甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(理)专题训练：选择填空限时练(六)Word版含答案

甘肃武威市第六中学2014届高三第四次月考数学（理）试题（本试卷共3页，大题3个，小题22个。

答案要求写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1. 若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．13 C.32 D.132．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π33．已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．104．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.125．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1 B.n ＋1nC ．n 2D ．n6．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A.3JB.233JC.433J D ．23J7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶38．函数f (x )＝log 2x 2的图象的大致形状是( )9．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a10. P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点12．设f (x )是定义在R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．14．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．16．在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S 9＝S 12，则当n 等于________时，S n 取得最小值．武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（四）数 学（理）答题 卡一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13． ． 14． ． 15． ． 16． ． 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．18. 在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有121+=+n nn a a a ．(1）证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； (2)求数列}{1+n n a a 的前n 项和n T19.已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．20．已知a 是实数,函数2()()f x x x a =-.(Ⅰ)若(1)3f '=,求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[]2,0上的最大值.21．已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .22. 设函数f(x)=21xe x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， - - - - - - - - - - - - -9分 ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，- - - - - - - - - - - - -10分 当cos A ＝0时，∵0＜A ＜π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． - - - - - - - - - - - - -12分19. 【解】 (1)∵m ·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝1，即32sin x 2＋12 cos x 2＋12＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.- - - - - - - - - - - - -- - 3分∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 - - - - - - - - - - - - -- - 4分 ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝2·⎝⎛⎭⎫122－1＝－12. - - - - - - - - - - - - -- - 6分20. 【答案】(Ⅰ)()232f x x ax '=-,由'(1)3f =易得a =0,从而可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为320.x y --= - - - - - - - - - - - - -- - 5分(Ⅱ令'()0f x =,得1220,3ax x ==.当20,3a≤即0a ≤时,()f x 在[0,2]上单调递增, max ()(2)84f x f a ==-； 当22,3a≥即3a ≥时,()f x 在[0,2]上单调递减, max ()(0)0f x f ==; - - -9分 当202,3a <<即03a <<时,()f x 在2[0,]3a 上单调递减,在2[,2]3a上单调递增,函数f (x )(0≤ x ≤2)的最大值只可能在x =0或x =2处取到,因为f (0) =0,f (2)=8-4a ,令f (2) ≥ f (0),得a ≤ 2,所以max84,02;()0,2 3.a a f x a -<≤⎧=⎨<<⎩- - - - - - - - - - - - -- - 11分 综上,max84,2;()0, 2.a a f x a -≤⎧=⎨>⎩- - - - - - - - - - - - -- - 12分 21.【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1. - - - - - - - - - - - -- - 3分 又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝13，当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)．∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，∴b n ＝b 1q n －1＝13n . - - - - - - - - - - - - -- - 6分(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，∴T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② - - - - - - - - - - - - -- - 9分 ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1，整理得T n ＝1－n ＋13n . - - - - - - - - - - - - -- - 12分。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(四)文(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，那么A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}答案 B2． 复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，因此在复平面上对应的点位于第二象限，选B. 3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 由α＝2k π－π4(k ∈Z )可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k ∈Z )，应选A.4． 一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是( )A ．112B ．80C ．72D ．64答案 B解析 依题意得，该几何体的下半部份是一个棱长为4的正方体，上半部份是一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥，故该几何体的体积为43＋13×4×4×3＝80.应选B. 5． 将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采纳系统抽样的方式抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( ) A ．20,15,15 B ．20,16,14 C ．12,14,16D ．21,15,14答案 B解析 依照系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .第353号被抽到，因此第二营区应有16人，因此三个营区被抽中的人数为20,16,14.6． 要取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要取得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即取得y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7． 设数列{a n }是等差数列，假设a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝28.8． 某程序的框图如下图，那么运行该程序后输出的B 值是( )A ．5B ．11C ．23D ．47答案 C解析 第一次循环：B ＝2×2＋1＝5，A ＝4； 第二次循环：B ＝2×5＋1＝11，A ＝5； 第三次循环：B ＝2×11＋1＝23，A ＝6； 第四次循环：输出B ＝23，选C.9． 已知概念在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如下图，那么以下表达正确的选项是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析 依照函数f (x )的特点图象可得：f (c )>f (b )>f (a )．10．假设实数x ，y 知足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22答案 C解析 可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.11．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，∵|BC |＝2|BF |， ∴由抛物线的概念可知∠BCD ＝30°， |AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，∴p ＝|FF ′|＝12|EA |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x .12．已知函数y ＝f (x )是概念在R 上且以3为周期的奇函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，那么函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，f (x )＝－f (－x )＝－ln(x 2＋x ＋1)；则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32上有3个零点(在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32上有2个零点)．依照函数周期性，可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92上也有3个零点，在⎝ ⎛⎦⎥⎤92，6上有2个零点．故函数f (x )在区间[0,6]上一共有7个零点． 二、填空题13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，那么该实数x 知足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________．答案 29解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为29.14．向量a ＝(－1,1)在向量b ＝(3,4)方向上的投影为________．答案 15解析 设向量a ＝(－1,1)与b ＝(3,4)的夹角为θ，那么向量a 在向量b 方向上的投影为|a |·cos θ＝a ·b|b |＝－1，1·3，432＋42＝15. 15．抛物线y ＝2x 2的准线方程是________．答案 y ＝－18解析 由题意知：抛物线的开口方向向上，且2p ＝12，因此准线方程为y ＝－18.16．下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，那么使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”； ④假设函数f (x )是概念在R 上的奇函数，那么f (x ＋4)＝f (x )，那么f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0.。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(六)文(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的 倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －yx ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1，又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1，所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC .又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ，又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF .又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n .(2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n(1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *， 故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

甘肃省武威市某某区2014届高三数学下学期第一次诊断考试试题理 新人教B 版一．选择题:〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.〕1.假设非空集合A={x|2135a x a +≤≤-},B={x|3≤x ≤22},如此能使A ⊆B,成立的实数a 的集合是A.{a|6≤a ≤9} B ．{a|1≤a ≤9} C ．{a|a ≤9} D ．∅2.设1z i =+(i 是虚数单位),如此22z z+= A ．1i --B ．1i +C ．1i -D ．1i -+3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,6,2105==S S ,如此=++++2019181716a a a a a A ．54B ．48C ．32D ．164.：b a ,均为正数，241=+ba ，如此使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是 9.,2A ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(]1,0C ．(]9,∞-D ．(]8,∞-5．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为A ．9B ．10C ．45D ．55 6.假设()0210=+⎰dx mx x，如此实数的值为A ．31-B ．32- C ．1- D ．2- 7．假设x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－y －≤＋－≥如此x ＋2y 的最大值为A ．132B ．6C ．11D ．10 8．某几何体的三视图如下列图，如此它的侧面积为 A ．24 B ．242C ． 125 D ．1239、函数)sin()(ϕω+=x A x f 〔0,>ωA 〕的图象如右图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图象，可以将)(x f 的图象 A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移125π个单位长度C.向左平移12π个单位长度 D.向左平移125π个单位长度10．如下函数中，在(0,)2π上有零点的函数是A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =-D ．22()sin f x x x π=-11 ．假设抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,如此点P 的坐标为 A ．12(,)44±B ．12(,)84± C ．12(,)44D ．12(,)8412．双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F,假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,如此此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2]B ．(1,2)C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)第2卷(90分)二、填空题:〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分〕 13．在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20092007220092007S S -=,如此数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是__________｡14．点O 为ABC ∆的外心，且2,4==AB AC ,如此=•BC AO ____________． 15．圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=6,如此圆C 的方程为___________.16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．假设AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，如此球O 的外表积为____________．三、解答题：〔本大题共6小题，总分为70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〕 17.(此题总分为12分)函数()R x x x x f ∈-+-=,cos 21)322cos()(2π． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；〔2〕ABC ∆的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，假设3(),1,22B f b =-=3,c = 且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 18．〔本小题总分为12分〕为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进展百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ) 设,x y 表示样本中两个学生的百米测试成绩，[)[],13,1417,18x y ∈求事件“2x y ->〞的概率；〔Ⅱ〕 根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用一样的达标标准,如此男女生达标情况如附表 ：附表:根据附表数据，请通过计算说明能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关〞？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.〔本小题共12分〕如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿的位置，使得AD C B '⊥． ⑴求证：AD AC '⊥；⑵假设，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．20．〔本小题总分为12分〕圆心为F 1的圆的方程为22(2)32x y ＋＋＝，F 2〔2，0〕，C 是圆F 1上的动点，F 2C 的垂直平分线交F 1C 于M ． 〔1〕求动点M 的轨迹方程；〔2〕设N 〔0，2〕，过点P 〔－1，－2〕作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．21. 〔本小题总分为12分〕函数()1ln f x a x x=+〔a 为参数〕 〔1〕假设1a =，求函数()f x 单调区间； 〔2〕当(]0,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分性别是否达标男女合计达标 24a = b =___ _____ 不达标 c =___ 12d = _____合计____________50n =DCBA NMCA C ′22．〔本小题总分为10分〕如图,AB 是⊙O 的直径,弦BD 、CA 的延长线相交于点E,EF 垂直BA 的延长线于点F. 求证:(1)DFA DEA ∠=∠;(2)AB 2=BE •BD-AE •AC.23.直线l 的参数方程为〔t 为参数〕，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值．24．〔本小题总分为10分〕设关于x 的不等式2log (|||4|)x x a +-> (1)当3a =时,解这个不等式;(2)假设不等式解集为R ,求a 的取值范围;某某区2014届高三年级第一次诊断考试数 学 试 卷〔理〕答案一、选择题 ABDAD BCCBD BC 二、填空题 13．1+n n 14.6 15.()18122=++y x 16. 16π………………6分∵0πC <<，∴π3C =或2π3。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 D解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.2．已知z1－i＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i答案 A解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．4．若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400答案 B解析∵{1b n}为“调和数列”，∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，b4＋b6＝20，b4·b6≤100.5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()A ．0B ．2 012C ．2 011D ．1答案 D解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C的一条渐近线，则C 的方程为 ( )A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝1 答案 A解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴ab＝2，① 4a 2－1b 2＝1；②解得a 2＝2，b 2＝1.选A.7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )答案 C解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.8． (2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种答案 D解析 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种， 所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是 ( )A.2B.2C ．2 2D ．1－2 答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1，所表示的平面区域D 的面积为2π，区域D 内曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为 S ＝ʃ5π4π4(sin x －cos x )d x ＝22，概率P ＝2π. 11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)答案 C解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π， 1)D ．(π，10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根， 需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －2－ 3解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝12.故sin α＝32，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概率是________． 答案2332解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×3242＝2332. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案 75% 71解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(五)理、(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 假设集合A ＝{x |0≤x ＋3≤8}，B ＝{x |x 2－3x －4>0}，那么A ∩B 等于( )A ．{x |－3≤x <－1或4<x ≤5}B ．{x |－3≤x <4}C ．{x |－1<x ≤5}D ．{x |－1<x <4} 答案 A解析 A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |x <－1或x >4}，由数轴可知A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或4<x ≤5}． 2． 复数z ＝4－3i1－2i的虚部是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 C解析 z ＝4－3i1－2i＝4－3i 1＋2i1－2i1＋2i ＝4＋8i －3i ＋65＝2＋i.3． 甲、乙两组数据的茎叶图如下图，那么甲、乙两组数据的中位数依次是( )A ．83,83B ．85,84C ．84,84D ．84,83.5 答案 D解析 甲组数据的中位数是84，乙组数据的中位数是83.5. 4． 函数y ＝2|log 2x |的图象大致是( )答案 C解析 当log 2x ≥0，即x ≥1时，f (x )＝2log 2x ＝x ； 当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x.因此函数图象在0<x <1时为反比例函数y ＝1x的图象，在x ≥1时为一次函数y ＝x 的图象． 5． 已知a >b >1，c <0，给出以下四个结论：①c a >cb；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )；④b a －c >a b －c .其中所有正确结论的序号是 ( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 a >b >1⇒1a <1b，又c <0，故c a >cb，故①正确；由c <0知，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，故a c <b c .故②正确． 由已知得a －c >b －c >1. 故log b (a －c )>log b (b －c )．由a >b >1得0<log a (b －c )<log b (b －c )， 故log b (a －c )>log a (b －c )．故③正确．6． 已知双曲线x 225－y 29＝1的左支上一点M 到右核心F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，那么|ON |等于( )A ．4B ．2C ．1D.23答案 A解析 设双曲线左核心为F 1，由双曲线的概念知， |MF 2|－|MF 1|＝2a ，即18－|MF 1|＝10， 因此|MF 1|＝8.又ON 为△MF 1F 2的中位线， 因此|ON |＝12|MF 1|＝4，因此选A.7． 如下图的程序框图，输出的S 的值为( )A.12B ．2C ．－1D ．－12答案 A解析 k ＝1时，S ＝2， k ＝2时，S ＝12，k ＝3时，S ＝－1， k ＝4，S ＝2，……因此S 是以3为周期的循环． 故当k ＝2 012时，S ＝12.8． 假设由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0n >0y ≥0确信的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，那么实数m 的值为( )A.3B ．－33C.52 D ．－73答案 B解析 依照题意，三角形的外接圆的圆心在x 轴上， 那么直线x ＝my ＋n 与直线x －3y ＝0垂直，∴1m×13＝－1， 即m ＝－33.9． 假设(4x ＋1x)n 的展开式中各项系数之和为125，那么展开式的常数项为( )A ．－27B ．－48C ．27D ．48答案 D解析 令x ＝1，可得(4x ＋1x)n 的展开式中各项系数之和为5n ＝125，因此n ＝3，那么二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(4x )3－r ·x －r ＝C r 343－r x 3－3r2， 令3－3r 2＝0，得r ＝1，故二项展开式的常数项为C 13×42＝48.10．某研究性学习小组有4名同窗要在同一天的上、下午到实验室做A 、B 、C 、D 、E 五个实验，每位同窗上、下午各做一个实验，且不重复．假设上午不能做D 实验，下午不能做E 实验，其余实验都各做一个，那么不同的安排方式共有 ( )A ．144种B ．192种C ．216种D ．264种答案 D解析 依题意，上午要做的实验是A 、B 、C 、E ，下午要做的实验是A 、B 、C 、D ，且上午做了A 、B 、C 实验的同窗下午再也不做相同的实验．先安排上午，从4位同窗中任选一人做E 实验，其余三人别离做A 、B 、C 实验，有C 14·A 33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E 实验的同窗下午选D 实验，另三位同窗对A 、B 、C 实验错位排列，有2种方式；②上午选E 实验的同窗下午选A 、B 、C 三个实验之一，另外三位从剩下的两个实验和D 实验当选，但必需与上午的实验项目错开，有C 13×3＝9种方式．于是，不同的安排方式共有24×(2＋9)＝264种．应选D.11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部份图象如下图，则ω的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由图可知函数的最大值为2， 故A ＝2，由f (0)＝2可得sin φ＝22， 而|φ|<π2，故φ＝π4；再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ12＋π4＝1， 故ωπ12＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即ω＝24k ＋3(k ∈Z )． 又T 4>π12，即T >π3， 故0<ω<6，故ω＝3.12．已知函数f (x )的概念域为[－1,5]，部份对应值如下表：x －1 0 4 5 f (x )1221f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下图．以下关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③若是当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ①显然错误；③容易造成错觉，t max ＝5； ④错误，f (2)的不确信阻碍了正确性；②正确， 可有f ′(x )<0取得． 二、填空题13．假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，那么该圆的标准方程是________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆心坐标为(a ，b )，那么|b |＝1且|4a －3b |5＝1.又b >0，故b ＝1，由|4a －3|＝5得a ＝－12(圆心在第一象限，舍去)或a ＝2，故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1. 14．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．答案 {x |x ≥1}解析 由|x ＋1|－|x －3|≥0得|x ＋1|≥|x －3|， 两边平方得x 2＋2x ＋1≥x 2－6x ＋9，即8x ≥8. 解得x ≥1，因此原不等式的解集为{x |x ≥1}． 15．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M .(1)知足∠AMB >90°的概率为________； (2)知足∠AMB >135°的概率为________． 答案 (1)π8 (2)π－28解析 (1)以AB 为直径作圆，当M 在圆与正方形重合形成的半圆内时，∠AMB >90°，因此概率为P ＝π24＝π8.(2)在边AB 的垂直平分线上，正方形ABCD 外部取点O ，使OA ＝2，以O 为圆心，OA 为半径作圆，当点M 位于正方形与圆重合形成的弓形内时，∠AMB >135°，故所求概率P ＝π4×22－12×2×14＝π－28.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝ 22，1＋tan A tan B ＝2cb，那么C ＝________. 答案 45°解析 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得，cos A ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得，23sin A ＝22sin C ，∴sin C ＝22.又c <a ，∴C <60°，∴C ＝45°.。

甘肃省武威市第六中学2014届高三上学期第五次月考数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i ii z (1)1(2+-=为虚数单位)的虚部为（ ）A ．1 B. -1 C. 1± D. 02．已知全集U=R ，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A ，函数y=22+x 的值域为集合B ，则A∩(C U B)= （ ）A ．[1,2]B ．[1, 2)C ．(1,2]D ．(1,2)3. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么（ ）A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ” 是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4.在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（ ） A. 1 B.2 C ．3 D ．05．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++= 上,其中0mn >,则12m n+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．146.5OA 1,OB 3,AOB 6π==∠=，点C 在∠AOB 外且OB OC 0.∙=设实数,m n 满足OC mOA nOB =+，则mn等于（ ）A ．2BC ．-2D ．7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A．23π B.8π3 C．4 3 D.16π38．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B. 12C.13D. 14D.1ln 2+10.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ） A ．()x x f x e e -=+ B ． 5()15x f x nx -=+ C ．()tan 2xf x = D ．3()4f x x x =+ 11．设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+014y 2x 0,8y x 0,192y x 所表示的平面区域为M ，使函数y=a x (a>0, a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1, 3]B ．[2, 10]C ．[2, 9]D ．[10, 9]12.给出下列四个结论：①“22ab>”是 “22log log a b >”的充要条件;②命题“若m >0，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0≤m ”； ③函数(4)ln(2)()3x x f x x --=-只有1个零点。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(六)理(推荐时刻：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)假设tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)． 在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sinπ4＝|OA |sin B ，即|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，因此sin θ＝45，cos θ＝－35.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－1225.2． 如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC . (1)求证：MB ⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BB 1－C 的余弦值．(1)证明 ∵侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°， ∴△A 1BB 1为正三角形，又∵点M 为A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 1， ∵AB ∥A 1B 1，∴BM ⊥AB ，由已知MB ⊥AC ， 又AC ∩AB ＝A ，∴MB ⊥平面ABC . (2)解 如图成立空间直角坐标系， 设菱形ABB 1A 1边长为2， 得B 1(0，－1，3)，A (0,2,0)，C (3，1,0)，A 1(0,1，3)．则BA 1→＝(0,1，3)，BA →＝(0,2,0)，BB 1→＝(0，－1，3)，BC →＝(3，1,0)．设面ABB 1A 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1⊥BA →，n 1⊥BA →1得，⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＝0，y 1＋3z 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1,0,0)．设面BB 1C 1C 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 2⊥BB 1→，n 2⊥BC →得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＋3z 2＝0，3x 2＋y 2＝0.令y 2＝3，得n 2＝(－1，3，1)， 得cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－11·5＝－55.又二面角A 1－BB 1－C 为锐角， 因此所求二面角的余弦值为55.3． 某班体育课进行篮球投篮竞赛，竞赛规那么如下：每位同窗有4次投篮机遇，其中一次在三分线外投篮，投中得3分，不中不得分，其余3次在罚球线外投篮，每投中一次得1分，不中不得分，已知某位同窗在三分线外投篮命中的概率为12，且在竞赛中得6分的概率为427.(1)求该同窗在罚球线外投篮命中的概率；(2)求该同窗参加竞赛所得分数X 的散布列及数学期望．解 (1)设该同窗在罚球线外投篮命中的概率为p ，在竞赛中得6分需4次投篮全中，那么12·p 3＝427， 解得p ＝23.(2)X 的可能取值有0,1,2,3,4,5,6， 则P (X ＝0)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝154； P (X ＝1)＝12·C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19； P (X ＝2)＝12·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝29； P (X ＝3)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝16； P (X ＝4)＝12·C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19； P (X ＝5)＝12·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝29； P (X ＝6)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 因此所求散布列为X 0 1 2 3 4 5 6 P154 1929161929427 数学期望E (X )＝0×154＋1×19＋2×29＋3×16＋4×19＋5×29＋6×427＝72.4． 已知等比数列{a n }知足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2a 3＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＋q 2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4， ②由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.那么a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n＝2n ＋log212n＝2n －n ，因此S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝21－2n1－2－n 1＋n2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 因此2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，。

武威市第六中学2014届高三第一次月考数 学（理）一．选择题 （ 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}．那么集合A ∩(∁U B )等于( )．A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2.命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥RB.2,240x x x ∃∈-+>RC.2,240x x x ∀∉-+≤RD. 2,240x x x ∃∉-+>R 3.函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,04．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ） A ．1y x=-B ．2lg(4)y x =-C ． ||e x y =D ．cos y x = 5.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是 （ ）A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a6.设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列命题中，真命题的是 （ ） A ．0x R ∃∈，0xe ＜0 B ．x R ∀∈，22xx > C ．“a ＋b ＝0”的充要条件是“ab＝－1” D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1“的充分条件8.函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的范围是 （ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B. )1,21[ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,859.对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(4,0)-B ．(4,0]-C ．[4,0]-D ．[4,0)-10．若函数)22(],1,0[)1(-+x f x f 则的定义域为的定义域为 （ ）A ．[0，1]B ．]2,3[log 2C ． ]3log ,1[2D ．[1，2]11．已知函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x 则时-=∈的值为 （ ）A ．53B ．58C ．83-D ．3512.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图1所示，则函数()x g x a b =+的图象是图2中的 （ ）二．填空题 （ 本大题共4小题; 每小题5分，共20分）13.定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的x 的取值范围是 .14．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则()0x f x < 的解集是________． 15．已知幂函数f (x )＝mm x42-的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上递减，则整数m的值是 ．16．若不等式112<++<-c bx ax 的解集为()3,1-，则实数a 的取值范围是 .武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷数学（理）答题卡一．选择题 （ 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．）二．填空题 （ 本大题共4小题; 每小题5分，共20分） 13． ． 14. . 15． ． 16． . 三．解答题 （ 本大题共6小题， 共70分．按题目要求写出解答过程．）17. (本小题满分10分) 已知一次函数()()23122+-+-=m m x m x f ，若()x f 是减函数，且()01=f .（1）求m 的值； （2）若()21x x f ≥+，求x 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x xB ,{}a x a xC <<-=5|. （1）求B A ,()A B R ð; （2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知命题:p 对]1,1[-∈∀m ，不等式83522+≥--m a a 恒成立；命题:q x ∃R ∈,使不等式022<++ax x 成立;若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围.20.(本小题满分12分) 解关于x 的不等式()0112<++-x a ax ．21. (本小题满分12分)已知定义在()()+∞-∞-,11,U 上的奇函数满足： ①()13=f ； ②对任意的2>x 均有()0f x >；③对任意的0,0>>y x ，均有()()()111f x f y f xy +++=+． （1）求()2f 的值； （2）证明()x f 在()+∞,1上为增函数22. (本小题满分12分)(1) 已知函数()x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对一切R x ∈均成立，求证：()x f 是偶函数(2) 设奇函数()x f 的定义域为R ，且()()x f x f =+4，当[]6,4∈x 时，()12+=x x f ，求()x f 在区间［－2，0］上的表达式．9．(20分) 解关于x 的不等式x 2-（a+a 2）x+a 3＞0（a ∈R ）.9.解：原不等式可变形为（x-a ）（x-a 2）＞0， 方程（x-a ）（x-a 2）=0的两个根为x 1=a ，x 2=a 2. 当a ＜0时，有a ＜a 2，∴ x ＜a 或x ＞a 2， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，∴ x ＜a 2或x ＞a ， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a ＞1时，有a 2＞a ，∴ x ＜a 或x ＞a 2，此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a =0时，有x ≠0，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a =1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}. 综上可知：当a ＜0或a ＞1时， 原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a =1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.10．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f (x )＋f (－x )2x <0的解集为( )． A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)13．函数y =的定义域为 __________． 14．不等式x －1x 2－x －30>0的解集是______________．16．已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 。

⑴本试卷分an 卷｛逢捧迺、flwi 【卷t 菲遶择題,两部対.满分 已対』脣试时间 ⑹対种.（2?s 题桩，母生先格自比雄唯碧证号砂a 写満漆； （3 > SJW 总阿注 页頤 0” 和TS > T®SS ；t 专> |旻持卡面港卷，不鼻折歪，不要轟頤.弄蛤> 了谁儈用涂改At SiJifiTJ .第I 卷（选择题才共60分）一、选择题：本丈题共強他 每小题厅分.共60分.在每水题给出的四个选项中.丈有一项是符&题目娈求的-l.GSnM 合B = (x\y = h(l-J ；'))t ^iAf]B=( )A (Q2]氐〔V 厂DUQ+Q C,[-1F 1)a ㈠0UCQ2)4.下列判断错误的是（A. “ am 2 ：：bm 2 ”是“B. 命题“ -x • R,x 3 -x 2C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 £小襦昭懸琴如盘軀目的刃窮內ITS.柑岀吾匹^1 _ J3i 2.已知复数z=A.1 C.4 D.3 .已知等比数列｛a n ｝的公比为正数，且a 5 a ? =4a 2，a 2 =1 叵C •丘21 4则 a i =()a <b ”的充分不必要条件-1乞0”的否定是“ x R,x 3 -2x -1 0C 3,4 ,D 4,5，则y与x之间的回归直线方程为（）开始输入pA . y=x1B . y=x2C . y =2x 1D . y=x-16.执行如图所示的程序框图，若输出的 k=5，则输入的整数p 的 最大值为() A. 7B. 15C. 31D. 637 .已知 x = log 23— log 2 3, y = log 0.5 n , z = 0.9 -1.1，则()A. x v y v z B . z v y v x C. y v z v x D . y v x v z12 .已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1) = 1,且f (x )的导数f '(x )在R 上恒有f ' (x )1x21v 2,则不等式f (x 2) v - + 2的解集为(二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位 置)2 28 .已知双曲线乂 打=a bF 1F 2在F 1P 上的投影的大小恰好为Ff 且它们的夹角为二，则双曲线的离心率e 为() _厂 6A .21B .31C. 3 12a ■ 0,b ■ 0)的左,右焦点是F1, F2,设P 是双曲线右支上一点,9.设实数x,y 满足约束条件:B .3123x - y - 6 兰 0x - y •2 _ 0，若目标函数 x _0,y _0z = ax by(a 0,b 0)的32最大值为12,则3- 2的最小值为(a bA. 4B. 2C.D.210 . 一个几何体的三视图如图所示, 的外接球的表面积为( )8兀A.B.其中正视图是正三角形，则几何体16 48二 335 211.若(2x-3)5 =a ° a 〔x a^2 ()C.3 34:pxa 3x a 4x A.8B. -1C. 10D.164 D.35，则 a ' 2a 2 3a 3 ■ 4a 4 ■ 5a 5 等于A . (1 , +0)B . ( —O , — 1) C.(—1, 1) D . ( —3— 1) U (1 , +OO第口卷非选择题(共 90 分)13.已知等差数列｛a n｝的公差为正数，且a3 • a?=—12, a4 + a6= —4,则S2。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13. (3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(二)理(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，那么用阴影部份表示A ∩B 正确的选项是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，应选A.2． i 为虚数单位，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝ ( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1. 3． 设{a n }是等比数列，那么“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，假设a 1<a 2<a 3，那么q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，因此数列{a n }为递增数列；反之，假设数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，因此a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．应选C.4． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，那么|a ＋2b |的值为( )A.3B ．23C ．4D ．12答案 B解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×c os 60°＋4＝12， 因此|a ＋2b |＝23.5． 已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，那么函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x2， 记g (x )＝2x 3＋ln x －1，那么函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0， 函数g (x )在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0， e －2<x 0<1，g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln－xx，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环，i ＝1，a ＝2； 第二次循环，i ＝2，a ＝5； 第三次循环，i ＝3，a ＝16； 第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7． 设函数f (x )和g (x )别离是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项别离为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立． 8． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的核心为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos∠AFB 等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 方式一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方式二 由方式一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos∠AFB ＝FA →·FB→|FA →|·|FB →|＝3×0＋4×－25×2＝－45.9． 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，假设点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，那么OA →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性计划问题． 10．已知一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.65π cm 3B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析 由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)． 11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如下图．为了取得g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，能够将f (x )的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析 由图象知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点A ，那么点A落在区域D 内的概率是( )A.4π2 B.4π3 C.2π2 D.2π3答案 B解析 结合图形可得，D 区域面积为2ʃπ0sin x d x ＝2⎝⎛⎭⎫|－cos x π0＝4，由几何概型可得概率为4π·π2＝4π3.二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案 －142解析 将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142.14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，那么m ＝________.答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0. 因此a m ＝2，那么S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，因此m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，假设对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>2恒成立，那么a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞) 解析 由k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2知f ′(x )＝a x＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.因此a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且知足AP →＝2PM →，那么AP →·(PB →＋PC →)＝________.答案 49解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心， 因此PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. 由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a . 由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3. ∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3.(2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π， ∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6. ∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6， ∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响． (1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13. 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P 2＝C 1213·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.则P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 1213·23⎝⎛⎭⎫232＋C 1213·23⎝⎛⎭⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎫C 1213·232＝1681.所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3． 如图，几何体ABCD －B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝a ，面B 1C 1D 1∥面ABCD ，BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，且BB 1＝2a ，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：△DEB 1为等腰直角三角形；(2)求二面角B 1－DE －F 的余弦值．(1)证明 连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，所以BD ＝a ， 因为BB 1、CC 1都垂直于面ABCD ，所以BB 1∥CC 1，又面B 1C 1D 1∥面ABCD ，所以BC ∥B 1C 1.所以四边形BCC 1B 1为平行四边形，则B 1C 1＝BC ＝a ，因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，所以DB 1＝DB 2＋BB 21＝a 2＋2a 2＝3a ，DE ＝DC 2＋CE 2＝a 2＋a 22＝6a 2， B 1E ＝B 1C 21＋C 1E 2＝a 2＋a 22＝6a 2， 所以DE 2＋B 1E 2＝6a 2＋6a 24＝3a 2＝DB 21， 所以△DEB 1为等腰直角三角形．(2)解 取DB 1的中点H ，因为O ，H 分别为DB ，DB 1的中点，所 以OH ∥BB 1.以OA ，OB ，OH 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－32a ，0，22a ，B 1⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， F ⎝⎛⎭⎫34a ，a 4，0， 所以DB 1→＝(0，a ，2a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，22a ，DF →＝⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，0. 设面DB 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DB →1＝0，n ·DE →＝0，即ay 1＋2az 1＝0且－32ax 1＋a 2y 1＋22az 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(0，－2，1)设面DFE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DF →＝0，n 2·DE →＝0即34ax 2＋34ay 2＝0 且－32ax 2＋a 2y 2＋22az 2＝0， 令x 2＝1，则n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－33，263， 则cos 〈n 1，n 2〉＝63＋2633×1＋13＋83＝22， 则二面角B 1－DE －F 的余弦值为22. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b n m .(1)求数列{a n}和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .＝3×2n 2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n .若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ，∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67. 方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n . 由b m n ＝b n m 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ，∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018)＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B＝{y |y ≥0}，则A ×B 等于( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)答案 A解析 由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]． 所以A ×B ＝(2，＋∞)．2． 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C3． 给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析 当a 平行于b 所在平面时，a ，b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a ∥b ，故③不正确；由此可排除A 、B 、C ，故选D.4． 设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A.π2B ．－π2C.π4D ．－π4答案 A解析 由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－π2，即β－α＝π2.选A.5． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.6． 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2C. 5D. 6答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0. 由题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1，解得x 20＝1，所以ba ＝2，e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.7． 设随机变量ξ服从正态分布N (16，σ2)，若P (ξ>17)＝0.35，则P (15<ξ<16)＝( )A ．0.35B ．0.85C ．0.3D ．0.15答案 D解析 由正态分布的对称性知，P (ξ>16)＝0.5， 又P (ξ>17)＝0.35，所以P (16<ξ<17)＝0.5－0.35＝0.15. 于是P (15<ξ<16)＝P (16<ξ<17)＝0.15.8． 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．4 2B ．2 2C.423 D.223答案 B解析 该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，由三棱柱体积公式V ＝S底h 可得V＝2 2.9． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增 答案 A解析 变形f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. 又f (－x )＝f (x )，得函数为偶函数，故φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π4.又T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 结合图象知A 正确．10．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.11．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A解析 画出可行域，可知z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m 取最大值，由11＋m ＋m 21＋m<2解得1<m <1＋ 2. 12．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0， 构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1. 二、填空题13．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________． 答案 ±3解析 圆心O 到直线y ＝kx －1的距离d ＝1k 2＋1＝12， ∴k ＝±3.14．若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．答案 23解析 通过框图可以看出本题的实质是求x 1，x 2，x 3的方差，根据方差公式得 输出S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [2－3，2＋3]解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线l 的距离应小于等于2， ∴|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，∴⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0，∴－2－3≤a b ≤－2＋3，又直线l 的斜率k ＝－ab ，∴2－3≤k ≤2＋3，即直线l 的斜率的取值范围是[2－3，2＋3]． 16．已知如下等式：3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．答案17[]3n ＋1－(－4)n ＋1。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(四)理(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13. (1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13.(3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1， 若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(一)理(推荐时间：60分钟)1． 已知函数f (x )＝x ln(1＋x )－a (x ＋1)，其中a 为实常数．(1)当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，求a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝f ′(x )－ax 1＋x 的单调区间． 解 (1)由题意知：f ′(x )＝ln(1＋x )＋x1＋x －a >0，则a <ln(1＋x )＋x1＋x ，令h (x )＝ln(1＋x )＋x1＋x ，h ′(x )＝11＋x ＋1(1＋x )2，∵x ∈[1，＋∞)，∴h ′(x )>0，即h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴a <h (1)＝12＋ln 2，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12＋ln 2.(2)由(1)知g (x )＝ln(1＋x )＋(1－a )x1＋x －a ，x ∈(－1，＋∞)，则g ′(x )＝11＋x ＋1－a (1＋x )2＝x ＋2－a(1＋x )2.①当a >1，x ∈(－1，a －2)时，g ′(x )<0，g (x )在(－1，a －2)上单调递减，x ∈(a －2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(a －2，＋∞)上单调递增．②当a ≤1时，g ′(x )>0，g (x )在(－1，＋∞)上单调递增，综上所述，当a >1时，g (x )的增区间为(a －2，＋∞)，减区间为(－1，a －2)，当a ≤1时，g (x )的增区间为(－1，＋∞)．2． 已知抛物线x 2＝4y ，过点A (0,1)任意作一条直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点．(1)求OM →·ON →的值；(2)过M ，N 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，试探求l 1与l 2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解 (1)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k x ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1，故OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－4＋1＝－3.(2)因为x 2＝4y ，所以y ′＝12x ，l 1的方程为y －x 214＝12x 1(x －x 1)，整理得y ＝12x 1x －x 214，同理得l 2的方程为y ＝12x 2x －x 224；联立方程⎩⎨⎧ y ＝12x 1x －x 214， ①y ＝12x 2x －x 224， ②x 2×①－x 1×②得(x 2－x 1)y ＝x 1x 2(x 2－x 1)4，y ＝x 1x 24＝－1，故l 1与l 2的交点的纵坐标等于－1，即l 1与l 2的交点在直线y ＝－1上．3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4；(3)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．(1)解 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)证明 ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当－1<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在区间[－1,1]上为减函数，f (x )max ＝f (－1)＝2，f (x )min ＝f (1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝2－(－2)＝4.(3)解 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.因f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－mx 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根．设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或x 0＝1.∴g (x 0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0，x 0＝1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (1)<0， 解得－3<m <－2. 故所求的实数m 的取值范围是(－3，－2)．4． 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异的两点，且满足x 1＋x 2＝2.(1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程． 解 (1)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入方程y 2＝4x 得：k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，有x 1＋x 2＝4－2kb k 2＝2得b ＝2k－k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k， ∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k ， ∴AB 的中垂线方程为y ＝－1k (x －1)＋2k ＝－1k x ＋3k， ∵AB 的中垂线经过点P (0,2)，故3k ＝2得k ＝32， 故直线AB 的方程y ＝32x －16，即9x －6y －1＝0. (2)由(1)可知AB 的中垂线方程为y ＝－1k x ＋3k， ∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k2＝2k 2＋1|k |，由⎩⎪⎨⎪⎧ k 2x －ky ＋2－k 2＝0y 2＝4x 得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0， y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8－4k 2k 2，|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2，∴S △AMB ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 21－1k 2，设1－1k 2＝t ，则0<t <1，S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ， S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63，即k ＝±3时，S max ＝1669，直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.。

(推荐时间：60分钟)1． 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t,0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．解 (1)由题知a ＝2，又e ＝12，所以c ＝1，b ＝ 3. 所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4， ① (NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA →|＝|NB →|⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得：(y 1－y 2)[ (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4， 所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 2． 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －m x有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)， 1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －m x有解，即e x x <x －m 有解， 因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x2x ＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ， 因为x ＋12x ≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1， 所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0. 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0.3． 已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2(f ′(x )是f (x )的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)． 解 (1)当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x(x >0) 解f ′(x )>0得x ∈(1，＋∞)；解f ′(x )<0得x ∈(0,1)．f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．(2)∵f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)， ∴f ′(2)＝－a 2＝1得a ＝－2，f (x )＝－2ln x ＋2x －3， g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0g ′(3)>0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(1)<0g ′(2)<0g ′(3)>0，∴－373<m <－9. (3)证明如下：由(1)可知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0， ∴0<ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n. ∴ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N *)． 4． 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为4π3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量F 1A →与F 1C →共线，F 1B →与F 1D →共线，且AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解 (1)由几何性质可知：当△PF 1F 2内切圆面积取最大值时，即S △PF 1F 2取最大值，且(S △PF 1F 2)max ＝12·2c ·b ＝bc . 由πr 2＝43π得r ＝233. 又C △PF 1F 2＝2a ＋2c 为定值，S △PF 1F 2＝r 2C △PF 1F 2， 综上得bc 2a ＋2c ＝33； 又由e ＝c a ＝12，可得a ＝2c ，即b ＝3c ， 解得c ＝2，b ＝23，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时， |AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)x 216＋y 212＝1 消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2. 代入弦长公式得：|AC →|＝|AC | ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(k 2＋1)3＋4k 2， 同理由⎩⎨⎧ y ＝－1k (x ＋2)x 216＋y 212＝1消去y 可得⎝⎛⎭⎫3＋4k 2x 2＋16k 2x ＋16k2－48＝0， 代入弦长公式得：|BD →|＝24(k 2＋1)3k 2＋4， 所以|AC →|＋|BD →|＝168(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2) ＝16812＋1k 2＋1－1(k 2＋1)2令1k 2＋1＝t ∈(0,1)，则－t 2＋t ＋12∈⎝⎛⎦⎤12，494， 所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14， 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5 5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） 33938 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25302212.设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题 （1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、 填空题（13）12（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]三、解答题（17）解：（1）由131m m a a +=+得1113().22m m a a ++=+又113a 22+=，所以，{12m a + } 是首项为32，公比为3的等比数列。

选择填空限时练选择填空限时练(一)(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 A解析 U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y <12，∴∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.选A. 2． 满足z (2－i)＝2＋i(i 为虚数单位)的复数z 在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )222＋12＝3＋4i 5＝35＋45i.∴z 对应点⎝⎛⎭⎫35，45在第一象限．选A.3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为 ( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞) 答案 C解析 x ≤0时，由f (－4)＝f (0)得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴x ＝－2，即－b2＝－2，∴b＝4.又f (－2)＝0，∴c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋4x ＋4 (x ≤0)，因此f (x )≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1，解得x >0或－3≤x ≤－1.4． 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115 D.3716答案 A解析 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定 义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故 本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2. 5． 公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 a 3a 11＝16⇔a 27＝16⇔a 7＝4⇔a 16＝a 7×q 9＝32⇔log 2a 16＝5.6． 以下有关命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，有x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 p ∧q 为假，则至少一个为假，故C 错． 7． 设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0最多有两个实根． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④答案 C解析 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．①正确； 当b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ， 若x ≥0，f (x )＝0无解，若x <0， f (x )＝0有一解x ＝－c ，②正确； 结合图象知③正确，④不正确．8． 若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ，b 的等差中项为12，α＝a ＋1b ，β＝b ＋1a，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意知a ＋b ＝1，α＋β＝a ＋1b ＋b ＋1a ＝1＋1a ＋1b ＝1＋1ab ，由a ，b ∈(0，＋∞)，得a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，因而ab ≤14，则α＋β的最小值为5.9． 函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )答案 D解析 由函数解析式得f (x )是奇函数， 故图象关于原点对称，排除A 、B 选项． 根据函数有两个零点x ＝±1，排除C 选项．10．若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.16π3B.19π3C.19π12D.4π3答案 B解析 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1.设该正三棱柱的外接球半径为R ，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×23＝23，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122＝1912，则该球的表面积为4πR 2＝19π3.11．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4. 由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列， 可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π，① 2x 3＝π2＋x 4，②由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos5π6＝－32. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC→＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A.263B.433C.463D.233答案 C解析 由题意可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝2，又∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|， ∴|BC →|＝2|AC →|.∴|OC →|＝|AC →|.又∵AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →. ∴|OC →|＝|AC →|＝ 2.如图，在Rt △AOC 中，易求得C (1，－1)，代入椭圆方程得124＋(－1)2b 2＝1⇒b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83.∴c ＝263，2c ＝463.故选C.二、填空题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0，则不等式x ＋xf (x )≤2的解集是________．答案 (－∞，1] 解析 (1)当x ≥0时， 原不等式可化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1，即0≤x ≤1；(2)当x <0时，原不等式可化为x 2－x ＋2≥0， 得⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥0恒成立，即x <0. 综合(1)(2)知x ≤1， 所以解集为(－∞，1]．14．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF →1|＝3|MF →2|，则此双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x解析 由双曲线的性质可推得|MF →2|＝b ， 则|MF →1|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF →1|＝c ， cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－ac ，又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2， 即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22x .15．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由a ⊥b 得，4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232＝6.当且仅当“32x ＝3y ”时， 即y ＝2x 时，上式取“＝”． 此时x ＝12，y ＝1.16．给出以下四个命题，所有真命题的序号为________．①从总体中抽取样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，若记x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，则回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )；②将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ③已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分不必要条件；④命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |≥2，则－2<x <2”． 答案 ①②③解析 y ＝cos 2x 向右平移π3得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.。

基础测试训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 2116.甲 方差小，更稳定基础测试训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 8个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2－312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。