二次函数教材分析一、本章的地位1. 二次函数一章位于初中数学函数模块的最后一章，是学生在学习了一次函数与反比例函数之后学习的最后一类函数，因此这一章的一个重要作用是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
这一章的学习不仅仅限于二次函数这一类函数的性质特点掌握，更重要的是能够初步构建函数的研究框架：函数的事实——函数的定义与表示——函数的性质——几类初等函数，并在回顾、梳理基础上提炼、迁移、培养一般性的思想方法；2. 人教版教材实际上是把二次函数一章放到反比例函数一章之前，主要出于函数图象本身的连续性及其本身是整函数来考虑的，尽量避免因为图象的不连续增加学生的认知负担。
但在实际的教学中，我们仍然延续了先学反比例函数，主要出于反比例函数的定义形式简单，参量少，并且考虑一次函数学习后学生有能力认识不连续函数；3. 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，学习二次函数有助于发展学生数学建模素养；4. 二次函数一章再次让学生体会知识间的联系，即将一元二次方程、不等式统一起来，有助于培养学生的数学整体观，也为高中函数的深入学习作好铺垫，在整个中学教学中起到承上启下的作用；5. 从中考的角度，因为本章知识的综合性，并且是多个重要板块知识的结合点，因此往往以代数综合题的形式呈现。
二、本章的目标（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；（3）会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解；（5）知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
三、本章内容及知识结构图(上图中a≠0)第一部分——二次函数的图象与性质第二部分——二次函数与一元二次方程第三部分——实际问题与二次函数该部分侧重培养学生的数学建模能力。
该部分主要处理两类问题，一类是最优化问题，一类是建系问题。
四、本章建议课时安排22.1二次函数的图象和性质（共5+2课时）22.2二次函数与一元二次方程（共1+1课时）22.3实际问题与二次函数（共2+1课时）数学活动与小结（共1+1+3课时）五、本章中的数学思想和方法1. 模型思想与符号意识及数学抽象通过现实实例的引入让学生进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想。
在实际的教学中要让学生经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，加强背景和应用，发展学生数学建模素养。
2. 类比、归纳的思想及普遍联系与认识的整体性3. 数形结合的思想二次函数的图象和性质讨论运用了数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质。
例如对于二次函数y=ax2+bx+c进行基本的几何变换可以充分考虑参数a、b、c对函数图象的影响来得到几何变换后的图象解析式（即关注开口大小和方向的变化，对称轴与顶点的变化以及y轴截距的变化），也让学生再次体会顶点式y=a(x−ℎ)2+k的重要性。
再以一元二次方程与二次函数之间的联系为例，教学中可以充分借助图象来展示一元二次方程中的相关结论。
这种对统一概念的多元联系解释，是有利于学生知识整体性的建立的。
4. 运动与变化的思想由常量数学过渡到变量数学，在数学思维上是一个飞跃，对培养学生的逻辑思维能力和辩证唯物主义观点具有重要的意义和作用（物质世界是普遍联系和永恒运动的）；很多常量数学不能解决的问题，运用变量数学能够得到很好的解决；变量数学是学习物理、化学等其他学科的有力工具；很多常量数学的问题，用变量数学的观点加以解释或解决，更能凸显理性思维的特点和作用；函数是一种普遍意义的数学模型，因此在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。
六、教学中的问题与建议1. 在教学中，要根据学生的认知特点进行教学规划，循序渐进地展开本章内容。
在新授课中要注重知识的生成性，体会其中的思想方法，不建议选取较高难度或者较综合性的题目；在本章教学的各部分要安排小结课或习题课，加深对知识的理解，关注各部分知识的联系与数学的整体性，选取的题目可以适当综合，但要控制难度；在本章结束后要及时梳理全章内容，总结数学思想方法，可以选择较为综合的题目，仍然要控制难度，可以选择中等及以下中考的代数综合题目；在最后的复习阶段，要统观该章在中学数学学习中的位置，再次加深对本章所涉及的思想方法的理解，可以选择中等难度及以上的代数综合题目。
2. 体会思想方法的过程中，更要给学生以工具。
本章涉及到的思想方法众多，站的角度高固然重要，但也要让学生有站得高的资本，即要给学生足够的工具和基本方法的范式。
例如在涉及到数形结合思想的问题时，要关注学生对代数语言与几何语言之间的互相转化，以2019年北京中考代数综合题目为例。
在教学中涉及到知识归纳与类比时，要教会学生如何归纳与类比，即关注事物之间的共同点与不同点。
3. 强调函数思想，用运动变化来看待问题，注重借助信息技术工具研究函数函数思想最重要的一点就是运动变化，在教学过程中，要培养学生能用运动变化的角度看问题，而信息技术工具给了运动变化很直观的展现，有利于学生对运动变化的理解。
4. 关注知识之间的联系，关注数学的完整性注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究（背景——概念——图象与性质——应用），用函数的观点联系相关内容，培养学生的数学整体观。
这个过程中也要注意关注其中的基础知识、基本技能与方法。
如画函数图象、配方法与待定系数法等。
七、具体建议1.1二次函数的概念；【引例】（1）一正方形的边长为6cm，若边长增加xcm，面积增加了ycm2，试指出y与x之间的函数关系；（2）如图，在矩形ABCD中有一个小矩形A′B′C′D′，四周的边之间的距离为x，指出矩形A′B′C′D′的面积y与x之间的函数关系，并指出x的取值范围。
通过简单的实例引入二次函数的概念，体会实际生活中的二次函数模型。
【例1】判断下列函数是否是二次函数，若是，请化成二次函数的标准形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）y=x2（2）y=x2−(x+1)(x−2)（3）y=2x2+x+1x；（4）y=−(x+2)2【例2】对于关于x的函数y=ax2+bx+c，（1）若该函数是二次函数，则系数应满足的条件是；（2）若该函数是一次函数，则系数应满足的条件是；（3）若该函数是正比例函数，则系数应满足的条件是。
【例3】已知关于x的函数y=(m−1)x m2+3m−2+mx+1是二次函数，求m的值。
2二次函数的图象与性质类比一次函数y=kx+b(k≠0)和正比例函数y=kx(k≠0)和的学习，思考该如何研究二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质？考察二次函数中的三个参量，为了更准确方便地研究各个参量对二次函数的图象的影响，需要控制变量，即减少变量数量对其性质的影响。
2.1.1 y=ax2(a≠0)的图象性质：【例1】在同一坐标系中画出函数y=12x2、y=x2、y=2x2、y=−12x2、y=−x2、y=−2x2（1）通过分析六个函数的图象的共同点，指出二次函数y=ax2的性质；（2）通过分析六个函数的图象的不同点，指出二次项系数a对二次函数y=ax2的图象与性质的影响。
（需要带着学生画函数y=x2的图象，强调作图规范）①定义域：全体实数②形状：一条抛物线③对称性：关于y轴对称④单调性：当x<0时与x>0时单调性相反，由开口方向决定⑤最值：当x=0时取得最值，最大、最小值由开口方向决定⑥特殊点：顶点为原点2.1.2 二次项系数a 对二次函数y =ax 2的影响： ①开口方向：当a >0时，开口向上； 当a <0时，开口向下。
②开口大小：|a |越大，开口越小。
【例2】二次函数y =(2m −1)x m2−m，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值。
2.2 y =ax 2+k 的图象与性质【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y =x 2、y =x 2+2、y =x 2−2的图象， （1）通过y =x 2+2、y =x 2−2与y =x 2之间异同点的比较，思考三者之间的关系； （2）指出y =ax 2+k 与y =ax 2之间的关系，并写出函数y =ax 2+k 的性质。
2.3 y =a (x −h )2的图象与性质【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y =x 2、y =(x −2)2、y =(x +2)2的图象， （1）通过y =(x −2)2、y =(x +2)2与y =x 2之间异同点的比较，思考三者之间的关系； （2）指出y =a (x −h )2与y =ax 2之间的关系，并写出函数y =a (x −h )2的性质。
【选讲 例2】，在平面直角坐标系xOy 中，A (−1,2)、B (2,2)（1）若函数y =ax 2(a ≠0)与线段AB 有且仅有一个公共点，求a 的取值范围； （2）若函数y =x 2+k 与线段AB 有且仅有一个公共点，求k 的取值范围； （3）若函数y =2(x −h )2与线段AB 有且仅有一个公共点，求h 的取值范围。
2.4.1 y =a (x −h )2+k 的图象与性质【例1】画出函数y =(x −2)2+1的函数图象【例2】已知一条抛物线的顶点坐标为(−2,−4)，且经过点(1，12)，求抛物线的解析式。
【例3】将抛物线y =3(x −2)2+1作什么样的变换得到抛物线y =−3(x +2)2−1？【例4】求抛物线y =−2x 2+4x +1的顶点坐标。
2.5.1 y =ax 2+bx +c 与y =a (x −h )2+k 的关系，一般式y =ax 2+bx +c 与顶点式y =a (x −h )2+k 回顾二次函数定义，研究y =ax 2+bx +c y =ax 2+bx +c ,=a (x 2+ba x)+c ,=a (x 2+ba x +b 24a 2−b 24a 2)+c , =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a .配方法2.5.2 y =ax 2+bx +c 的图象与性质回顾y =ax 2+bx +c 与y =a (x −h )2+k 之间的转化 y =ax 2+bx +c , =a (x 2+ba x)+c , =a (x 2+ba x +b 24a 2−b 24a 2)+c ,=a (x +b 2a )2+4ac−b 24a.（2）y =−2x 2+2x =−2(x −12)2+12【例1】已知二次函数y =2x 2+4x −6（1）将其化为y =a (x −h )2+k 的形式； （2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； （3）求图象与两坐标轴的公共点坐标； （4）画出函数图象的示意图；（5）说明其与函数y =2x 2之间的关系； （6）指出该函数的单调性；（7）指出x 取何值时，y >0，y =0，y <0； （8）当x 取何值时，y 取得最值；（9）当−4<x <0时，求y 的取值范围。
