第10套量子力学自测题参考答案
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量子力学测试题10参考答案1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。
当0≤x 时，势能为零；当0>x 时，势能为E V 430=。
问在x=0处粒子被反射的几率多大？解：S-eq 为 ⎩⎨⎧≥=+''≤=+''000022221211x k x k ψψψψ 其中221/2 mE k = 4//)(2212022k V E m k =-= 由题意知 0≤x 区域 既有入射波，又有反射波；0≥x 区域仅有透射波故方程的解为x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤xx ik te 22=ψ 0≥x在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 t r =+1 t k r k 2)1(11=- 由此解得912==r R 注意 透射率2t T ≠ 因为12k k ≠将 x ik e 1，x ik re 1-，x ik te 2分别代入几率流密度公式 ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=**2ψψψψx x m i j 得 入射粒子流密度 mk j 10 =反射粒子流密度 21r m k j R -=透射粒子流密度 22t mk j T =由此得 反射率 9120===r j j R R 透射率 982120===t k k j j T T 1=+T R 2、计算（1）?],[2=r L（2）设),(p x F 是p x ,的整函数，则?],[=F p解：（1）0],[],[],[],[2=+=+==βγαβγγβαβγββαβαβββααεεx x i x x i x x L x L x x x L r L因为将第二项哑标作更换γβ↔γβαβγγβαγββγαβγεεεx x i x x i x x i -==所以 0],[2=r L（2）先由归纳法证明 nn n x xi nx i x p ∂∂-=-=-1],[（·）式1=n 上式显然成立；设k n =时上式成立，即 1],[--=k k kx i x p 则 k k k k k k x k i x i kx i x p x x x p x p )1(],[],[],[1+-=--=+=+ 显然，1+=k n 时上式也成立，（·）式得证。
因为 ∑==,),(n m n m mnp x Cp x F则 F xi p mx C i p x p C p x p C F p nm nm nm n m mn n m mn n m mn ∂∂-=-===∑∑∑-,,,1],[],[],[ 3、试在氢原子的能量本征态nlm ψ下，计算1-r 和2-r 的平均值。
解：处于束缚态nlm ψ下的氢原子的能量22224122n a e n e E n -=-= μ 22ea μ = 1++=l n n r （1）计算><-1r方法1 相应的维里定理为 nlm nlm V T ><-=><21 nlm n V E ><=21所以 22112an e E r n =->=<- 方法2 选Z 为参量 相应的F-H 定理nlm neH e E >∂∂=<∂∂22 re H 2222-∇-=μ nlm r an ><-=-112 211anr >=<- （2）计算><-2r等效的一维哈密顿量2222222)1(2rl l r e dr d H μμ ++--= 取l 为参量 相应的F-H 定理nlm l n lH l E >∂∂=<∂∂ 注意1++=l n n r ><+=-22322)12(r l an e μ 322)2/1(1n a l r +>=<-4、有一个二能级体系，哈密顿量为H H H '+=0， 0H 和微扰算符H '的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21000E E H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0110λH 其中λ表征微扰强度，21E E ≤。
用微扰法求H 的本征值和本征态。
解：由于是对角化的，可见选用表象为0H 表象 对于21E E <，由非简并微扰论计算公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-''+=+-''+'+=∑∑ )0()0()0()0()0()0(2)0(||m m n mn m n n m n nm mnn n n E E H E E H H E E ψψψ得 0)1(1=E212)0(2)0(1212)2(1E E E E H E-=-'=λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-'=1021)0(2)0(2)0(121)1(1E E E E H λψψ 0)1(2=E122)0(1)0(2212)2(2E E E E H E-=-'=λ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'=0112)0(1)0(1)0(212)1(2E E E E H λψψ所以 ，二级近似能量和一级近似态矢为2121E E E -+λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100121E E λ；1222E E E -+λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011021E E λ。
对于21E E =，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为λ+1E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121；λ-1E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121。
5、自旋投影算符n S n ⋅=σ2，σ 为泡利矩阵，n为单位矢量（θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin ）。
（1）对电子自旋向上态)2/( =+z s χ，求n S 的可能值及相应几率； （2）对n σ的本征值为1的本征态，求y σ的可能值及相应几率。
解：（1）由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∧θθθθϕϕcos sin sin cos 2i i n ee S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a m b a e e s i i θθθθϕϕcos sin sin cos 2得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθχi n e s 2sin 2cos )(21 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ϕθθχi n e s 2cos 2sin )(21 对于电子自旋向上态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===+01)2/(αχ z s ，n S 取值2±的几率分别为2cos 012sin 2cos 22221θθθαχϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+i e 2sin 012cos 2sin22221θθθαχϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-i e （2）y σ的本征值和本征态 1=λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+i y 121)(σχ； 1-=λ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-i y 121)(σχ 电子处于n σ的本征值为1的本征态(即n S 的本征值为2的本征态)(21n s χ)， 则y σ的可能值及相应几率为1=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2221ϕθθθσχσχϕ+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++i n y e i 1-=λ ())sin sin 1(212sin 2cos 121)()(2221ϕθθθσχσχϕ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-i n y e i 6、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为)0()(21221>-a x x a 。
（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（2）若粒子自旋2/1=s ，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。
解：体系的哈密顿量为22122222122)(2122x x a x m x m H -+∂∂--∂∂-= 引入质心坐标X 和相对坐标x ： )(2121x x X +=21x x x -= 在坐标变换x X x x ,,21⇒下，体系的哈密顿量变为22222222122ax x X M H +∂∂-∂∂-=μ 2/2m mM ==μ相对运动哈密顿量为222222222212212x dx d ax dx d H r μωμμ+-=+-= μωa=（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n )()(2221x H e N x n x n n αψα-=μωα=,4,2,0=n限定 ,4,2,0=n 是为了保证波函数对交换1x 和2x 是对称的。
（2）若粒子自旋2/1=s ，则相对运动态的能量和波函数为ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ,2,1,0=n>=-00|)(),(2221x H e N S x n x n z αψα ,4,2,0=n ⎪⎩⎪⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(2221x H eN S x n x nzαψα ,5,3,1=n其中)]1()2()2()1([2110|)2()1(11|βαβααα+>=>= )]1()2()2()1([2100|)2()1(11|βαβαββ->=>=- 体系基态能量和波函数ω 21=E >=-00|),(22210x z e N S x αψ体系第一激发态能量和波函数 ω 23=E ⎪⎩⎪⎨⎧>->>=-11|10|11|)(),(121122x H e N S x x z αψα。
