【2020年高考必备】陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)及解析

榆林市2020届高三月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞，9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．17B ．32C ．53D ．10 11. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（ ） A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x e x x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．），（122e e B ．），（e e 220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行. (1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0 ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3 ∴PO ＝2，CO ＝1∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分） 19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=- 11 - 23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<， 也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c -<<+成立．。

陕西省2020版高考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·宜昌月考) 定义一种集合运算，且 }，设，，则所表示的集合是________.2. （1分） (2018高二上·江苏月考) 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 =________3. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 已知m∈R，并且的实部和虚部相等，则m的值为________．4. （1分） (2016高一下·丰台期末) 设α是第二象限角，sinα= ，则cosα=________．5. （1分） (2016高二上·云龙期中) 已知点A（1，）在圆C：x2+y2=4上，则过点A的圆C的切线方程________．6. （1分）已知．若数列a1 ， a2 ， a3 ，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是________7. （1分） (2017高一下·温州期末) 设向量 =（2，1）， =（3，2），则| |=________．8. （1分） (2019高一下·静安期末) 类比反正切函数的定义，我们将函数的反函数定义为反余切函数，记为，则 ________．9. （1分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=________10. （1分） (2019高一下·北海期中) 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为________．11. （1分） (2018高二上·长安期末) 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C 于A, B两点，则 ________.12. （1分） (2016高一上·上海期中) 若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件14. （2分）给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，则；④若，，，，，则.其中为假命题的是（）A . ①B . ②C . ④D . ③15. （2分）长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，，则点C的轨迹是（）A . 线段B . 圆C . 椭圆D . 双曲线16. （2分）下列结论中，正确的是（）A . 幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1）B . 幂函数的图象可以出现在第四象限C . 当幂指数α取1，3，时，幂函数y=xa在定义域上是增函数D . 当幂指数α=﹣1时，幂函数y=xa在定义域上是减函数三、解答题 (共5题；共55分)17. （5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，若E为棱AB的中点，①求四棱锥B1﹣BCDE的体积②求证：面B1DC⊥面B1DE．18. （10分） (2019高二下·金华期末) 已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆在第一线象限的交点为．（1）求曲线、的方程；（2）在抛物线上任取一点P，在点P处作抛物线的切线l，若椭圆上存在两点关于直线l对称，求点P的纵坐标的取值范围．19. （15分） (2020高三上·四川月考) 某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥kc）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001Kc 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020. （15分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f （x）+f（y），③当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．21. （10分） (2016高二上·赣州期中) 已知n∈N* ，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{nan}的前n项和为Tn ，求证：对于任意正整数n，．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

陕西省2020年数学高三理数一模检测试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·绍兴期末) 复数为虚数单位）的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分）若点O和点F(-2,0)分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [3- ，）B . [3+ ，）C . [，）D . [，）4. （2分）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）A . 5B . 10C .D . 55. （2分） (2016高二上·仙桃期中) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·天水模拟) 下列有关命题的说法正确的是（）A . “x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B . “x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题7. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A . ﹣1008B . 1C . ﹣1D . 08. （2分）已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2 ，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）A . 11B . 10C . 9D . 89. （2分） (2019高二下·温州期中) 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A . 56个B . 48个C . 45个D . 42个10. （2分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为（）A . x2﹣3y2=﹣2B . x2﹣3y2=﹣2（x≠±1）C . x2﹣3y2=2D . x2﹣3y2=2（x≠±1）11. （2分）(2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xoy平面为投影面，得到的俯视图为（）A .B .C .D .12. （2分）已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A . lna＞b﹣1B . lna＜b﹣1C . lna=b﹣1D . 以上都不对二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·德州模拟) （x2+x+1）（1﹣x）4展开式中x2的系数为________．14. （1分）函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为________15. （1分） (2018高三上·荆门月考) 已知满足则的最小值为________.16. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 下列叙述：①函数是奇函数；②函数的一条对称轴方程为；③函数，，则f（x）的值域为；④函数有最小值，无最大值．所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高三上·沧州期末) 在等差数列中，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和 .18. （5分）(2018·攀枝花模拟) 如下图,四梭锥中, ⊥底面 ,, 为线段上一点， , 为的中点.(I)证明: 平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2017高二下·南昌期末) 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）①0.16[70，80）22②[80，90）140.28[90，100）③④合计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．（1）若是真命题，求m的取值范围；（2）若是真命题，是假命题，求m的取值范围．21. （5分）(2017·芜湖模拟) 已知函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范围．22. （10分）(2020·辽宁模拟) 已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若将曲线上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线．（1）写出直线l和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线的两个交点分别为A，B，求的值．23. （10分）(2019·肇庆模拟) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020届陕西省榆林市绥德县绥德中学高三下数学理第五次模拟试题数 学（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若21i z i -=+，则z z +=（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．32. 设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若A B φ=，则a 的取值范围为（ ）A ．(1，2)B ．(,1)(2,)-∞+∞C ．[1，2]D ．(,1][2,)-∞+∞ 3. 若曲线sin(4)(02)y x ϕϕπ=+<<关于点(,0)12π对称，则ϕ=（ ） A ．23π或53π B ．3π或43π C ．56π或116π D ．6π或76π 4. 若x >0，y <0，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2x －2y >x 2B ．1222log (1+)x y x ->C ．2y －2x >x 2 D. 1222log (1+)y x x ->2x －2y >x 25. 如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）A ．AC AD -B ．22AC AD - C ．AD AC -D ．22AD AC -6. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，512BC AC -=。

根据这些信息，可得sin234°＝（ ） A ．125- B.35+= C ．51+- D ．45+-7. 若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩在(－∞，a ]上的最大值为4，则a 的取值范围为)（ ）A ．[0，17]B ．(－∞，17]C ．[1，17]D ．[1，＋∞)8.如图，图C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点A(2，15)，则圆C 的半径为]（ ）A ．72B ．8C ．82D ．10 9. 函数||lg )33()(x x f x x -+=的图象大致为]（ ）yx O10. 2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡。

2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|||1}A x x =<，{|0}B x lgx =<，则(A B =I ) A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-2．（5分）复数1(ii-= ) A ．i -B ．iC ．1i --D ．1i -+3．（5分）已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b k =-r ，若a r与b r 共线，则|3|(a b +=r r )A ．3B ．4CD ．54．（5分）4(x展开式中含x 项的系数为( )A ．60-B ．24C ．120-D ．1205．（5分）某单位为了了解用电量y 度与气温x C ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆ2yx a =-+，预测当气温为4C -︒时，用电量度数为( ) A ．68B ．67C ．65D ．646．（5分）若a ，b ，c R ∈．且满足a b c >>，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2211a b> C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >7．（5分）设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题： ①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭②,,l m l n l m n αα⊥⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③//m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭⑤l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭其中为假命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）经过点(4,2)P -的抛物线的标准方程是( ) A ．2y x =或2x y = B ．2y x =或28x y = C ．2x y =或28y x =-D ．2y x = 或28x y =-9．（5分）将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是( )A ．函数()g x 在区间[12π，]2π上单调递增B ．()g x 图象关于直线712x π=对称C ．函数()g x 在区间[6π-，]3π上单调递减 D ．()g x 图象关于点(3π，0)中心对称 10．（5分）已知cos2)4απα+1tan (tan αα+= ) A ．8- B ．8C ．18-D ．1811．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，直线y =分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，若PF QF ⊥，则双曲线的离心率为( ) A1B1C ．2D12．（5分）定义新运算“⊕”如下：2,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩⊕…，已知函数()(1)2(2)([2f x x x x x =-∈-⊕⊕，2])，则满足(2)(2)f m f m -„的实数m 的取值范围是()A ．1[2，)+∞B ．1[2，2]C ．[0，1]D ．[1-，4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 ．14．（5分）已知()f x 是定义域R 上的奇函数，周期为4，且当[0x ∈，1]时，2()log (1)f x x =+，则(31)f = ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果1b =，3c =，23C π=，则ABC ∆的周长为 ．16．（5分）已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点． （1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值．18．（12分）一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155． （1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X ．19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，1n n S a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若1n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 20．（12分）已知()(2)x f x x e =-．（1）当0a …时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a …时，不等式21()2(4)2f x a x x +-+…在[0，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）如图椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的顶点为1A ，2A ，1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，11||A B =． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA QB u u u r u u u rg为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？ [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=-+⎧⎨=+⎩为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线2C 的极坐标方程为(sin )1ρθθ-=．（Ⅰ）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若P ，Q 分别是曲线1C 和2C 上的动点，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||1|f x x mx =++-，m R ∈． （Ⅰ）当2m =-时，求不等式()2f x „的解集；（Ⅱ）若()|3|f x x +„的解集包含[1，2]，求实数m 的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|||1}A x x =<，{|0}B x lgx =<，则(A B =I ) A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-【解答】解：{|11}A x x =-<<Q ，{|01}B x x =<<， (0,1)A B ∴=I ．故选：B ． 2．（5分）复数1(ii-= ) A ．i -B ．iC ．1i --D ．1i -+【解答】解：复数1(1)111i i i iz i i i i --+====----g 故选：C ．3．（5分）已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b k =-r ，若a r与b r 共线，则|3|(a b +=r r )A ．3B ．4CD ．5【解答】解：Q 向量(1,2)a =r ，(2,)b k =-r ，且a r与b r 共线， 2(2)0k ∴-⨯-=，解得4k =-， ∴(2,4)b =--r；3(312a b ∴+=⨯-rr ，224)(1⨯-=，2)，|3|a b ∴+=rr故选：C ． 4．（5分）4(x展开式中含x 项的系数为( )A ．60-B ．24C ．120-D ．120 【解答】解：4(x-展开式中的通项公式为34214(2)r rrr T C x-+=-g g ，令3412r -=，求得2r =，故含x 项的系数为224(2)24C -=g ， 故选：B ．5．（5分）某单位为了了解用电量y 度与气温x C ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆ2yx a =-+，预测当气温为4C -︒时，用电量度数为( ) A ．68 B ．67C ．65D ．64【解答】解：181310(1)104x +++-==，24343864404y +++==，2402060a y x =+=+=， 线性回归方程为：ˆ260yx =-+， 当4x =-时，ˆ86068y=+=， 当气温为4C -︒时，用电量度数为68， 故选：A ．6．（5分）若a ，b ，c R ∈．且满足a b c >>，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2211a b> C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【解答】解：A ．若1a =，2b =-，则11a b>，可知A 错误； B ．若1a =，12b =，则2211a b<，可知B 错误； C ．210c +>，∴211c >+，又a b >，∴2211a b c c >++，可知C 正确； D ．当0c =时，||||a c b c =，可知D 错误．故选：C ．7．（5分）设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题： ①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭②,,l m l n l m n αα⊥⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③//m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭⑤l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭其中为假命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭，错误，n 可以在平面α内： 对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候．才能推出线面垂直；对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确； ④直线m 和n 可以是异面直线．故错误； 对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确． 故假命题为3个； 故选：C ．8．（5分）经过点(4,2)P -的抛物线的标准方程是( ) A ．2y x =或2x y = B ．2y x =或28x y = C ．2x y =或28y x =-D ．2y x = 或28x y =-【解答】解：由于点(4,2)P -在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为22y px =，或22x my =-，把 点(4,2)P -代入方程可得12p =，或4m =， 故抛物线的标准方程2y x = 或28x y =-， 故选：D ．9．（5分）将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是( )A ．函数()g x 在区间[12π，]2π上单调递增B ．()g x 图象关于直线712x π=对称C ．函数()g x 在区间[6π-，]3π上单调递减 D ．()g x 图象关于点(3π，0)中心对称 【解答】解：将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移2π个单位长度得到2()sin(2)sin(2)33g x x x πππ=-+=-的 图象，在区间[12π，]2π上，22[32x ππ-∈-，]3π，()g x 单调递增，故A 正确；当712x π=，求得()1g x =，为最大值，故()g x 图象关于直线712x π=对称，故B 正确； 在区间[6π-，]3π上，22[3x ππ-∈-，0]，()g x 没有单调性，故C 不正确； 当3x π=时，求得()0g x =，故()g x 图象关于点(3π，0)中心对称，故D 正确， 故选：C ． 10．（5分）已知cos2)4απα+1tan (tan αα+= ) A ．8- B ．8C ．18-D ．18【解答】解：由cos2)4a a π=+，可得cos sin αα-=，所以51sin 24α-=，12sin cos 4αα=-又11tan 8tan sin cos a a αα+==-． 故选：A ．11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，直线y =分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，若PF QF ⊥，则双曲线的离心率为( ) A1B1C ．2D【解答】解：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y，将直线y =代入双曲线方程，并化简得222223a b x b a =-，222222333a b y x b a==-，故120x x +=，2212223a b x x b a =--，22121222333a b y y x x b a -==-， 设焦点坐标为(,0)F c ，由于PF QF ⊥，可得1(x c -，12)(y x c -，2)0y =． 即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得：42()6()30b ba a --=，解得2()3ba=+，故1e ==．故选：B ．12．（5分）定义新运算“⊕”如下：2,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩⊕…，已知函数()(1)2(2)([2f x x x x x =-∈-⊕⊕，2])，则满足(2)(2)f m f m -„的实数m 的取值范围是()A ．1[2，)+∞B ．1[2，2]C ．[0，1]D ．[1-，4]【解答】解：当21x -剟时，()1224f x x x =-⨯=-g ；当12x <„时，23()224f x x x x =-⨯=-g ； 所以34,21()4,12x x f x x x --⎧=⎨-<⎩剟„，易知，()4f x x =-在[2-，1]单调递增，3()4f x x =-在(1，2]单调递增， 且21x -剟时，()3max f x =-，12x <„时，()3min f x =-，则()f x 在[2-，2]上单调递增，所以(2)(2)f m f m -„得： 22222222m m m m --⎧⎪-⎨⎪-⎩剟剟„，解得01m 剟． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是12． 【解答】解：设第一次摸到黑球为事件A ，则P （A ）47=，第二次摸到白球为事件B ，则432()767P AB =⨯=，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为2()17(|)4()27P AB P B A P A ===．故答案为：1214．（5分）已知()f x 是定义域R 上的奇函数，周期为4，且当[0x ∈，1]时，2()log (1)f x x =+，则(31)f = 1- ．【解答】解：根据题意，()f x 是周期为4的周期函数，则(31)(132)(1)f f f =-+=-， 又由()f x 为奇函数，则(1)f f -=-（1）， 由于f （1）22log (11)log 21=+==， 故有(31)f f =-（1）1=-； 故答案为：1-15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果1b =，c =23C π=，则ABC ∆的周长为 2【解答】解：1b =Q ，c =，23C π=， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：213121()2a a =+-⨯⨯⨯-，解得：1a =或2-（舍去），ABC∴∆的周长为112a b c ++=+=故答案为：2．16．（5分）已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC=，PB=PC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 10π ． 【解答】解：由题意知BC 的中点O 为ABC ∆ 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ． 过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面ABC 内． 根据球的性质，球心一定在垂线l 上，Q 球心1O 一定在平面PBC 内，且球心1O 也是PBC ∆ 外接圆的圆心．在PBC ∆ 中，由余弦定理得2222cos 2PB BC PC PBC PB BC +-∠==g ，2sin PBC ∴∠=， 由正弦定理得：2sin PCR PBC=∠，解得10R =， ∴三棱锥的外接球的表面积2410R ππ==．故答案为：10π．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点． （1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值．【解答】（1）证明：Q 底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，CD AD ⊥．PA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥．PA AD A =Q I ，CD ∴⊥平面PAD ，AE ⊂Q 平面PAD ，CD AE ∴⊥，CD PD D =Q I ，AE ∴⊥平面PCD ，PC ⊂Q 平面PCD ，AE PC ∴⊥；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系． 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0E ，1，1)， (0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，(2,2,0)AC =u u u r，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z =r，则200m AB x m AE y z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(0,1,1)m =-r ； 设平面AEC 的一个法向量为(,,)n a b c =r，则2200n AC a b n AE b c ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1a =，得(1,1,1)n =-r ， 6cos ,||||32m n m n m n ∴<>===-⨯r rg r rr r g ，∴二面角B AE C --的正弦值为2631()3--=．18．（12分）一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155． （1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X ．【解答】解：（1）设有蜜蜂x 只，则其他昆虫为11x -，飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：2112112155xC C -=， 解得：4x =；（2）X 的取值为：0，1，2，3．373117(0)33C P X C ===，217431128(1)55C C P X C ===，127431114(2)55C C P X C ===，343114(3)165C P X C ===．随机变量X 的分布列： 因此X 的分布列为：72814412012333555516511EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，1n n S a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若1n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由题意，由1n n S a +=，可得当2n …时，1n n S a -=， 两式相减，得11n n n n n a S S a a -+=-=-，即12n na a +=， 11a =Q ，211a S ==，∴当2n …时，22n n a -=，验证1n =时不成立，∴数列{}n a 的通项公式为21,12,2n n n a n -=⎧=⎨⎩…． （2）由（1）知，12n n b n -=g ，*n N ∈． 231112232422n n S n -∴=++++⋯+g g g g g ， 2312121222(1)22n n n S n n -=+++⋯+-+g g g g g ，两式相减，可得231121222222(1)2112n n nn n n S n n n ---=++++⋯+-=-=---g g g ，(1)21n n S n ∴=-+g ．20．（12分）已知()(2)x f x x e =-．（1）当0a …时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a …时，不等式21()2(4)2f x a x x +-+…在[0，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知221()(24)(1)2g x x x a x =-+-．所以()(22)(1)(1)(2)x x g x x e a x x e a '=-+-=-+． 因为0a …，令()0g x '>，得1x >，此时函数单调递增；令()0g x '<，得1x <，此时函数单调递减； 所以()g x 在单调递增区间(1,)+∞，单调递减区间(,1)-∞；（2）设221()2[()2(4)](24)(4)42x h x f x a x x x e a x x =+++=-+++．因为()(22)2(2)x h x x e a x '=-++． 令()()(22)2(2)x m x h x x e a x ='=-++．则()22x m x xe a '=+，0x …． 因为0a >，有则()0m x '>，此时函数()y m x =在[0，)+∞上单调递增，则()(0)42m x m a =-…． （ⅰ）若420a -…即12a …时，()h x 在[0，)+∞上单调递增，则()(0)0min h x h ==恒成立； （ⅱ）若420a -<即102a <<时，则在[0，)+∞存在0()0h x '=． 此时函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(x x ∈，)+∞上单调递增且(0)410h a =-<， 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，21()2(4)2f x a x x +-+…在[0，)+∞恒成立，实数a 的取值范围为1[,)2+∞．21．（12分）如图椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的顶点为1A ，2A ，1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F，11||A B =． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA QB u u u r u u u rg为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？ 【解答】解：（1）由11||A B =223a b +=，①由题知c e a =又222a b c -=③，由①②③得：22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）①当直线l 的斜率不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,0)Q m ，直线l 的方程为1x ky =+，由22112x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210k y ky ++-=，∴1221222212k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴21212121212()()(1)(1)(2)QA QB x m x m y y ky ky m ky ky m y y =--+=++-++++u u u r u u u rg221(1)?(??)(1)21k y y k y y m m m =+++-+-+222(23)1212m k m m k --=+-++，令23112m --=，得54m =， 故此时点5(,0)4，716QA QB =-u u u r u u u r g ，②当直线l 的斜率为0时，显然成立，综上所述：在x 轴上存在定点5(,0)4Q ，使得QA QB u u u r u u u r g为定值． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=-+⎧⎨=+⎩为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线2C 的极坐标方程为(sin )1ρθθ-=．（Ⅰ）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若P ，Q 分别是曲线1C 和2C 上的动点，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=-+⎧⎨=+⎩为参数）转换为直角坐标方程为22(2)(2)1x y ++-=．直线2C 的极坐标方程为(sin )1ρθθ=10y -+=．（2）设点(2cos ,2sin )P θθ-++到直线10y -+=的距离|2cos()1|62d πθ+-==，当cos()16πθ+= [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||1|f x x mx =++-，m R ∈． （Ⅰ）当2m =-时，求不等式()2f x „的解集；（Ⅱ）若()|3|f x x +„的解集包含[1，2]，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当2m =-时，函数()|1||1||1||21|f x x mx x x =++-=+++， ①当1x -„时，原不等式可化为(1)(21)2x x -+-+„，化简得322x --„，解得：43x -…，所以：413x --剟， ②当112x -<-„时，原不等式可化为：(1)(21)2x x +-+„化简得：2x -„，解得2x -…，112x ∴-<-„； ③当12x >-时，原不等式可化为：(1)(21)2x x +++„化简得：322x +„，解得0x „，1:02x ∴-<„；综上所述不等式()2f x „的解集是：4[3-，0]；（Ⅱ）若()|3|f x x +„的解集包含[1，2]，可知：对任意的[1x ∈，2]，|1||1||3|x mx x ++-+„恒成立，即对任意的[1x ∈，2]，|1||3||1|mx x x -+-+„恒成立， 当[1x ∈，2]时，|3||1|(3)(1)2x x x x +-+=+-+= 对任意的[1x ∈，2]．|1|2mx -„恒成立，[1x ∈，2]．|1|2mx -„，13()()max min m x x ∴-剟1322m∴-剟； 即实数m 的取值范围为：1[2-，3]2；。

陕西省榆林市第一中学2024届高三第一次模拟考试理科数学试题一、单选题1．复数41i z i-=+的共轭复数的虚部为 A ．52i - B ．52- C ．52i D ．52 2．设集合{}2340A x x x =--<，12log B x y x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =I A ．()1,4- B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()0,4 3．某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1004．设x ，y 满足约束条件40,220,210,x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．105．在如图所示的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”.可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”.设2,1a b ==，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23 B ．59 C ．12 D ．496．对任意实数x ，有()4234012342(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，则01a a +的值为（ ）A ．20-B ．16-C ．22D ．307．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π12后所得的函数为奇函数，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为20cm ，半径为4cm ，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚3cm ，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为50cm ，35cm ，30cm .两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）A ．()31600π18048cm +B ．()31600π20080cm + C ．()31800π18048cm + D ．()31800π20080cm + 9．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,m b C a =u r ，1sin ,2cos 2n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭r .已知4a =，且m n u r r ∥，则22b c +的值为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．2410．已知函数()ln f x x x =+的零点为0x ，过原点作曲线()y f x =的切线l ，切点为(),P m n ，则00e x mx =（ ）A ．1eB ．eC ．21eD ．2e11．已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，以P 为圆心的圆经过点()1,0Q ，且与圆O 相交于,A B 两点.则点Q 到直线AB 的距离为（ ）A ．34B ．12 C ．14 D ．不是定值12．定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足(0)0f <，(3)(1)f x f x -=+，(2)()2g x g x -+=，1()(2)12g x f x +=+，则下列说法中错误．．的是（ ） A ．6x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．2是()g x 的一个周期C ．函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0D ．若*n ∈N 且2023n <，()(1)(2023)0f n f n f ++++=L ，则n 的最小值为2二、填空题13．已知()1,2a =r ，()1,3b =r ，则向量a r ，b r 的夹角的余弦值为.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点P 到定点()2,0Q p 的最小距离为2，则p =. 15．如图，已知球C 与圆锥VO 的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右支上有一点M ，满足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与y 轴相切，则双曲线C 的离心率为．三、解答题17．国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：(1)根据以上数据，判断能否有99％的把握认为保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．18．如图，在四棱锥E ABCD-中，EC⊥底面,,//,1,3 ABCD AB BC AB CD AB CB CD CE⊥====（1）若F 在侧棱DE 上，且2DF FE =，证明：//AF 平面BCE ；（2）求平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，21a =-，且()*2160n n n a a a n +++-=∈N ． (1)证明：{}13n n a a ++为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2F MN V 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()3,0G 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于E ，H 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得ETO HTG ∠=∠．若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数()()()2212ln f x x a x a x a =-++∈R ．(1)讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值()g a ；(2)若存在正实数0x ，使得()()2220000816261ln 2299910f x x a x a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭成立，求a 的值．22．已知倾斜角为45︒的直线l的参数方程为12x mt y =+⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．在直角坐标系xOy 中，(1,2)P ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为()225cos 14ρθ-=．直线l 与曲线M 交于,A B 两点．(1)求m 的值及曲线M 的直角坐标方程；(2)求||||PA PB ⋅的值．23．已知函数()|3|5,()|2|2f x x g x x =--=+-．(1)求不等式()2||f x x ≤的解集；(2)若不等式()()3f x g x m -≥-有解，求实数m 的取值范围．。

2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.54.(x −√x)4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.1205.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.646.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1bB.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|7.设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题：①m⊥αn⊥m}⇒n // α②l⊥m,l⊥nm,n⊂α}⇒l⊥α③m⊥αm⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.48.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.1811.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，直线y=√3x分别交双曲线左、右两支于P，Q两点，若PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√512.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求二面角B−AE−C的正弦值．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是21．55（1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．已知f(x)＝(x −2)e x ．（1）当a ≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x −1)2的单调区间；（2）若当a ≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若P，Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+1|+|mx−1|，m∈R．(Ⅰ)当m＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，求实数m的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)【解答】∵A ＝{x|−1<x <1}，B ＝{x|0<x <1}， ∴A ∩B ＝(0, 1)． 2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i【解答】 复数z =1−i i =(1−i)i −i⋅i =1+i −1=−1−i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.5【解答】∵向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，且a →与b →共线， ∴k −2×(−2)＝0， 解得k ＝−4， ∴b →=(−2, −4)；∴3a →+b →=(3×1−2, 2×2−4)＝(1, 2)， ∴|3a →+b →|=√12+22=√5； 4.(x −√x )4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.120【解答】 (x −√x )4展开式中的通项公式为T r+1=C 4r ⋅(−2)r⋅x4−3r 2，令4−3r 2=1，求得r ＝2，故含x 项的系数为C 42⋅(−2)2＝24，5.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.64【解答】 x ¯=18+13+10+(−1)4=10，y ¯=24+34+38+644=40，a =y ¯+2x ¯=40+20＝60， 线性回归方程为：y =−2x +60， 当x ＝−4时，y =8+60＝68， 当气温为−4∘C 时，用电量度数为68，6.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1b B.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|【解答】A ．若a ＝1，b ＝−2，则1a >1b ，可知A 错误； B ．若a ＝1，b =12，则1a 2<1b 2，可知B 错误；C ．c 2+1>0，∴1c 2+1>0，又a >b ，∴ac 2+1>bc 2+1，可知C 正确； D ．当c ＝0时，a|c|＝b|c|，可知D 错误．7.设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题： ①m ⊥αn ⊥m}⇒n // α ② l ⊥m,l ⊥n m,n ⊂α}⇒l ⊥α③ m ⊥αm ⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解答】对于①m⊥αn⊥m}⇒n // α，错误，n可以在平面α内：对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候．才能推出线面垂直；对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面直线．故错误；对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确．故假命题为3个；8.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y【解答】由于点P(4, −2)在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝−2my，把点P(4, −2)代入方程可得p=12，或m＝4，故抛物线的标准方程y2＝x或x2＝−8y，9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称 【解答】将函数f(x)＝sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)＝sin(2x −π+π3)＝sin(2x −2π3)的图象，在区间[π12, π2]上，2x −2π3∈[−π2, π3]，g(x)单调递增，故A 正确；当x =7π12，求得g(x)＝1，为最大值，故g(x)图象关于直线x =7π12对称，故B正确；在区间[−π6, π3]上，2x −2π3∈[−π, 0]，g(x)没有单调性，故C 不正确；当x =π3时，求得g(x)＝0，故g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称，故D 正确， 10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.18【解答】 由√2sin(a+π4)=√52，可得cosα−sinα=√52，所以1−sin2α=54，2sinαcosα=−14又tana +1tana =1sinαcosα=−8．11.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，直线y =√3x 分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，若PF ⊥QF ，则双曲线的离心率为（ ） A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√5【解答】设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，将直线y =√3x 代入双曲线方程，并化简得x 2=a 2b 2b 2−3a 2，y 2＝3x 2=3a 2b 2b 2−3a 2，故x 1+x 2＝0，x 1x 2=−a 2b 2b 2−3a 2，y 1y 2＝3x 1x 2=−3a 2b 2b −3a ，设焦点坐标为F(c, 0)，由于PF ⊥QF ，可得(x 1−c, y 1)(x 2−c, y 2)＝0． 即4x 1x 2+c 2＝0，即b 4−6a 2b 2−3a 4＝0，两边除以a 4得：(ba )4−6(ba )2−3=0，解得(ba )2=3+2√3，故e=√1+(ba)2=√4+2√3=√3+1．12.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]【解答】当−2≤x≤1时，f(x)＝1⋅x−2×2＝x−4；当1<x≤2时，f(x)＝x2⋅x−2×2＝x3−4；所以f(x)={x−4,−2≤x≤1x3−4,1<x≤2，易知，f(x)＝x−4在[−2, 1]单调递增，f(x)＝x3−4在(1, 2]单调递增，且−2≤x≤1时，f(x)max＝−3，1<x≤2时，f(x)min＝−3，则f(x)在[−2, 2]上单调递增，所以f(m−2)≤f(2m)得：{−2≤m−2≤2−2≤2m≤2m−2≤2m，解得0≤m≤1．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．【解答】设第一次摸到黑球为事件A，则P(A)=47，第二次摸到白球为事件B，则P(AB)=47×36=12，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2747=12．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．【解答】故答案为：−1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________+√3．【解答】∵b＝1，c=√3，C=2π3，∴由余弦定理c2＝a2+b2−2abcosC，可得：3＝a2+1−2×a×1×(−12)，解得：a＝1或−2（舍去），∴△ABC的周长为a+b+c＝1+1+√3=2+√3．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．【解答】由题意知BC的中点O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC．过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面ABC内．根据球的性质，球心一定在垂线l上，∵球心O1一定在平面PBC内，且球心O1也是△PBC外接圆的圆心．在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB 2+BC2−PC22PB⋅BC=√22，∴sin∠PBC=√22，由正弦定理得：PCsin∠PBC =2R，解得R=√102，∴三棱锥的外接球的表面积＝4πR2＝10π．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE ⊥PC ；（2）求二面角B −AE −C 的正弦值． 【解答】证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝2，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD ，CD ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ． ∵PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ， ∵CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵PC ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PC ；以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，E(0, 1, 1)， AE →=(0,1,1)，AB →=(2,0,0)，AC →=(2,2,0)， 设平面ABE 的一个法向量m →=(x,y,z)，则{m →⋅AB →=2x =0m →⋅AE →=y +z =0，取y ＝1，得m →=(0,1,−1)； 设平面AEC 的一个法向量为n →=(a,b,c)，则{n →⋅AC →=2a +2b =0n →⋅AE →=b +c =0，取a ＝1，得n →=(1,−1,1)， ∴cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√3×√2=−√63， ∴二面角B −AE −C 的正弦值为√1−(−√63)2=√33．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155． （1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望E(X)． 【解答】设有蜜蜂x 只，则其他昆虫为11−x ， 飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：C 11−x 2C 112=2155，解得：x ＝4；X 的取值为：0，1，2，3． P(X ＝0)=C 73C 113=733，P(X ＝1)=C 72C41C 113=2855， P(X ＝2)=C 71C42C 113=1455，P(X ＝3)=C 43C 113=4165．随机变量X 的分布列： 因此X 的分布列为：∴EX =0×733+1×2855+2×1455+3×4165=1211．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S ，若a 1＝1，S n ＝a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若b n ＝na n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】由题意，由S n ＝a n+1，可得 当n ≥2时，S n−1＝a n ，两式相减，得a n＝S n−S n−1＝a n+1−a n，即a n+1a n=2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n−1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n={1,n=1;2n−1,n≥2.．由（1）知，b n＝n⋅2n，n∈N∗．∴S n＝1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2S n＝1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减，可得−S n＝2+22+23+...+2n−n⋅2n+1=2−2n+11−2−n⋅2n+1＝(1−n)⋅2n+1−2，∴S n＝(n−1)⋅2n+1+2．已知f(x)＝(x−2)e x．（1）当a≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x−1)2的单调区间；（2）若当a≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】由题意知g(x)＝(2x−4)x2+12a(x−1)2．所以g′(x)＝(2x−2)e x+a(x−1)＝(x−1)(2e x+a)．因为a≥0，令g′(x)>0，得x>1，此时函数单调递增；令g′(x)<0，得x<1，此时函数单调递减；所以g(x)在单调递增区间(1, +∞)，单调递减区间(−∞, 1)；设ℎ(x)＝2[f(x)+2+12a(x2+4x)]＝(2x−4)e x+a(x2+4x)+4．因为ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．令m(x)＝ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．则m′(x)＝2xe x+2a，x≥0．因为a>0，有则m′(x)>0，此时函数y＝m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)＝4a−2．(ⅰ)若4a −2≥0即a ≥12时，ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增， 则ℎ(x)min ＝ℎ(0)＝0恒成立；(ⅱ)若4a −2<0即0<a <12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x 0)＝0．此时函数ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，x ∈(x 0, +∞)上单调递增且ℎ(0)＝4a −1<0，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)恒成立， 实数a 的取值范围为[12,+∞)．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？ 【解答】由|A 1B 1|=√3知，a 2+b 2＝3，① 由题知e =ca =√22② 又a 2−b 2＝c 2③，由①②③得：a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1； ①当直线l 的斜率不为0时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，Q(m, 0)，直线l 的方程为x ＝ky +1， 由{x =ky +1x 22+y 2=1 ，得(k 2+2)y 2+2ky −1＝0，∴{y 1+y 2=−2kk 2+2y 1y 2=−1k +2 ， ∴QA →⋅QB →=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(ky 1+1)(ky 2+1)−m(ky 1+ky 2+2)+m 2+y 1y 2＝(k 2+1)y 1y₂+k(y₁+y₂)(1−m)+m 2−2m +1=(2m−3)k 2−1k 2+2+m 2−2m +1，令2m−31=−12，得m =54， 故此时点(54,0)，QA →⋅QB →=−716， ②当直线l 的斜率为0时，显然成立，综上所述：在x 轴上存在定点Q(54,0)，使得QA →⋅QB →为定值． [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求|PQ|的最小值． 【解答】（1）曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα （α为参数）转换为直角坐标方程为(x +2)2+(y −2)2＝1．直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1，转换为直角坐标方程为√3x −y +1=0．（2）设点P(−2+cosθ, 2+sinθ)到直线√3x −y +1=0的距离d =√3+√3cosθ−sinθ−2+1|√3+1=|2cos(θ+π6)−2√3−1|2，当cos(θ+π6)=1时，最小值为2√3−12． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|，m ∈R ． (Ⅰ)当m ＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x +3|的解集包含[1, 2]，求实数m 的取值范围． 【解答】（1）当m ＝−2时，函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|＝|x +1|+|2x +1|， ①当x ≤−1时，原不等式可化为−(x +1)−(2x +1)≤2， 化简得−3x −2≤2，解得：x ≥−43，所以：−43≤x ≤−1，②当−1<x≤−12时，原不等式可化为：(x+1)−(2x+1)≤2化简得：−x≤2，解得x≥−2，∴−1<x≤−12；③当x>−12时，原不等式可化为：(x+1)+(2x+1)≤2化简得：3x+2≤2，解得x≤0，∴：−12<x≤0；综上所述不等式f(x)≤2的解集是：[−43, 0]；（2）若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，可知：对任意的x∈[1, 2]，|x+ 1|+|mx−1|≤|x+3|恒成立，即对任意的x∈[1, 2]，|mx−1|≤|x+3|−|x+1|恒成立，当x∈[1, 2]时，|x+3|−|x+1|＝(x+3)−(x+1)＝2对任意的x∈[1, 2]．|mx−1|≤2恒成立，x∈[1, 2]．|mx−1|≤2，∴(−1x )max≤m≤(3x)min∴−12≤m≤32；即实数m的取值范围为：[−12, 32 ]；。

2020届陕西省榆林市高三下学期4月线上高考模拟测试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}.故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可. 【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2288316z =-+=.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.4．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B【解析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】 由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2αα-=+222sin 21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.5．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u ur u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．2【解析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD kBC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.6．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【解析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.8．已知函数3sin ()(1)()x xx xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 9．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D【解析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则3233AD AM AD ===， 226PM PA AM ∴=-=， 13623P ABC V -∴==设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则134434P ABC O ABC V V r --==⨯⨯， 解得：612r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ，在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，2213R R ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，解得4R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 10．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】先求得()'f x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基11．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）A ．43B ．16C ．43π D ．8π【答案】C【解析】根据,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，判断出2MD AM =，建立平面直角坐标系，求得M 点的轨迹方程，由此求得点M 的轨迹长度. 【详解】由于平面ABCD ⊥平面ADEF ，且交线为AD ，,AB AD CD AD ⊥⊥，所以AB ⊥平面ADEF ，CD ⊥平面ADEF .所以BMA ∠和CMD ∠分别是直线,MB MC 与平面ADEF 所成的角，所以BMA CMD ∠=∠，所以tan tan BMA CMD ∠=∠，即AB CDAM MD=，所以2MD AM =.以A 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则()0,0A ，()6,0D ，设(),M x y （点M 在第一象限内），由2MD AM =得224MD AM=，即()()222264x y x y -+=+，化简得()22224x y ++=，由于点M在第一象限内，所以M 点的轨迹是以()2,0G-为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令0x =代入原的方程，解得y =±，故(H ，由于2GA =，所以3HGA π∠=，所以点M 的轨迹长度为4433ππ⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B【解析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项. 【详解】()()''2,2f x g x x x ==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为2x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得11()()212ln 10h x x x x =+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A 的半径为2426=，所以阴影部分的面积是()2126324ππ⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.二、填空题13．设1234x x x x 、、、为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为,X Y 的方差，则DX _____DY ．（填>，<，=）【答案】>【解析】根据方差计算公式，计算出,DX DY 的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【详解】()123414EX x x x x =+++，故 ()()()()2222123414DX x EX x EX x EX x EX ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦()4221144i i x EX =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑. ()23341241123411422224x x x x x xx x EY x x x x EX ++++⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，222223341241142222x x x x x x x x DY EX EX EX EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22222233412411442222x x x x x x x x EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 要比较,DX DY 的大小，只需比较421ii x=∑与2222233412412222x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两者作差并化简得 2222422334124112222i i x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ ()2222123412233441222224x x x x x x x x x x x x +++-+++=()()()()2222122334414x x x x x x x x -+-+-+-=①，由于1234,,,x x x x 为互不相等的正实数，故0>①，也即2222422334124112222ii x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，也即DX DY >. 故答案为：> 【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.14．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b A c =，则B ∠=________. 【答案】150︒【解析】利用正弦定理边化角可得2sin cos 0A B A =，从而可得cos 2B =-，进而求解. 【详解】由2cos 2b A c =，由正弦定理可得2sin cos 2sin B A C A =+， 即()2sin cos 2sin B A A B A =++，整理可得2sin cos 0A B A +=， 又因为sin 0A ≠，所以cos B =， 因为0180B <<o ，所以150B =o ， 故答案为：150︒ 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.15．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，2的最小值________. 【答案】2【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线by x a=，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =，222==利用基本不等式即可求解. 【详解】由双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >，可得一条渐近线by x a=，一个顶点(),0a ，2ab bc==，解得2c a =，22222===+≥，当且仅当3a =时，取等号， 2的最小值为2.故答案为：2 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.16．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.【答案】13-【解析】根据()()2f x f x +=-可得函数()f x 以4为周期的函数，令()g 22x x k -+=，可求()21x g x =-，从而可得()()21x f x g x ==-，()()22log 122log 3f f =--代入解析式即可求解.【详解】令()g 22xx k -+=，则()g 22xx k =+-，由()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，则()1g k =，所以()g 221kk k =+-=，解得1k =，所以()21xg x =-，由[]0,1x ∈时，()()f x g x =， 所以[]0,1x ∈时，()21xf x =-；由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 以4为周期的函数，()()()()22222log 12log 3log 4log 32log 32f f f f =+=+=-，又函数()f x 为奇函数，所以()()22log 3221log 122log 3213f f -⎡⎤=--=--=-⎣⎦. 故答案为：13- 【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 为公差为d 的等差数列，0d >，44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2n an b =.（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（2）若12nn n n b c S S +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）122n n S +=-（2）211222n +-- 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差1d =，从而求出22n a n n b ==，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.（2）由（1）求出n c ，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2319a a a ∴=，即：()()()244345d d d -=-+，0d >Q ，1d ∴=，n a n ∴=，22n a n n b ∴==，()12122212n n n S +-∴==--；（2）111111211n n n n n n n n n n n n n b b S S c S S S S S S S S ++++++-====-⋅⋅⋅Q ，212231111111111111222n n n n n S S S S S S S S S +++∴=-+-++-=-=--L . 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面5,1,5,sin ABCD PD AD AB ABD ===∠=．（1）证明：PA BD ⊥；（2）求二面角A PB C --的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1）利用正弦定理求得sin 1ADB ∠=，由此得到90ADB BD AD ∠=⇒⊥o ，结合PD BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，由此证得PA BD ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用平面ABP 和平面PBC 的法向量，计算出二面角A PBC --的余弦值，再转化为正弦值.【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB ADADB ABD=∠∠，sin sin 1,90,AB ABDADB ADB BD AD AD︒⋅∠∴∠==∴∠=∴⊥，PD ⊥Q 底面,ABCD PD BD ∴⊥， BD ∴⊥平面PAD ，PA BD ∴⊥；（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，1,2PD AD AB BD ===∴=Q ，(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(1,0, 0), (0,2,1)A B C P AB CB PB ∴-=-==-u u u r u u u r u u u r设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r ，由00n AB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv v u u u v v 可得：2020x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则(2,1,2)n =r，设平面PBC 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，由00m CB m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得:111020x y z =⎧⎨-=⎩，令11y =，则(0,1,2)m =u r，设二面角A PB C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，则cos cos ,||||m n m n m n θ⋅=-<>=-==⋅u r ru r r u r r ，2sin 3θ∴==，故二面角A PB C --的正弦值为23.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为(0)k k ≠的直线m 与C 交于两点,A B ，过,A B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点,M N ．（1）证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值． 【答案】（1）见解析（2）最小值为32．【解析】（1）根据抛物线的定义，判断出C 的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C 的方程.设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此求得P 点的坐标.写出直线m 的方程，联立直线m 的方程和曲线C 的方程，根据韦达定理求得P 点的坐标，并由此判断出P 始终在直线l 上，且PF AB ⊥.（2）设直线AB 的倾斜角为α，求得AB 的表达式，求得MN 的表达式，由此求得四边形AMBN 的面积的表达式进而求得四边形AMBN 的面积的最小值． 【详解】(1)∵动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，∴动圆圆心到定点(0,1)F 和定直线1y =-的距离相等，∴动圆圆心的轨迹C 是以(0,1)F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程为：24x y =，设2221212(,),(,),4,442x x xA xB x x y y '=∴=Q ，∴直线PA 的方程为：2111()42x x y x x -=-，即：21142y x x x =-①，同理，直线PB 的方程为：22242y x x x =-②，由①②可得：1212(,)24x x x x P +， 直线m 方程为：1y kx =+，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得：2440,(2,1)x kx P k --=∴-， 11PF k k k k∴⨯=-⨯=-，∴点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥；（2）设直线AB 的倾斜角为α，由（1）可得：2221224||14(1)4(1tan )cos AB k x x k αα=+-=+=+=， 2244||cos 90si )n (MN αα︒∴==+，∴四边形AMBN 的面积为：2221832||||322sin cos sin 2AB MN ααα⨯⨯==≥，当且仅当45α=o 或135o ，即1k =±时取等号，∴四边形AMBN 的面积的最小值为32. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID —19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，…，10）建立模型yc dt =+$和 1.5t y a b =+⋅$.（1）根据散点图判断，yc dt =+$与 1.5t y a b =+⋅$哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据（()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-. 参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑.【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅$适宜（2）10201.5t y ∴=+⋅$（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效【解析】（1）根据散点图即可判断出结果.（2）设 1.5t ω=，则ya b ω=+$，求出b $，再由回归方程过样本中心点求出$a ，即可求出回归方程.（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当15t =时，10150y=$，与真实值作比较即可判断有效. 【详解】（1）根据散点图可知：1.5t ya b =+⋅$适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型； （2）设 1.5t ω=，则ya b ω=+$，()()()1010111010222111010iii ii i iii i y y y yb ωωωωωωωω====---==--∑∑∑∑$21547001019390207401019-⨯⨯==-⨯，390201910ay b ω=-=-⨯=$$， 10201.5t y∴=+⋅$； （3）（ⅰ）11t=时，2010y=$，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =$，301027440.12744-<，当13t =时，4510y=$，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠：（ⅱ）当15t =时，10150y=$， 10150远大于7111，所以防护措施有效. 【点睛】本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题. 21．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中0a >． （1）讨论函数()f x 的零点个数； （2）求证：sin ln 1x e x x x +>+．【答案】（1）1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点；（2）见解析【解析】（1）利用()f x 的导函数，求得()f x 的最大值的表达式，对a 进行分类讨论，由此判断出()f x 的零点的个数.（2）由ln 1x x ≤-，得到2ln 11x x x x +≤-+和1x x e -≤，构造函数2()sin 1x h x e x x x =+-+-，利用导数证得()0h x >，即有2sin 1x e x x x +>-+，从而证得2sin 1ln 1x e x x x x x +>-+>+，即sin ln 1x e x x x +>+. 【详解】 （1）1()(0,0)axf x a x x'-=>>Q ， ∴当1(0,)x a ∈时，()0f x >，当1(,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '<∴在1(0,)a上递增，在1(,)a+∞上递减，1()()ln 1f x f a a a ∴≤=-+-.令()ln 1(ln 1),()g x x x x x g x =-+-=--+∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0,ln 10g x g a a ≥=∴-+-≥，当且仅当1a =时取等号．①1a =时，()f x 有一个零点； ②1a >时，11111(0,1),()ln (0,1),ln 10,(1)0,()0a a a f a a f a a f f a a aa e e ⎛⎫∈=-+-∈=-+->==-< ⎪⎝⎭，此时()f x 有两个零点； ③01a <<时，211111,()ln 10,(1)0,()2ln f a a f f a a a a a a>=-+->==--+，令221(1)()2ln (1),()0,()x x x x x x x x xϕϕϕ'-=--+>∴=>∴在(0,1)上递增，211()(1)0,()2ln 0x f a a a aϕϕ<=∴=--+<，此时()f x 有两个零点； 综上:1a =时，()f x 有一个零点;当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点; （2）由（1）可知：21ln 1,ln 11,x x x x x x x x e -≤-∴+≤-+≤，令2()sin 1,()cos 2121cos 0,x x h x e x x x h x e x x ex x x '=+-+-=+-+≥-++>()h x ∴在()0,∞+上递增，2()(0)0,sin 1ln 1x h x h e x x x x x >=∴+>-+>+．本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知1C ：2220x y y +-=，2C6y +=，3C ：()00kx y k -=>. （1）求1C 与2C 的极坐标方程（2）若1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，OA OB λ=，求λ的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=；2C的极坐标方程为：cos sin 6θρθ+=（2）12【解析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可转化.（2）由3C ：()00kx y k -=>，可得θα=，代入1C 与2C 的极坐标方程求出,OA OB ，从而可得22sin cos 6OAOB ααλ+==，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）1C Q ：2220x y y +-=，22sin ρρθ∴=，1C ∴的极坐标方程为2sin ρθ=2C Q6y +=，cos sin 6θρθ+=，2C ∴cos sin 6θρθ+=，（2）3C Q ：()00kx y k -=>，则θα=（α为锐角），2sin OA α∴=，OB =OAOB λ∴==π2sin 11662α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤，当π3α=时取等号.本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.23．已知函数()24f x x x =+-，设()f x 的最小值为m . （1）求m 的值；（2）是否存在实数a ，b ，使得22a b +=，12m a b+=？并说明理由. 【答案】（1）4（2）不存在；详见解析【解析】（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m .（2）由()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）()43,0244,0434,4x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=+-=+<<⎨⎪-≥⎩()04m f ∴==；（2）()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若a ，b 同号，8529b a a b ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，不成立； 或a ，b 异号，8525b a a b ⎛⎫=++<⎪⎝⎭，不成立； 故不存在实数a ，b ，使得22a b +=，12m a b+=. 【点睛】本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.。

陕西榆林市二中2020届高三上第四次模拟考数学（理）试题一、单选题1．设集合()A {x |y lg x 3}==-，x B {y |y 2,x R}==∈，则A B ⋃等于()A ．∅B ．RC ．{}x x 1D ．{}x x 0【答案】D【解析】求定义域得集合A ，求值域得集合B ，根据并集的定义写出A B ⋃． 【详解】集合(){}{}A {x |y lgx 3}x x 30x x 3==-=-=，{}x B {y |y 2,x R}y y 0==∈=，则{}A B x x 0⋃=．故选：D ． 【点睛】本题考查了并集的运算问题，涉及函数的定义域和值域的求解问题，是基础题． 2．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“x R ∀∈，则211x +≥”的否定是“x R ∃∈，则211x +<”；④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④。

【详解】根据复合命题真假的判断，若“p 且q ”为假命题，则p 或q 至少有一个为假命题，所以①错误；根据否命题定义，命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”为真命题，所以②正确；根据含有量词的否定，“2,11x R x ∀∈+…”的否定是“2,11x x ∃∈+<R ”，所以③正确；根据正弦定理，“A B >”⇒“sin sin A B >”且“A B >”⇐“sin sin A B >”，所以④正确。