2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.2.2 事件的独立性 Word版含答案

第二章 §2.2 课时作业39一、选择题1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是( )A ．0.13B ．0.03C ．0.127D ．0.873解析：两道工序的次品率相互独立，该零件的正品率为(1－0.1)×(1－0.03)＝0.873. ∴该零件的次品率是1－0.873＝0.127. 答案：C2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35解析：设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，依题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立．故他们都命中目标的概率为 P (AB )＝P (A )P (B )＝45×710＝1425.答案：A3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. 49B. 29C. 23D. 13解析：设A 表示：“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示：“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.则P (AB )＝P (A )P (B )＝23×23＝49.4．[2014·杭州市高二统考]设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A. 29B. 118C. 13D. 23解析：由P (A B )＝P (B A )，得 P (A )P (B )＝P (B )P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )． 又P (A B )＝19，则P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝23.答案：D 二、填空题5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为__________．解析：设事件A ：“甲解决这道难题”， 事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立． ∴两人都未能解决的概率为 P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.答案：13 236．某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是__________．解析：P ＝2560×3560×4560＝35192.答案：351927．[2014·福建季延中学高二期末]在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.098．甲、乙、丙三位大学毕业生，同时到一个用人单位应聘，其中被选中的概率分别为甲：P (A )＝25；乙：P (B )＝34；丙：P (C )＝13.且各自能否被选中是无关的．求：(1)三人都被选中的概率； (2)只有两人被选中的概率；(3)三人中有几人被选中的事件最易发生？ 解：(1)∵三个事件A 、B 、C 相互独立， ∴三人都被选中的概率P (ABC ) ＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)只有两人被选中的事件为A BC ＋A B C ＋AB C ∵事件A BC 、A B C 、AB C 彼此互斥， 且A 、B 、C 相互独立， ∴P (A BC ∪A B C ∪AB C ) ＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C ) ＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋ P (A )P (B )P (C )＝35×34×13＋25×14×13＋25×34×23＝2360. 故只有两人被选中的概率为2360.(3)∵三人都不被选中的概率P (A B C ) ＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110，∴三人中有且仅有1人被选中的概率为1－P (ABC )－P (A BC ∪A B C ∪AB C )－P (A B C )＝512. ∵512>2360>110，∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生． 9．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．解：用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－(12)3＝78.(2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )·P (B )P (C ) ＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.。

2.2.2 事件的相互独立性课前预习 知识导学知识点一 相互独立的概念 (1)相互独立的定义设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)相互独立事件事件A (或B )发生对事件B (或A )发生的概率，这样的两个事件叫做相互独立事件． 知识点二 相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，则与B －，A －与，A －与B －也相互独立． 知识拓展1．若A ，B 为相互独立事件，则P (AB )＝P (A )P (B )，该性质可推广为：若A 1，A 2，A 3，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．在解题中要注意区分事件A 与B 相互独立、事件A 与B 互斥，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )，而互斥的两个事件A ，B 满足P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 自诊小测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( ) (4)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 2．做一做(1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．(3)已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A －B －)＝________. 课堂探究探究1事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．拓展提升(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．探究2相互独立事件概率的计算例2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率． 拓展提升(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．跟踪训练2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．探究3 相互独立事件的综合应用例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 拓展提升常见事件与概率间的关系已知两个事件A ，B ，它们的概率为P (A )，P (B )．将A ，B 中至少有一个发生记为事件A ∪B ，都发生记为事件AB ，都不发生记为事件A －B －，恰有一个发生记为事件A B －∪A －B ，至多有一个发生记为事件A －B －∪A －B ∪A B －，为方便同学们记忆，我们用表格的形式将其展示出来．跟踪训练3 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率． 课堂提升1.相互独立事件与互斥事件的区别2.相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.此性质还可推广到n (n >2，n ∈N *)个事件的相互独立性，即若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 3.求复杂事件概率的步骤(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 随堂自测1．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1000小时”，B ＝“一个灯泡能用2000小时”2．已知A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B )分别表示它们发生的概率，则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( ) A ．事件A ，B 同时发生 B ．事件A ，B 至少有一个发生 C ．事件A ，B 至多有一个发生 D ．事件A ，B 都不发生3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.344．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13，14.求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．——★ 参 考 答 案 ★——课前预习知识导学知识点一 相互独立的概念 (1)P (A )P (B ) (2)没有影响知识点二 相互独立的性质 A B 自诊小测1．[[答案]] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．[[答案]] (1)0.56 (2)(1－a )(1－b ) (3)16 16[[解析]] (1)甲、乙两站水文预报相互独立，则P ＝0.8×0.7＝0.56.(2)由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1－a )(1－b )． (3)因为P (A )＝12，P (B )＝23，所以P (A －)＝12，P (B －)＝13.所以P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.课堂探究探究1 事件独立性的判断例1 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )， ∴事件A 与B 相互独立．跟踪训练1 解：(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}包含4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}包含8个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为18.这时A 包含6个基本事件，B 包含4个基本事件，AB 包含3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 探究2 相互独立事件概率的计算例2 解：(1)记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A －)＝12，P (B －)＝35.∴恰好命中一次的概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝12×35＋12×25 ＝510＝12. (2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P 1，则 P 1＝P (A －∩A －∩B －∩B －) ＝P (A －)P (A －)P (B －)P (B －) ＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－252 ＝9100. ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P ＝1－P 1＝91100.跟踪训练2 解：用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P 2＝1－P (A －B －C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.探究3 相互独立事件的综合应用例3 解：(1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”． 依题意知，事件A 和事件B 相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 P (AB )＝P (A )P (B )＝23×34＝12.(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A －4与A －1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23，故P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A －4)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)·P (A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋13×⎝⎛⎭⎫233＝1681.(3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”，则D ＝B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4， 且B 1B 2B －3B －4与B －1B 2B －3B －4是互斥事件． 由于B 1，B 2，B 3，B 4之间相互独立，所以B i 与B －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4)，故P (D )＝P (B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4) ＝P (B 1B 2B －3B －4)＋P (B －1B 2B －3B －4)＝P (B 1)P (B 2)P (B －3)P (B －4)＋P (B －1)·P (B 2)P (B －3)P (B －4) ＝⎝⎛⎭⎫342×⎝⎛⎭⎫142＋34×⎝⎛⎭⎫143＝364.跟踪训练3 解：(1)设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A B －)＝14，P (B C －)＝112，P (AC )＝29，则⎩⎪⎨⎪⎧P (A )[1－P (B )]＝14，①P (B )[1－P (C )]＝112，②P (A )P (C )＝29.③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0， 解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23代入②得P (B )＝14，将P (B )＝14代入①得P (A )＝13.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D －)＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为56.随堂自测 1．[[答案]] A[[解析]] 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A.2．[[答案]] C[[解析]] P (A )P (B )是指A ，B 同时发生的概率，1－P (A )P (B )是A ，B 不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．[[答案]] C[[解析]] 用间接法考虑，事件A ，B 一个都不发生的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512. 则事件A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A －B －)＝712.故C 正确． 4．[[答案]] 12[[解析]] 若都取到白球，P 1＝812×612＝13，若都取到红球，P 2＝412×612＝16， 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12. 5．解：记事件A 为“甲独立地译出密码”，事件B 为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12. (3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即A B －＋A －B ，∴P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－13×14＝512. (4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112. (5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴其概率为1－P (A －B －)＝1－12＝12.。

_3.1独立性检验[对应学生用书P46]1．2×2列联表的定义对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.2．χ2统计量的求法公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d).3．独立性检验的概念用统计量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．4．独立性检验的步骤要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．其中临界值如表所示：表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率．5．变量独立性判断的依据(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．[对应学生用书P46][例1]530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．[思路点拨]在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．[精解详析]作列联表如下：[一点通]分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．1．下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为________，________. 解析：∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又∵a ＋2＝b ，∴b ＝54. 答案：52 542．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人 .作出2×2列联表．解：作列联表如下：[例2](1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．[思路点拨] (1)根据表中的信息计算χ2的值，并根据临界值表来分析相关性的大小，对于(2)要列出2×2列联表，方法同(1)．[精解详析] (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式，得 χ2＝830×(52×218－466×94)2146×684×518×312≈54.21，因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2列联表：此时，χ2＝86×(5×22－50×9)214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞2.706，所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有90%的把握肯定．[一点通] 解决独立性检验问题的基本步骤是：①指出相关数据，作列联表；②求χ2的值；③判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．3．某保健药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患A 疾病，请用所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？解：依题意得2×2的列联表：要判断该药品对患A 疾病是否有效，即进行独立性检验提出假设H 0：该药品对患A 疾病没有效．根据列联表中的数据可以求得χ2＝523×(5×400－100×18)223×500×418×105≈0.041 45<0.455，而查表可知P (χ2≥0.455)≈0.5，故没有充分的理由认为该保健药品对预防A 疾病有效． 4．在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．实施西部开发战略是否对应届大学毕业生的选择产生了影响？解：依题意，得2×2列联表：提出假设H 0：实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择没有产生影响，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝2 200×(80×800－920×400)2480×1 720×1 000×1 200≈205.22.因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以有99.9%的所握认为西部开发战略的实施对应届大学毕业生的选择产生了影响．独立性检验的基本思想与反证法的思想比较[对应课时跟踪训练(十八)]一、填空题1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由χ2值可判断有关． 答案：有关2．若两个研究对象X 和Y 的列联表为：则X 与Y 之间有关系的概率约为________． 解析：因为χ2＝(5＋15＋40＋10)×(5×10－40×15)2(5＋15)×(40＋10)×(5＋40)×(15＋10)≈18.8，查表知P (χ2≥10.828)≈0.001.答案：99.9%3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．②从独立性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病．③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．④以上三种说法都不正确．解析：由独立性检验的意义可知，③正确． 答案：③4．调查者询问了72名男女大学生在购买食品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：从表中数据分析大学生的性别与看不看营养说明之间的关系是________．(填“有关”或“无关”)解析：提出假设H 0：大学生的性别与看不看营养说明无关，由题目中的数据可计算χ2＝72×(28×20－16×8)244×28×36×36≈8.42，因为当H 0成立时，P (χ2≥7.879)≈0.005，这里的χ2≈8.42>7.879，所以我们有99.5%的把握认为大学生的性别与看不看营养说明有关．答案：有关5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则由表可知大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．解析：由公式得χ2＝168×(68×38－42×20)2110×58×88×80≈11.377>10.828，所以我们有99.9%的把握说，多看电视与人变冷漠有关．答案：99.9% 二、解答题6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：解析：提出假设H 0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关． 由公式得χ2的值为χ2＝189×(64×73－22×30)286×103×95×94≈38.459.∵当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈38.459>10.828， ∴有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.试按照原试验目的作统计推断．解：提出假设H 0：种子是否灭菌与有无黑穗病无关．由公式得，χ2＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804.由于4.804>3.841，即当H 0成立时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的．8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．解：2×2列联表如下提出假设H 0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系． 根据χ2公式得χ2＝1 500(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097.因为H 0成立时，χ2>10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．。

2.2.2　事件的独立性课时过关·能力提升1.设A为一随机事件,则下列式子不正确的是( )A.P(A)=P(A)·P()B. P(A)=0C.P(A+)=P(A)+P()D.P(A+)=1答案:A2.甲、乙两人独立地解同一问题,如果甲解对的概率为P1,乙解对的概率为P2,那么至少有1人解对的概率是( )A.P1+P2B.P1·P2C.1-P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)解析:设甲解对为事件A,乙解对为事件B,则P(A)=P1,P(B)=P2,则P=1-P()=1-(1-P1)(1-P2).答案:D3.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则此系统正常工作的概率为( )A.0. 504B.0.994C.0.496D.0.06解析:至少有一个开关工作,则系统工作,所以P=1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=0.994.答案:B4.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A型的,今从甲、乙两盒中各任取一个,则恰好可配成A型螺栓的概率为( )A B C D解析:设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A,“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B,则A与B相互独立,P(A)=,P(B)=,则从甲、乙两盒中各任取一个,恰好可配成A 型螺栓的概率为P=P (AB )=P (A )P (B )=答案:C5.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即先赢2局者为胜者.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率为( )A.0.216B.0.36C.0.432D.0.648解析:甲获胜由“胜胜”“胜负胜”“负胜胜”三个事件组成,所以P=0.6×0.6+2×0.6×0.6×0.4=0.648.答案:D6.已知3人独立地破译一个密码,每人破译出密码的概率分别为,则此密码被译出的概率为 .解析:P=1-=1-答案:7.有一道数学题,在10分钟内甲解对的概率为,乙解对的概率为,若二人不讨论,各自在10分钟内做这道题,则二人都没有解对的概率是 ,这道题得到解决的概率是 .解析:P 1=,P 2=1-P 1=答案:8.某学生通过英语口语测试的概率是,现给他3次测试的机会,则他能通过的概率是 .解析:某学生通过测试包含三个互斥事件:“第一次过”“第一次未过,但第二次过了”“前两次未过,第三次过”.所以,P=答案:9.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为,在同一时间内,求:(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;(2)至少有一个气象台预报准确的概率.分析“甲气象台预报天气准确”与“乙气象台预报天气准确”为相互独立事件.解:记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(A∩B)=P(A)×P(B)=(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P()=1-P()×P()=1-★10.如图所示,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.8,0.9,0.9,分别求系统N1,N2正常工作的概率P1,P2.解:设P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(C)=0.9.(1)因为事件A,B,C相互独立,所以系统N1正常工作的概率P1=P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) =0.648.(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)[1-P()]=P(A)·[1-P()·P()]=0.8×(1-0.1×0.1)=0.792.。

教学资料范本【2020最新】人教B版高中数学-选修2-3教学案事件的独立性（Word）编辑：__________________时间：__________________20xx最新人教B版高中数学-选修2-3教学案事件的独立性（Word）甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，B为“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)．提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝＝.问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：因为P(B|A)＝＝＝，所以P(B|A)与P(B)相等．问题4：P(A∩B)与P(A)×P(B)相等吗？提示：因为P(B|A)＝＝P(B)，所以P(A∩B)与P(A)×P(B)相等．1．相互独立事件的概念若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．3．相互独立事件同时发生的概率公式如果事件A与B相互独立，那么P(A∩B)＝P(A)×P(B)．1．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．当事件A与事件B相互独立，且P(A)＞0，P(B)＞0时，有P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．3．两个事件A，B相互独立的充要条件是P(A∩B)＝P(A)P(B)．注意：独立事件是依据事件之间的相互关系对事件进行区别划分的一种方式．事件的独立性既可以指两个事件之间的独立关系，也可以指多个事件之间的独立关系．事件独立性的判断[例1] 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 利用相互独立事件的定义判断．[精解详析] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B，则P(A)＝，P(B)＝×＋×＝，P(A∩B)＝＝.因为P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以二者不是相互独立事件．(2)因为把取出的白球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通]判断两个事件是否相互独立的方法：(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．1．下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．答案：A2．分别抛掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判定事件A，B是否相互独立．解：分别掷两颗质地均匀的骰子，则A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．A∩B＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有C·C＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝＝.所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)，即事件A、事件B相互独立.相互独立事件同时发生的概率[例2] 某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？[思路点拨] 明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，再选择公式计算．[精解详析] 分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用，∩ ∩表示，P(∩ ∩)＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(∩B∩C)∪(A∩∩C)∪(A∩B∩)表示．由于事件∩B∩C，A∩∩C和A∩B∩两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(∩B∩C)＋P(A∩∩C)＋P(A∩B∩)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.[一点通]1．公式P(A∩B)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件发生的概率，再求其积．3．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率是________．解析：用A表示从甲机床制造的产品中抽得正品，用B表示从乙机床制造的产品中抽得正品．由题意得，A，B是相互独立事件，故P(A ∩B)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.答案：0.9124．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．解析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，且P(∩∩)＝P()P()P()＝××＝.所以此密码被译出的概率为1－＝.答案：355．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．解：记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，，.根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为P＝P(D∩E∩)＋P(D∩∩F)＋P(∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝P(D)P(E)P()＋P(D)P()·P(F)＋P()P(E)·P(F)＋P(D)·P(E)P(F)＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.相互独立事件概率的实际应用[例3] (10分)三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[思路点拨] 记三个元件T1，T2，T3正常工作分别为事件A1，A2，A3，再把不发生故障的事件表示为(A2∪A3)∩A1，最后由相互独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式求概率．[精解详析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.(4分)不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，(6分)故不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)＝×＝.(10分)[一点通]解决此类问题应注意：(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件；(2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．6．如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性为( ) A．0.054 B．0.994C．0.496 D．0.06解析：记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P(∩∩)＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：B7．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3) ，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.法一：该选手被淘汰的概率为P(1)＋P(A1∩2)＋P(A1∩A2∩3)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＝＋×＋××＝.法二：该选手被淘汰的概率为1－P(A1∩A2∩A3)＝1－××＝.1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别：相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即A∩B＝∅概率公式A与B相互独立等价于P(A∩B)＝P(A)·P(B)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立2.常见事件的概率：A、B互斥A、B相互独立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(A)P(B)P(A∩B)0P(A)P(B)P(A∩B)1－[P(A)＋P(B)]P(A)P(B)P((A∩B)∪(A∩B))P(A)＋P(B)P(A)P(B)＋P(A)P(B) 1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A 与B是( )A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件 D．非相互独立事件解析：根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A 与B为非相互独立事件．答案：D2．某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( )A．0.64 B．0.56C．0.81 D．0.99解析：Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.答案：C3．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )A. B.1516C. D.1920解析：设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝＝，P(B)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝.答案：C4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )A. B.118C. D.23解析：由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，∴P()＝P()＝.∴P(A)＝.答案：D5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．解析：由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.答案：0.656．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立．∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P((A∩B)∪(∩))＝P(A∩B)＋P(∩)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.答案：127．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(A∩B)＝P(A)×P(B)＝×＝.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(∩)＝1－P()×P()＝1－×＝.8．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件1∩2∩A3，且这三次试跳相互独立．∴P(1∩2∩A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C.P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i＝0,1,2)，∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1∩N0＋M2∩N1，且M1∩N0，M2∩N1为互斥事件，则所求的概率为P(M1∩N0＋M2∩N1)＝P(M1∩N0)＋P(M2∩N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.∴甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.。