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关于圆的题型归纳和解题技巧
一、题型归纳
1、求圆的半径和面积：
有时会给出圆的弦或者其他部分的参数，通过这些参数可以求出圆的半径和面积；有时可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的半径和面积；有时候还可以使用极坐标系来求解；
2、求圆的直径和周长：
一般来说周长=直径×π，可以利用这个公式求圆的周长；有时可以利用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求圆的直径；也可以利用极坐标系来求解；
3、求圆心角：
有时给出的是圆的扇形的面积或者弧长，可以通过求出这个面积或者弧长对应的角度来求出圆心角；有时也给出的是圆弧上一点与圆心的连线，可以利用此线段及其他线段的角度来求出圆心角；
4、求圆的外接矩形或者其他图形：
有时给出的是圆的面积和某种图形的面积，可以计算出圆外接图形的面积，从而求出圆的外接矩形；有时也可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的外接矩形或者其他图形。
二、解题技巧
1、多用圆的性质：
圆的性质是圆的重要组成部分，其中有很多性质都可以用来帮助
解答圆的问题，如圆的内接三角形、外接三角形等；
2、注意圆的关键参数：
在回答圆的问题时，要特别注意特殊参数，如半径、直径等，它们可以使用其他参数来求出；
3、利用极坐标系：
极坐标系是求解圆的一种重要方法，它可以帮助我们简化复杂的问题，使得计算更简单、更快捷；
4、利用其他图形的特殊参数：
有些圆的题目可以利用其他图形的特殊参数来求解，例如外接矩形的长和宽，或者外接三角形的边长等。
圆内接四边形（四点共圆）的判定
第2课时
录制时间：2014年10月微课时间：8分钟
微课名称圆内接四边形（四点共圆）的判定_第2课时
知识点描述“四点共圆”在解题中的运用
知识点来源
学科：初中数学年级：九（上）教材：浙教版章节：§3.6
（教材拓展知识点）
基础知识听本微课之前需了解的知识：
圆内接四边形（四点共圆）的概念、性质、判定方法
教学类型
讲授型
自主学习型
适用对象学生：本微课针对本学科平时成绩100-120分的学生
设计思路
第1课时微探究作业（例1）解法分析→常规解法、四点共
圆法解题比较→“四点共圆”突破难题→微探究作业
教学过程
内容画面时间
一、片头（30秒以内）引语：“同学们好，在第1
课时学完四点共圆的判
定后，今天这节微课重点
讲解四点共圆在解题中
的运用。
”
几何画板课件“封面”页
30秒
以内。
3.6 直线和圆的位置关系一、选择题1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）2．已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，3个单位长度为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交4．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°5．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB 的长为（）A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm6．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，C是劣弧AB上的一点．若∠P=40°，则∠ACB 的度数是（）A．80° B．110° C．120° D．140°7．已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l 的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．若点O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．100° B．115° C．130° D．125°10．如图，在△ABC中，若∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆的半径是（）A． B．1 C．2 D．11．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E．要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD12．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC．下列说法错误的一项是（）A．DB=DC B．DB=DI C．∠CAD=∠DAB D．ID=IB二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．14．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2-4x+m=0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为________．15．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=______°．16．如图，∠APB=30°，⊙O的圆心在PB上，且半径为1 cm．已知OP=3 cm，若⊙O沿BP 方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为________cm．17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以点O为圆心，1为半径的圆的位置关系为________．18．如图，△ABC的内切圆⊙I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．若∠FDE=70°，则∠A=________°．三、解答题19．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA=40°，求∠ABC的度数．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．21．去年某企业将地处A，B两地的小厂合并成一个大厂，为了方便A，B两地职工的联系，企业准备在相距2 km的A，B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7 km的公园，计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？22．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线．（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．23．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（要求写出两种情况）：________或者________．（2）如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 9．B 10．B 11．A 12．D二、5．相离 6．4 7．45 8.125 16．1 17．相切2．答案不唯一，如∠ABC=90° 3．3 8．40三、19．解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴∠BAP=90°．∵∠OPA=40°，∴∠AOP=180°-90°-40°=50°．∵OB=OC，∴∠ABC=∠BCO．又∵∠AOP=∠ABC+∠BCO，∴∠ABC=∠AOP=×50°=25°．20．（1）证明：如图，连接DE，OD．∵BC与⊙O相切于点D，∴∠BDO=90°．∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD．∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠DAO=∠CAD，∴AD平分∠BAC．（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°．∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD，∴∠BOD=45°．设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，∴BC=AC=x+1．∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x+1）2+（x+1）2=（x+x）2，解得x=（负值已舍），∴BD=OD=．∴图中阴影部分的面积为S△BOD - S扇形DOE =××-=1-．21．解：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下：过点C作CD⊥AB，垂足为D．∵∠CBA=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD．设CD=x km，则BD=x km．∵∠CAB=30°，∴AC=2x km，AD==x（km），∴x+x=2，解得x=-1，即CD=-1≈0.73（km）>0.7 km，也就是说，以C为圆心，0.7 km为半径的圆与AB相离．∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．22．（1）证明：如图，连接OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP．∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°．又∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：如图，连接DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴，即，解得AP=9．∴BP=AP - AB=9-2=7．23．解：（1）答案不唯一，如①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC．理由：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB．又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．②∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°．∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，即AE⊥AB．又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．（2）EF是⊙O的切线．证明：如图，作直径AM，连接CM，则∠ACM=90°，∠M=∠B，∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°．∵∠CAE=∠B，∴∠CAE+∠CAM=90°，即AE⊥AM．∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．。
3.6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】 已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°，求证：CD 是⊙O 的切线．解析：要证明CD 是⊙O 的切线，即证明OC ⊥CD .连接OC ，由AC ＝CD ，∠D ＝30°，则∠A ＝∠D ＝30°，得到∠COD ＝60°，所以∠OCD ＝90°.证明：连接OC ，如图，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠OCD ＝90°，即OC ⊥CD .∴CD 是⊙O 的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M .求证：CD 与⊙O 相切．解析：连接OM ，过点O 作ON ⊥CD 于点N ，用正方形的性质得出AC 平分角∠BCD ，再利用角平分线的性质得出OM ＝ON 即可．证明：连接OM ，过点O 作ON ⊥CD 于点N ，∵⊙O 与BC 相切于点M ，∴OM ⊥BC .又∵ON ⊥CD ，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，∴OM ＝ON ，∴CD 与⊙O 相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】 切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB .(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；(2)若AD ＝23，AE ＝6，求EC 的长．解析：(1)取BD 的中点O ，连接OE ，如图，由∠BED ＝90°，可得BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心，再证明OE ∥BC ，得到∠AEO ＝∠C ＝90°，可得结论；(2)设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD 的中点O ，连接OE ，如图所示，∵DE ⊥EB ，∴∠BED ＝90°，∴BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠OEB ＝∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥AE ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OD ＋DA ＝r ＋23，OE ＝r .在Rt △AEO 中，有AE 2＋OE 2＝AO 2，即62＋r 2＝(r ＋23)2，解得r ＝2 3.∵OE ∥BC ，∴AE CE＝AO OB ，即6CE ＝4323，∴CE ＝3. 方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】 利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上．已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE，DF ，那么∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OF A ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OF A ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B. 方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由．(2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。
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考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,L 2点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r )2+M 2r 2=(R +r )M 1R 3.设α=r R ,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为 ( ) A.√M 2M 1R B.√M 22M 1R C.√3M 2M 13R D.√M23M 13R 【命题意图】本题主要考查函数模型及其应用.【解析】选D .由题可知11+2r R +r 2R 2M 1+R 2r 2M 2=(1+r R )M 1,把α=r R 代入得:1(1+α)2M 1+1α2M 2=(1+α)M 1, M 2α2=[(1+α)-1(1+α)2]M 1=(1+α)3-1(1+α)2M 1 =α(α2+3α+3)(1+α)2M 1,由题中给出的3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3, 所以M 2M 1≈3r 3R 3,r 3≈M 23M 1R 3,r ≈√M 23M 13R. 二、填空题2.(2019·浙江高考·T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r.若直线2x -y +3=0与圆相切于点A (-2,-1),则m = ,r = .【命题意图】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系.【解析】设圆的标准方程为x 2+(y -m )2=r 2,由题意可得{(-2)2+(-1-m )2=r 2,|-m+3|2+(-1)=r ,解得{m =-2,r =√5. 答案:-2 √53.(2019·江苏高考·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .【命题意图】主要考查基本不等式的运用,通过点到直线距离公式表示出距离,然后运用基本不等式求解即可.【解析】方法一:设P (x 0,x 0+4x 0)(x 0>0),由点到直线距离公式得d =|x 0+x 0+4x 0|√2≥√8√2=4,当且仅当2x 0=4x 0时,即x 0=√2时,取“=”号. 方法二:当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x相切位置时,切点Q 即为到直线x +y =0的距离最小的点P.由y'=1-4x2=-1,得x=√2(-√2舍),y=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q到直线x+y=0的距离为|√2+3√2|√1+1=4.答案:4三、解答题4.(2019·全国卷Ⅰ文科·T21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.【命题意图】本题考查圆的方程的求解问题,圆锥曲线中的定点定值类问题.【解题指南】解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况,使得问题得解.【解析】(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于⊥,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.5.(2019·江苏高考·T18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长.(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P,Q两点间的距离.【命题意图】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.【解析】方法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4 5 .所以PB =BD cos ∠PBD =1245=15. 因此道路PB 的长为15百米.(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E 外)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连接AD ,由(1)知AD =√AE 2+ED 2=10,从而cos ∠BAD =AD 2+AB 2-BD 22AD ·AB =725>0,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点,且P 1B ⊥AB ,由(1)知,P 1B =15,此时P 1D =P 1B sin ∠P 1BD =P 1B cos ∠EBA =15×35=9;当∠OBP >90°时,在△PP 1B 中,PB >P 1B =15.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ =√QA 2-AC 2=√152-62=3√21.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =3√21时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+3√21. 因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为(17+3√21)百米.方法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,-3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A (4,3),B (-4,-3),直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为-43,直线PB 的方程为y =-43x -253.所以P(-13,9),PB=√(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15百米.(2)①若P在D处,取线段BD上一点M(-4,0),则MO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x≤4).在线段AD上取点M(3,154),因为OM=√32+(154)2<√32+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=√(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+3√21,所以Q(4+3√21,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3√21,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3√21-(-13)=17+3√21.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3√21)百米.【题后反思】方法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.方法二:(1)建立平面直角坐标系,分别确定点P和点B的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.。
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______．2．忽视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P 的半径是______．例9 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120° D．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算． 例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
九年级数学圆解题技巧
九年级数学圆部分是初中数学的一个重要内容，掌握解题技巧对于提高解题速度和正确率非常重要。
以下是一些常见的圆解题技巧：
1. 确定圆的性质：首先需要了解圆的基本性质，如圆周角定理、垂径定理等。
这些性质是解决圆问题的关键。
2. 利用半径、直径和弦之间的关系：在解题过程中，要善于利用半径、直径和弦之间的关系，如弦心距定理、切割线定理等。
3. 作辅助线：在解题过程中，有时需要作辅助线来帮助解决问题。
作辅助线的方法有很多，需要根据具体问题进行分析。
4. 利用相似三角形：在解决与圆有关的问题时，有时需要利用相似三角形来解决问题。
这时需要找到相似三角形，并利用相似比来求解。
5. 数形结合：在解决与圆有关的问题时，数形结合是一种常用的方法。
通过将问题转化为图形，可以更直观地理解问题，从而更快地找到解决方案。
6. 多做练习：要提高解决圆问题的能力，多做练习是必不可少的。
通过不断的练习，可以加深对圆的理解，掌握更多的解题技巧。
总之，解决圆问题需要掌握一定的技巧和方法，同时还需要多做练习，加深对圆的理解。
只有这样，才能更好地解决与圆有关的问题。
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D ＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC 上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】 切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB .(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若AD ＝23，AE ＝6，求EC 的长．解析：(1)取BD 的中点O ，连接OE ，如图，由∠BED ＝90°，可得BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心，再证明OE ∥BC ，得到∠AEO ＝∠C ＝90°，可得结论；(2)设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD 的中点O ，连接OE ，如图所示，∵DE ⊥EB ，∴∠BED ＝90°，∴BD 为△BDE 的外接圆的直径，点O 为△BDE 的外接圆的圆心．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠OEB ＝∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥AE ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OD ＋DA ＝r ＋23，OE ＝r .在Rt △AEO 中，有AE 2＋OE 2＝AO 2，即62＋r 2＝(r ＋23)2，解得r ＝2 3.∵OE ∥BC ，∴AE CE ＝AO OB ，即6CE ＝4323，∴CE ＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】 利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上．已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OFA ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OFA ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5 解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。
