程为4x =-.代入双曲线的方程得2216y a y =-⇒==解得2a =，所以双曲线的实轴长为24a =，故选C.【点评】：本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识，计算相交弦长，确定圆锥曲线的几何性质.（9）已知ω >0,函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围是 15A.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13B.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1C.0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D (].0,2 【答案】：A【解析】：由题意得，函数()sin()4f x x πω=+的单调递减区间为3242x πππω≤+≤, 则544x ππω≤≤，所以544x ππωω≤≤，则5424ππππωω≤≥且，解得1524ω≤≤. 故选A.【点评】：本题考查了三角函数的性质，体现了三角函数性质的整体代换思想，属于中档试题，需细心认真求解.(10) 已知函数f(x)= 1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图像大致为【答案】：B【解析】：由题意得，函数()f x 的定义域为10,100,x x x x +>⎧⇒>-≠⎨≠⎩且， 令()()1ln(1)111x g x x x g x x x -'=+-⇒=-=++， 当()100x g x '-<<⇒>，()00x g x '>⇒<，则()f x 在区间()1,0-为单调递增函数，在区间()0,+∞为单调递减函数，所以()f x 的图象大致为B ，故选B.【点评】：本题考查了函数的性质，利用函数的性质选择函数的图象，属于中档试题.（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）(A)6(C)3(D)2 【答案】：A【解析】：由题意得，ABC ∆的边长为1，所以1AO =， 在直角1AOO ∆中，1AO =，所以1OO =，所以三棱锥S ABC -的高h =，所以几何体的体积为211133436V Sh ==⨯⨯=，故选A. 【点评】：本题考查了组合体的性质，根据三棱锥与球的组合体，计算三棱锥的度量关系，本题属于中档试题，需认真把握几何体的线面关系和度量关系.（12）设点P 在曲线y=12e x 上，点 Q 在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 （A ） 1-ln2 （Bln 2)- （C ）1+ln2 （D【答案】：B【解析】：由题意得，函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称， 又1122x x y e y e '=⇒=，令11ln 2y x '=⇒=，1ln(2)y x y x '=⇒=，令211y x '=⇒=， 则121ln2x x -=-，所以PQln 2)-，故选B.【点评】：本题考查了互为反函数两函数之间的关系，同时考查了利用导数处理函数的性质，本题有一定的技巧性，属于中高档试题，需要细致审题，认真梳理条件.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知向量a,b 夹角为450，且|a|=1，则|b|= .【答案】：【解析】：由题意得，2222024444cos 45a b a a b b a b b -=-⋅+=-⋅+ ，则2044cos 4510a b b b -⋅+=⇒= 【点评】：本题考查了平面向量的数量积与向量的模的相关知识，属于中低档试题.(14) 设x,y 满足约束条件1,3,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y 的取值范围为 . 【答案】：[]3,3-【解析】：由题意得，画出实数,x y 满足约束条件所表示的可行域，当取可行域内点()3,0A 时，目标函数2z x y =-取得最大值，最大值为3，当取可行域内点()1,2B 时，目标函数2z x y =-取得最小值，最小值为3-，所以目标函数2z x y =-的取值范围为[]3,3-.【点评】：本题考查了利用线性规划求最值的知识，正确画出可行域，移动目标函数到边界认真计算最值是解题的关键.（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （100，,5），且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【答案】：38【解析】：由题意得，三个电子元件的使用寿命服从正态分布2(1000,50)N ，则每个元件的寿命超过1000小时的概率均为12，则元件1和2超过1000小时的概率为1131224-⨯=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为313428⨯=. 【点评】：本题考查了相互独立事件发生的概率及对立事件的应用，体现了概率的计算方法，认真审题时解好概率问题的关键.（16）数列{}n a 满足1(1)n n n a a ++-=2n-1，则的前60项和为 .【答案】：1830【解析】：由题意，由1(1)21n n n a a n ++-=-,得21(1)21n n n a a n ++=-++=1(1)[(1)21]21n n n a n n ---+-++(1)(21)21n n a n n =-+--++,即2(1)(21)21n n n a a n n ++=--++,也有31(1)(21)23n n n a a n n +++=--+++,两式相加得1232(1)44n n n n n a a a a n ++++++=--++.设k 为整数，则41414243442(1)4(41)41610k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+, 于是1414604142434400()(1610)1830k k k k k k S aa a a k ++++===+++=+=∑∑. 【点评】：本题考查了数列的求和，采用两项并为一项的形式求解，属于中高档试题，把握数列问题的规律是解题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边cos 0a C C b c --=.(1) 求A ；(2) 若a=2,△ABC b,c.【命题立意】：本题主要考查了解三角形的相关知识，先利用正弦定理把条件做到边角的统一，得到A 、C 的关系，求解角A ，然后利用三角形的面积公式求解三角形的面积.【点评】：本题主要考查了通过将三角形中边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理与余弦定理，求解三角形中的问题，试题整体上比较稳定，思路比较容易.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ｉ）看花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式.（ＩＩ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题.首先要理解事件的具体情况，然后对事件的情况分析、讨论，并结合概率求解结论，利用期望的数据对解决方案作出合理的预测.【点评】：首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况.（19）（本小题满分12分） 如图，之三棱柱1111,1,2ABC A B C AC BC AA -==中D 是棱1AA 的中点，1,DC BD ⊥ (Ｉ)证明：11DC BC ⊥;（ＩＩ）求二面角11A BD C --的大小.【命题立意】：本题中体现了证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明的基本方法以及求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成.【点评】：该题考查空间内的垂直关系的证明、空间角的计算.考查定理的理解和运用，空间向量的运用.同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解题时要注意法向量的计算和运用这一关键.（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的交点为F ，准线为L ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交L 于B ，D 两点.（I ）若90,BFD ABD ∠= 的面积为P 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B,F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点m ，n 距离的比值.【命题意图】：本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离.【点评】：本题考查了抛物线与圆的结合点，并且在第二问中体现了分类讨论的数学思想方法，对学生的深度思维有一定的考查.（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （I ） 求()f x 的解析式及单调区间；（II ） 若21(),2f x x ax b ≥++求(1)a b +的最大值. 【命题立意】：本试题考查了导数在研究函数中的运用，求解单调区间，另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的应用.是看导数的符号的实质不变，求解单调区间；第二问中，运用构造函数的思想是一个难点，解决这类问题的关键在于找到函数的导数，利用导数证明，转化为函数的最值问题.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF AB，证明：（I ） CD=BC ；（II ） △BCD ∽△GBD.【命题立意】：利用圆的性质，运用相似三角形与圆、四边形等的性质及关系计算.【点评】：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质.注意把握判定与性质的作用.(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,(3sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是=2ρ，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为23π（，）. （I ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； （II ） 设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围. 【命题立意】：本题考查曲线的参数方程与极坐标方程与直角坐标的普通方程之间的相互转化，以及极坐标方程的应用.【点评】：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x - 2|.(I)当a = -3时，求不等式f(x) ≥3的解集；(II)若f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.【命题立意】：求解含有绝对值的不等式，采用零点分段法，去掉绝对值求解，已知不等式的解集中含有字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的范围.【点评】：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性.。