不等式的基本性质--习题精选(一)

1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知m ，n ∈R ，则1m >1n成立的一个充要条件是() A ．m >0>n B ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0 解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn>0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0. 答案：D2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ； 而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．ab 2>cb 2D ．a (a －c )<0解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．答案：A4．设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a <b 且a >0，b >0，则1a >1b ⇒－1a <－1b ， 所以a －1a <b －1b. 若a －1a <b －1b， 且a >0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .答案：C5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则()A.1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0xy ＞1 ln(xy )＞0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． 答案：C二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0， 所以a ＜1a. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值X 围是______．解析：因为－4＜b ＜2，所以0≤|b |＜4，所以－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，所以－3＜a －|b |＜3.答案：(－3，3)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三、解答题9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值X 围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝52.所以3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤3a －2b ≤10.10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －bb （b ＋1）.因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －bb （b ＋1）＞0.所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级 能力提升1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则()A ．a c ＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：法一 由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝xc －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c＞ba c ，B 错； 易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错； 由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．法二 依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确． 答案：C2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a （a －1）＝a －b a （a －1）. 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知c a ＞d b，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

2　不等式的基本性质基础过关全练知识点1　不等式的基本性质1.(重庆期末)若a>b,则下列不等式不成立的是( )A.2a-5>2b-5B.-4a>-4bC.a+1>b+1D.-a2<−b22.(广西贵港中考)如果a<b,c<0,那么下列不等式中不成立的是( )A.a+c<b+cB.ac>bcC.ac+1>bc+1D.ac2>bc23.(安徽宿州泗县期中)下列说法错误的是( )A.若a-4>b-4,则a>bB.若a1+m2>b1+m2,则a>bC.若a<b,则am<bmD.若a>b,则a+5>b+54.【新独家原创】若点P(m-2,0)在x轴的负半轴上,且(m-2)x>(m-2)y,则x和y的大小关系为 .5.【新考向·阅读理解试题】(辽宁沈阳新民期中)阅读下列解题过程,再解决问题.已知m<n,试比较-2 023m+1与-2 023n+1的大小.解:因为m<n,①所以-2 023m<-2 023n,②故-2 023m+1<-2 023n+1.③(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误;(2)错误的原因是什么?(3)请写出正确的解题过程.知识点2　用不等式的基本性质化简不等式6.(安徽合肥瑶海期末)下列说法正确的是( )A.如果-12x>1,那么x<-12B.如果-x>2,那么x<2C.如果2x<-2,那么x>-1D.如果-12x<0那么x>07.(2021山东滨州月考)根据要求,回答下列问题:(1)由2x>x-12,得2x-x>-12,依据是 ;(2)由13x >x−12,得2x>6x-3,依据是 .8.【教材变式·P140习题T2】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>(≥)a”或“x<(≤)a”的形式(在括号中注明使用的是不等式的哪条基本性质):(1)-6x<18; (2)2x ≤3x+6;(3)x>13x−2; (4)x -12>3x +14.能力提升全练9.(北京中考,4,★☆☆)已知a-1>0,则下列结论正确的是( )A.-1<-a<a<1B.-a<-1<1<aC.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a10.(山东济南莱芜期末,6,★★☆)若a-1<b-1,则下列各不等式中成立的是( )A.a+c>b+cB.-2a<-2bC.ac<bcD.a+1<b+311.(2021山东临沂中考,13,★★☆)已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则1a <1b.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412.(山东济宁兖州期末,13,★★☆)已知x<y,请写出一个实数a,使得ax>ay.你所写的实数a是 .13.(2022江西萍乡月考,16,★★☆)江上某座桥桥头的限重标志如图所示,其中的“60 t”表示该桥梁限制载重后总质量超过60 t的车辆过桥梁.设一辆自重18 t的卡车,其载重的质量为x t.(1)若这辆卡车要通过这座桥,则x应满足的不等式为 ;(2)将(1)中所列的不等式化为“x<(≤)a”或“x>(≥)a”的形式.素养探究全练14.【推理能力】【新考向·代数推理】(陕西西安月考)【阅读】根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“作差法”.【理解】(1)若a-b+2>0,则a+1 b-1.(填“>”“=”或“<”)【运用】(2)若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N的大小.【拓展】(3)请运用“作差法”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案:方案一:用5块A型钢板,6块B型钢板.方案二:用4块A型钢板,7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2,试比较S1,S2的大小.答案全解全析基础过关全练1.B　A.∵a>b,∴2a>2b,∴2a-5>2b-5,故A不合题意;B.∵a>b,∴-4a<-4b,故B符合题意;C.∵a>b,∴a+1>b+1,故C不合题意;D.∵a>b,∴a2>b2,∴−a2<−b2,故D不合题意.故选B.2.D　由a<b,c<0得到a+c<b+c,ac>bc,ac+1>bc+1,ac2<bc2,故A,B,C中的不等式成立,D 中的不等式不成立,故选D.3.C　A项,不等式两边都加上4,不等号的方向不变,故原变形正确;B项,易知1+m2>0,不等式两边都乘1+m2,不等号的方向不变,故原变形正确;C项,不等式两边都乘m,必须规定m>0,才有am<bm,原变形错误;D项,不等式两边都加上5,不等号的方向不变,故原变形正确.故选C.4.答案　x<y解析　∵点P(m-2,0)在x轴的负半轴上,∴m-2<0,根据不等式的基本性质3,在不等式(m-2)x>(m-2)y的两边同时除以m-2,得x<y.5.解析　(1)②.(2)错误的原因是错误地运用了不等式的基本性质3,即不等式两边乘同一个负数,不等号的方向没有改变.(3)正确的解题过程如下:因为m<n,所以-2 023m>-2 023n,故-2 023m+1>-2 023n+1.6.D A 项,如果-12x>1,那么x<-2,故A 不合题意;B 项,如果-x>2,那么x<-2,故B 不合题意;C 项,如果2x<-2,那么x<-1,故C 不合题意;D 项,如果-12x<0,那么x>0,故D 符合题意.故选D.7.答案　(1)不等式的基本性质1　(2)不等式的基本性质28.解析　(1)∵-6x<18,∴-6x÷(-6)>18÷(-6),即x>-3(不等式的基本性质3).(2)∵2x ≤3x+6,∴2x-3x ≤3x+6-3x(不等式的基本性质1),∴-x ≤6,∴x ≥-6(不等式的基本性质3).(3)∵x>13x−2,∴x−13x >13x−2−13x(不等式的基本性质1),∴23x>-2,∴x>-3(不等式的基本性质2).(4)∵x−12>3x +14,∴2x-2>3x+1(不等式的基本性质2),∴2x-2-3x+2>3x+1-3x+2(不等式的基本性质1),∴-x>3,∴x<-3(不等式的基本性质3).能力提升全练9.B ∵a-1>0,∴a>1,∴-a<-1,∴-a<-1<1<a,故选B.10.D ∵a-1<b-1,∴a<b.A 项,不等式a<b 两边同时加上一个相同的数,不等号的方向不变,故不符合题意;B 项,不等式a<b 两边同时乘一个负数,不等号方向改变,故不符合题意;C 项,若c=0,则ac=bc,若c<0,则ac>bc,故不符合题意;D 项,∵a<b,∴a+1<b+1,∴a+1<b+1+2,∴a+1<b+3,故符合题意.故选D.11.A ∵a>b,∴当a>0时,a 2>ab,当a=0时,a 2=ab,当a<0时,a 2<ab,故结论①错误;∵a>b,∴当|a|>|b|时,a 2>b 2,当|a|<|b|时,a 2<b 2,当|a|=|b|时,a 2=b 2,故结论②错误;∵a>b,b<0,∴a+b>2b,故结论③错误;∵a>b,b>0,∴a>b>0,∴1a <1b ,故结论④正确.∴正确的个数是1.故选A.12.答案　-2(答案不唯一)解析　由题意可知不等式x<y两边同时乘a后,不等号的方向发生改变,因此a是负数,∴所写的实数a可以是-2.(答案不唯一)13.解析　(1)18+x≤60.(2)18+x≤60,不等式的两边同时减去18,得x≤60-18,∴x≤42.素养探究全练14.解析　(1)∵a+1-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2>0,∴a+1>b-1.故答案为>.(2)∵M=a2+3b,N=2a2+3b+1,∴M-N=a2+3b-(2a2+3b+1)=a2+3b-2a2-3b-1=-a2-1,∵-a2-1<0,∴M<N.(3)设每块A型钢板的面积为a,每块B型钢板的面积为b,∵方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2,∴S1=5a+6b,S2=4a+7b,∴S1-S2=5a+6b-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b,∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即a<b,∴a-b<0,∴S1<S2.。

运算题卡1：不等式的基本性质一、解答题1.利用不等式的性质填空:(1)若a b >,要使ac bc <,则c ________0.(2)若,0a b c <>,则ac c +________bc c +.(3)若33a b >,则a ________b . (4)若x y <,试比较大小:28x -________28y -.(5)若a b >,则20202a -________20202b -.(6)若22ac bc >,则a ________b .(7)由122x x >-得122x x ->-,其依据是________; (8)由1132x x >-得263x x >-,其依据是________; (9)若25x +>,则x ________3,其依据是________;(10)若314x -<-,则x ________43,其依据是________. 2.根据不等式的性质,将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式.(1)435x x >+;(2)217x -<;(3)106x -<-; (4)123x ->-; (5)12x x -+;(6)1017x x ->.参考答案1.答案：(1)< (2)< (3)> (4)< (5)< (6)>(7)不等式的基本性质1(8)不等式的基本性质2(9)> 不等式的基本性质1(10)> 不等式的基本性质32.答案：见解析解析：(1)根据不等式的基本性质1,两边都减3x ,得5x >.(2)根据不等式的基本性质3,两边都除以2-,得x >172-. (3)根据不等式的基本性质1,两边都加上10,得4x <.(4)根据不等式的基本性质3,两边都乘3-,得6x <.(5)根据不等式的基本性质1,两边都减1,得1x x -+, 根据不等式的基本性质1,两边都减x ,得21x -,根据不等式的基本性质3,两边都除以2-,得12x -. (6)根据不等式的基本性质1,两边都减7x ,得310x ->,根据不等式的基本性质1,两边都加上1,得31x >,根据不等式的基本性质2,两边都除以3,得13x >.。

不等式与不等式的基本性质训练题及答案一、选择题（共10小题；共30分）1. 下列不等式的解集中，不包括的是 ( )A. B. C. D.2. 据丽水气象台"天气预报"报道，今天的最低气温是，最高气温是，则今天气温的范围是 ( )A. B. C. D.3. 若，则下列不等式中错误的是 ( )A. B.C. D.4. 已知实数，，若，则下列结论正确的是 ( )A. B. C. D.5. 设，，表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是A. B. C. D.6. 不等式的解集在数轴上表示为 ( )A. B.C. D.7. 下列数值中不是不等式的解的是 ( )A. B. C. D.8. 由得的条件是 ( )A. B. C. D.9. 如图所示，，两点在数轴上表示的数分别是，，则下列式子中成立的是A. B.C. D.10. 王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支元，笔记本每本元，王芳同学花了元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于元） ( )A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共18分）11. 如图，身高为的号同学与身高为的号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成（用“ ”或“ ”填空）．12. 若，，则．13. 如果且是负数，那么的取值范围是．14. 若不等式的解集是，则的取值范围是．15. 用不等式表示下列数量关系：（1）是非负数：；（2）与的差是负数：；（3）不小于：；（4）与的差的绝对值大于：；（5）的倍与的和大于：；（6）不小于：．16. 若不等式的解集为，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共52分）17. 写出如图所示的数轴上表示的关于的不等式的解集：(1)(2)18. 利用不等式的性质解不等式．19. 用""或""填空(1) 如果，那么；(2) 如果，那么．(1) 写出不等式的所有正整数解；(2) 写出不等式的所有负整数解；(3) 写出不等式的所有非负整数解．21. 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：解，又，．．又，同理得：由得，的取值范围是．请按照上述方法，完成下列问题：(1) 已知，且，，则的取值范围是．(2) 已知，，若成立，求的取值范围（结果用含的式子表示）．22. 现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：(1) 利用性质①比较与的大小（）；(2) 利用性质②比较与的大小（）．答案第一部分1. C2. D3. B4. D5. A6. C7. D8. C9. C 10. B第二部分11.12.13.14.15. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）16.第三部分17. (1) ．17. (2) ．18. (1) 根据不等式性质3，不等式两边乘，不等号方向改变，所以．．19. (1)19. (2) ；20. (1) ，，．20. (2) ，，．20. (3) ，，，．21. (1)21. (2) ，，，，，，同理得由得，的取值范围是．22. (1) 时，，即；时，，即．22. (2) 时，，得，即；时，，得，即．。