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非对称质量损失函数系数的参数设计

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Abstract : This article has int roduced Taguchi ’ s qualit y lo ss f unctio n ,zero dimensio n which Artiles2le2 o n p ropo sed t he standardized ’ multivariable qualit y lo ss f unctio n was analyzed. The f unctio n coefficient f ro m t he asymmet rical aspect was expanded , to develop Taguchi ’ s qualit y lo ss f unctio n. Calculates p recisely qualit y lo ss was achived. Key words :qualit y lo ss f unctio n coefficient ; lo ss f unctio n ; asymmet ric
73. [ 5 ] 杨剑锋 , 徐济超 ,常文庶 . 基于 Taguchi 过程能力指数
的合格率评价 [J ] . 系统工程 ,2005 ,23 (8) :1032107.
[ 6 ] 王更新 ,韩之俊 . 望大特性与望小特性的质量损失与
信噪比的关系 [J ] . 机械科学与技术 ,2000 ,19 ( 2 ) :2362
下面我们首先来推导在区间 [ t0′, U S L ] 上的 n 个区间上的质量损失函数 . 由公式 ( 1) 得
a1 = K1 ( , ( t1 - t0 ) 2
2
a1 ( Y - t0 ) 2 , Y ∈[t0 ,t1 ) . ( 4 ) ( t1 - t0 ) 2
238.
由 an = L ( t n ) = an - 1 + K n ( t n - t n - 1 ) 2 , Y ∈
Parameter Design f or Asymmetric Loss Function Coeff icient
C H E N B en2j i n g
(Department of Mathematics and Computer Science ,Jieyang Vocational and Technical College ,jieyang 522000 ,China)
= a0 = 0 且随着 i , j 增加 , ai , a j ′ 增加 .
[ t n - 1 , t n ) , Kn =
an - an- 1 , 从而 ( t n - t n- 1 ) 2 an - an - 1 ( Y - tn - 1 ) 2 , Y ∈ ( tn - tn - 1 ) 2
甘肃联合大学学报 ( 自然科学版) 第 23 卷 2 6
小容许 值 , 即 Y 在 U S L , L S L 处 L ( U S L ) , L ( L S L ) 达到最大不再增加 . t0 为 Y 的设计目标 值 . 我们把 Y 的取值范围 [ L S L , t0 ) 和 [ t0 , US L ] 分别分成 m 个和 n 个小区间 ( 可以等分也可以非 等分) : ) , [ tm - 1′ ) , …, [ t1 ′ [ t m′ , tm - 1′ , tm - 2′ , t0 ) , [ t0 , t1 ) , [ t1 , t2 ) , …, [ t n - 1 , t n ) , 其中 L S L = t m′ ≤t j ′ ≤t0 , t0 ≤t i ≤t n = U S L , i = 1 , 2 , …, n. j = 1 , 2 , …, m. 若在 t i 处的质量损失为 a i , i = 1 , 2 , …, n . 在 t j′ 处的质量损失为 a j ′ , j = 1 , 2 , …m. 由田口的质量损失函数思想不难得出 L ( t0 )
1 Artiles2leo n 提出的无量纲 ‘标准
化’ 多变量质量损失函数[ 3 ]
Artiles2leo n 提出的无量纲‘标准化’ 多变量 质量损失函数把对应于每个质量特性的损失函数
收稿日期 :2008211212.
损失函数系数的参数设计
设 US L , L S L 分别是随机变量 Y 的最大 , 最
2
其中 Ki =
同理 , Y 在区间 [ L S L , t0 ) 所分成的 m 个小区
) , [ tm - 1′ ) , …, [ t1 ′ ) 上的质 间 [ t m′ , tm - 1′ , tm - 2′ , t0 ′ 量损失函数为 : )2 , L ( Y j ) = aj - 1 ′ + K j ′( Y - t j - 1 ′ ) , j = 1 , 2 , …, m. ( 6) Y j ′∈ [ t j ′ , tj- 1′ aj ′ - aj - 1 ′ 其中 K j ′ = . ( t j′ ) - tj - 1′ 式 ( 5) 和式 ( 6) 是田口质量损失函数的推广 .
2 L ( Y ) = an- 1 + ( Y - t n- 1 ) , Y ∈ [ t n- 1 , t n ) .
及其实证分析 [J ] . 系统工程 ,2002 ,20 (4) :54257.
[ 4 ] 王军平 ,陶华 ,李建军 . 一种建立多参数质量损失模型
的数学方法 [J ] . 西北工业大学学报 ,2001 ,19 ( 3 ) : 702
非对称质量损失函数系数的参数设计
陈本晶
( 揭阳职业技术学院 数学与计算机科学系 ,广东 揭阳 522000)
摘 要 : 针对望目质量特性的产品 ,引进了田口玄一的质量损失函数 ,分析了 Artiles2leo n 提出的无量纲‘标准 化’ 的多变量质量损失函数 . 然后从非对称方面对损失函数系数进行拓展 ,是田口质量损失函数的近一步发展 . 从而达到更精确地计算质量损失的目的 . 关键词 : 系数 ; 损失函数 ; 非对称 中图分类号 :O212. 6 文献标识码 :A
2
用概率统计 ,2005 ,21 ( 4) :1092114.
[ 3 ] 马义中 ,程少华 ,李言俊 . 改进的多变量质量损失函数
由 a2 = L ( t2 ) = a1 + K2 ( t2 - t1 ) 2 , Y ∈[ t1 , a2 - a1 t2 ) , K2 = , 从而 ( t2 - t1 ) 2 a2 - a1 ( Y - t1 ) 2 , Y ∈ L ( Y ) = a1 + [ t1 , t2 ) . ( t2 - t1 ) 2 如此下去 , 在区间 [ t n - 1 , t n ) 上 , 假设损失系数 为 Kn , 则 Y ∈[ t n - 1 , t n ) 上的质量损失为 :
1 = K ( US L USL + LSL
( 1)
其中 , Y 为考察的某一望目特性随机变量的 数量性能指标 , t 是 Y 的设计目标值 , K 是用于近 似表示实际质量损失的损失系数 . 质量损失的核心思想是通过过程的连续改 进 , 减小过程输出的波动 , 达到最小的质量损失 . 田口先生提出了三次设计来改善产品质量 , 即系 统设计 , 参数设计和容差设计 . 所谓容差设计 , 就 是在参数设计时决定了各参数中心值之后 ( 也即 目标值) , 再对中心值规定出容许差 , 容差设计的 目的在于确定各元器件 , 零部件应选用的等级 , 规 划产品的质量与成本等 . 但是田口的质量损失函 数理论只是提出了损失函数而没有给出函数系数 的如何确定 . 系数 K 的确定是对损失量进行计算 的关键 . 因此 , 在理论研究和工程应用中已经提出 了多种定量的方法 . 例如 Artiles2leo n 提出的无 量纲‘标准化’ 多变量质量损失函数 .
在区间 [ t1 , t2 ) , …, [ t n - 1 , t n ) 上损失函数又怎 么求得呢 ? 直接用式 ( 4) 的方法显然是不行的 . 在区间 [ t1 , t2 ) 上 , 假设损失系数为 K2 , 则 Y ∈[ t1 , t2 ) 上的质量损失为
L ( Y ) = a1 + K2 ( Y - t1 ) , Y ∈ [ t1 , t2 ) .
L ( Y ) = an - 1 + [ tn - 1 , tn ) .
综合起来 , Y 在区间 [ t0 , U S L ]上质量损失函 数为
L ( Y i ) = ai - 1 + Ki ( Y i - t i - 1 ) , Y i ∈[ t i - 1 , t i ) , i = 1 , 2 , …, n. ( 5) ai - ai - 1 . ( ti - ti - 1 ) 2
引言
日本田口玄一博士 ( Dr. Genichi. Taguchi ) 的 质量工程理论提出了质量损失函数的概念 . 质量 损失函数的基本目的是以定量的方式评价低质量 对顾客造成的损失 . 田口定义了如下的二次质量 损失函数 [ 2 ] :
2 L ( Y ) = K ( y - t) .
相加 , 形成了一个 ‘标准化’ 多变量质量损失函数 . 为了选择系数 K , 使损失系数对所采用的单位不 敏感 , Artiles2leo n 认为 : 如果能够建立质量特性 ( Y ) 与设计变量 ( X ) 之间的关系 Y ( X ) , 目标值在 规格线的中心 , 则当质量特性位于上规格线或者 下规格线时 , 其质量损失可以假定为单位损失 , 即 损失为 1 . 则由式 ( 1) 得
第 23 卷第 3 期 2009 年 5 月
甘肃联合大学学报 ( 自然科学版) Jo urnal of Gansu Lianhe U niversity ( Nat ural Sciences)
Vol. 23 No . 3 May 2009
文章编号 : 16722691X(2009) 0320025202

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非对称损失函数下Burr XII型分布可靠性指标的Bayes估计

非对称损失函数下Burr XII型分布可靠性指标的Bayes估计

非对称损失函数下Burr XII型分布可靠性指标的Bayes估计史建红;关丽娜【摘要】Suppose Χ and Y are two independent but not identically distributed Burr-type XD random variables. The problem of Bayes estimation of P(Y < X) is considered under two asymmetric loss functions. Explicit approximation of the Bayes estimators are also derived based on Lindley's approximation method. A simulation study is conducted to investigate and compare the performance of the Bayes estimators obtained under different loss functions.%本文研究了R=P(Y＜X)在两种非对称损失函数下的Bayes估计问题,其中随机变量X和Y相互独立且服从不同的Burr XII型分布.利用Lindley近似方法,获得了Bayes估计的显式近似表达式,通过随机模拟比较了不同损失函数下的Bayes估计的性质.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】8页(P121-128)【关键词】Burr XII型分布;Bayes估计;LINEX损失函数;GE损失函数;Lindley近似算法【作者】史建红;关丽娜【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004【正文语种】中文【中图分类】O212.8双参数Burr XII型分布[1]在社会科学,经济科学,环境科学,保险精算学等诸多领域内有广泛的应用.双参数BurrⅫ型分布,记为Burr(c,k),其概率密度函数和分布函数分别为对于Burr(c,k)分布,文献[2]分别在完全数据和删失数据下获得了参数的极大似然估计和区间估计;文献[3]研究了当参数的先验分布选取连续型分布时,参数的贝叶斯估计问题;文献[4]中选取c的先验分布为离散型分布,而k的先验分布为连续型分布,得到了参数的贝叶斯估计;文献[5]利用删失数据,采用线性指数损失函数获得了参数的经验贝叶斯估计.针对Burr X型分布,文献[6]在非对称损失函数下研究了可靠性指标R=P(Y＜X)的Bayes估计问题.事实上在可靠性问题中经常会遇到估计寿命分布的可靠性指标R=P(Y＜X)的估计问题,例如,文献[7]和[8]分别研究了正态分布和伽玛分布情况下,可靠性指标R的估计问题;文献[9]和[10]研究了指数分布和二维指数分布情况下,可靠性指标R的估计问题.下文将研究双参数Burr XII型分布的可靠性指标R的Bayes估计问题,考虑到在许多实际问题中,正误差(过高估计)与负误差(过低估计)所引起的损失并不相同,因此本文在以下两种非对称损失函数下研究双参数Burr XII 型分布可靠性指标的Bayes估计问题.定义1.1 LINEX损失函数[11]:令△=-u表示估计u的估计误差,则LINEX损失函数为如下的凸函数其中a是该损失函数的尺度参数.定义1.2 GE损失函数[12]:设eu为参数u的一个估计,则GE损失函数为当q=1时,GE损失函数为熵损失函数;当q＞0时,过高估计造成的后果比过低估计造成的后果严重.引理1.1 在LINEX损失函数下,u的Bayes估计为其中Eu(·)代表后验分布的均值. 引理1.2 在GE损失函数下,u的Bayes估计为其中Eu(·)代表后验分布的均值.以上两个引理的证明分别见文献[11]和[12].设随机变量X,Y相互独立且分别服从Burr(c,k1)分布和Burr(c,k2)分布,其中c,k1,k2为参数.于是可以看出,R只与参数k1,k2有关,而与参数c无关.假设X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym 分别为来自总体X 和Y 的一组样本.当c已知时,由文献[13]知R的极大似然估计为文献[13]在参数c为一指定的正的常数,且参数k1和k2的先验分布分别为k1～Γ(ν1,µ1), k2～Γ(ν2,µ2), µi＞0,νi＞ 0,i=1,2 的假设下,在平方损失函数下获得了 R 的Bayes估计为下面我们采用与文献[13]同样的先验分布假设,计算在非对称损失函数LINEX损失函数和GE损失函数下R的Bayes估计.定理 2.1 设X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym 分别为来自独立总体 Burr(c,k1)和Burr(c,k2)的样本.c已知且c＞ 0,k1和k2的先验分布分别为k1～Γ(ν1,µ1), k2～Γ(ν2,µ2), µi＞0,νi＞ 0,i=1,2.则(1)在LINEX损失函数下R的Bayes估计为(2)在GE损失函数下R的Bayes估计为其中T1和T2由(2.5)式定义.证由于k1～Γ(ν1,µ1),k2～Γ(ν2,µ2),通过计算得(k1,k2)的联合后验密度函数为进一步计算可获得R的后验密度函数为(1)由引理1.1知,在LINEX损失函数下R的Bayes估计为由(2.4),(2.6)和(2.7)可以看出,利用Bayes估计方法得到的R估计结果都是积分形式,无法得到显式解,不利于应用.下一节我们利用文献[14]提出的Lindley近似方法对和进行近似计算.文献[14]考虑了如下形式的积分比的近似计算其中λ ≡ (λ1,...,λN),L(λ)是似然函数的对数形式,ω(λ)和g(λ)是λ 的任意函数.假设g(λ)是λ 的先验密度函数,ω(λ)=U(λ)g(λ).则给定x ≡ (x1,x2,...,xn)的时候,U(λ)的后验期望为其中ρ(λ)=logeg(λ),Q(λ)=L(λ)+ ρ(λ) 为λ 后验分布的对数形式. 将ρ(λ),L(λ) 关于λ的极大似然估计展成泰勒形式或者把Q(λ)关于λ的后验均值展开,Lindley得到了E[U(λ)|x]的近似表达式.于是,由(3.6)式及Lindley近似方法可以导出:(1)在平方损失函数下,R的Bayes估计为(2)在LINEX损失函数下,R的Bayes估计为(3)在GE损失函数下,R的Bayes估计为注意到R的贝叶斯估计与先验分布中的参数有关,因此还需给出这些参数的估计.本文采取文献[13]中的方法,取先验分布中的参数分别为为了比较R的极大似然估计和平方损失函数,LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计,我们采用Monte Carlo方法进行模拟.模拟步骤如下:(1)由U(0,1),独立抽取n个随机数u1,…,un.(2)对于给定的c,k1,通过计算i=1,2,…,n得到服从Burr(c,k1)分布的样本.(3)同理,我们得到服从Burr(c,k2)分布的样本yi,i=1,2,…,m.(4)代入公式(2.3)便可得到极大似然估计 bR1.给定参数a,q,代入公式(3.10),(3.11)和(3.12)便可以得到R在平方损失函数,LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计的近似值.(5)对于不同(n,m),上述步骤重复1000次,然后计算误差和(-R)2.进而,计算估计的平均值和均方误差.所得结果分别列于表1–4中.表1和2分别显示不同参数下R的各种估计的平均值和均方误差,括号内为相应的均方误差.表3和4显示不同参数a,q下,R的各种估计的均方误差.通过对表1–4的分析,我们发现采用近似方法计算的贝叶斯估计的平均值比较接近于真值.另外,贝叶斯估计的均方误差明显小于极大似然估计的均方误差,在此意义下,贝叶斯估计优于极大似然估计.表3和4显示R在LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计对参数a,q非常敏感.因此,我们可以根据实际问题来灵活选取参数.通过选用非对称损失函数,解决了我们在实际问题中对过高估计还是过低估计侧重点不同的问题.尤其是在可靠性问题中,非对称损失函数往往优于对称损失函数.【相关文献】[1]Burr I W.Cumulative frequency functions[J].Ann.Math.Statistics,1942,13:215–232.[2]Wang F K,Keats J B.Maximum likelihood estimation of the Burr XII parameters with censored and uncensored data[J].Microelectron,1996,36:359–362.[3]ALI Mousa M A M,Jaheen Z F.Statistical inference for the Burr model based on progressively censored data[J].Computers and Mathematics withApplications,2002,43:1441–1449.[4]Ahmed A Soliman.Estimation of parameters of life from progressively censored data using Burr-XII model[J].IEEE Transactions on Reliability,2005,54:34–42.[5]Li X C,Shi Y M,Wei J Q,Chai J.Empirical Bayes estimation of reliability performances using LINEX loss under progressively type-II censored samples[J].Mathematics and Computers in Simulation,2007,73:320–326.[6]Jaheen Z F.Empirical Bayes estimation of the reliability and failure rate functions of the Burr-type X failure model[J].J.Appl.Statist.Sci.,1996,3(4):281–288.[7]Curch J D,Harris B.The estimation of reliability from stress-strengthrelationships[J].Technometrics,1970,12:49–54.[8]Constantine K,Karson M.Estimation P(Y＜X)in gammacase[J]p.Simul.,1986,15(2):365–388.[9]Kelley G D,Kelly J A,Schucany W R.Efficient estimation of P(Y＜X)in the exponentialcase[J].Tech-Nometrics,1976,18:359–360.[10]Awad A M,Azzam M M,Hamdan M A.Some inference results on Pr(X＜Y)in the bivariate exponential model[J].Commun.Ststist.Theory Meth.A.,1981,10(24):2515–2524. 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{品质管理品质知识}质量损失函数

{品质管理品质知识}质量损失函数

{品质管理品质知识}质量损失函数质量损失函数日本质量管理学家田口玄一（Taguchi）认为产品质量与质量损失密切相关，质量损失是指产品在整个生命周期的过程中，由于质量不满足规定的要求，对生产者、使用者和社会所造成的全部损失之和。

田口用货币单位来对产品质量进行度量，质量损失越大，产品质量越差；反之，质量损失越小，产品质量越好。

一、质量特性产品质量特性是产品满足用户要求的属性，包括产品性能、寿命、可靠性、安全性、经济性、可维修性和环境适应性等。

（与前描述是否一致）（一）质量特性分类田口先生为了阐述其原理，对质量特性在一般分类的基础上作了某些调整，分为计量特性和计数特性，如图1所示。

1、望目特性。

设目标值为m，质量特性y围绕目标值m波动，希望波动愈小愈好，则y就被称为望目特性，例如加工某一轴件图纸规定φ10±0.05(mm)，加工的轴件的实际直径尺寸y就是望目特性，其目标值m=10(mm)。

2、望小特性。

不取负值，希望质量特性y愈小愈好，波动愈小愈好，则y 被称为望小特性。

比如测量误差，合金所含的杂质、轴件的不圆度等就属于望小特性。

3、望大特性。

不取负值，希望质量特性y愈大愈好，波动愈小愈好，则y 被称为望大特性。

比如零件的强度、灯泡的寿命等均为望大特性。

（二）质量特性波动产品在贮存或使用过程中，随着时间的推移，发生材料老化变质、磨损等现象，引起产品功能的波动，我们称这种产品由于使用环境，时间因素，生产条件等影响，产品质量特性y偏离目标值m，产生波动。

引起产品质量特性波动的原因称为干扰源。

主要有以下三种类型：1、外干扰（外噪声）使用条件和环境条件（如温度，湿度，位置，输入电压，磁场，操作者等）的变化引起产品功能的波动，我们称这种使用条件和环境条件的变化为外干扰，也称为外噪声。

2、内干扰（内噪声）材料老化现象为内干扰，也称为内噪声。

3、随机干扰（产品间干扰）在生产制造过程中，由于机器、材料、加工方法、操作者、计测方法和环境（简称5MIE）等生产条件的微小变化，引起产品质量特性的波动，我们称这种在生产制造过程中出现的功能波动为产品间波动。

非对称损失函数

非对称损失函数

非对称损失函数介绍在机器学习和深度学习领域中，损失函数是一种用于衡量模型预测结果与真实结果之间的差异的函数。

通过最小化损失函数，我们可以训练模型以得到更准确的预测结果。

非对称损失函数是一类特殊的损失函数，其在不同类别的样本上对错误的预测赋予不同的权重，以便更好地处理类别不平衡的问题。

类别不平衡问题在某些实际问题中，不同类别的样本数量可能会出现严重的不平衡，其中一些类别的样本数量远远多于其他类别。

例如，在医学诊断中，患病样本可能会远远少于健康样本。

这样的情况下，模型可能更倾向于将样本预测为数量更多的类别，导致对少数类别的预测效果较差。

对称损失函数的问题传统的对称损失函数在处理类别不平衡问题时存在一些问题。

常见的损失函数如交叉熵损失函数等，在每个样本上都对预测错误赋予相同的权重，无法区分不同类别样本的重要性。

这种情况下，模型可能更容易预测为数量更多的类别，从而忽略少数类别。

非对称损失函数的应用非对称损失函数在处理类别不平衡问题时具有优势。

它可以根据样本的类别属性为错误的预测赋予不同的权重，更加关注少数类别的预测效果。

通过调整不同类别的权重，非对称损失函数可以使模型更加关注重要的类别，从而提高整体的预测效果。

常见的非对称损失函数以下是一些常见的非对称损失函数：加权损失函数（Weighted Loss）加权损失函数是一种简单且常见的非对称损失函数。

它通过为不同类别的样本赋予不同的权重，使得少数类别的错误预测具有更大的损失。

通过调整权重，我们可以控制模型对不同类别的关注程度。

Focal LossFocal Loss是一种有效的非对称损失函数，尤其适用于处理样本不平衡和难易样本不均衡问题。

Focal Loss通过引入一个可调整的超参数来减小易分样本的权重，从而更关注难分样本的预测效果。

相对误差损失（Relative Loss）相对误差损失是一种度量预测值与真实值之间的差异的损失函数。

相对误差损失的特点是对预测值和真实值之间的相对差异更敏感，可以用于处理不同类别上的错误预测。

质量损失函数

质量损失函数

质量损失函数
质量损失函数是一种统计方法，可以在预测任务中用来衡量质量损失程度。

它通常用来衡量模型预测准确度，以及这些预测中可能存在的偏差和误差。

质量损失函数可以衡量预测误差，以便能够判断出哪种预测是更有效的，也可以使用来衡量模型性能，以便可以根据质量损失降低模型的性能。

质量损失函数的类型主要有两种：回归损失和分类损失。

回归损失有均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）等，而分类损失有交叉熵损失和Hinge损失等。

均方误差（MSE）是一种常用的回归损失函数，它衡量的是实际值与预测值之间的差异，它的计算公式是：MSE =（实际值 -测值）/ N，其中N代表损失函数的总个数。

MSE可以用来衡量模型的拟合度，它的值越小，拟合度越强，因此，我们可以通过降低MSE的值来提高模型的精度。

另一种类型的质量损失函数是Hinge损失，它是一种分类损失函数，它可以用来衡量分类准确度，它的计算公式是：Hinge损失 = max （0, 1 -签测值），其中标签是指预测样本的实际标签，而预测值是预测的值。

Hinge损失可以用来判断模型的准确性，它的值越小，说明模型的准确度越高。

此外，还有一种质量损失函数，称为正则化损失函数，它可以用来降低模型的复杂性，从而降低训练误差和测试误差，从而提高模型
的精度。

正则化损失函数是一种特殊的质量损失函数，它可以抑制模型过拟合，保持模型稳定，以达到更好的性能。

总之，质量损失函数是一种用来衡量模型预测的准确度的统计方法，它可以为我们提供一种有效的方法来衡量模型的性能，以及预测中可能存在的偏差和误差。

它可以帮助我们判断出更有效的预测，并可以用来提高模型的准确度，从而达到更好的性能。