20172018116级公共课概率统计复习题和往年试题解答

《概率论与数理统计(经管类)》(课程代码04183) 第一大题：单项选择题1、事件A与事件B的和事件可以表示为 [B ]∙ A.∙ B.A+B∙ C.∙ D.2、“事件A发生而B不发生”，可以表示为[C]∙ A.∙ B.B-A∙ C.A-B∙ D.3、设事件A={1，2，3，4}，事件B={4，5，6，7}则事件AB为[D]∙ A.{2}∙ B.{3}∙ C.{6}∙ D.{4}4、若事件A与B互不相容，则概率P（A+B）为[D]∙ A.P（A）-P（B）∙ B.P（B）-P（A）∙ C.（AB）-P（BA）∙ D.P（A）+P（B）5、事件A与B相互独立，则概率P（AB）为[C]∙ A.P（A）∙ B.P（B）∙ C.P（A）P（B）∙ D.06、随机变量X服从0-1分布，概率P（X=1）=p，则P（X=0）为[A]∙ A.1-p∙ B.1∙ C.0∙ D.p（1-p）7、设X为离散型随机变量，其分布律为P（）= ，k=1，2，3则有[B] ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.8、设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f(x)为（A）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.9、F（x）为随机变量X的分布函数，则有[A] ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.10、设C为常数，其期望E（C）为 [B]∙ A.0∙ B.C∙ C.∙ D.不存在11、X为随机变量，则方差D（-2X）为[A]∙ A.4D（X）∙ B.-2D（X）∙ C.2D（X）∙ D.D（X）12、事件A与事件B的积事件可以表示为 [B]∙ A.∙ B.AB∙ C.∙ D.13、“事件A包含在事件B中”，可以表示为[C]∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.14、设事件A={2，5，8}，B={3，6，9}则事件AB为 [D]∙ A.{2，5，8，3，6，9}∙ B.{5}∙ C.{6}∙ D.φ15、对任意事件A与B，概率P（A+B）[ A ]∙ A.P（A）+P（B）-P（AB）∙ B.P（A）+P（B）∙ C.P（A）-P（AB）∙ D.P（B）-P（AB）16、抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率为p，则反面的概率为[ A ]∙ A.1-p∙ B.1∙ C.0∙ D.（1-p）p17、设C为常数，则方差D（C）为 [ A ]∙ A.0∙ B.C∙ C.∙ D.E(C)18、事件A与事件B互不相容可以表示为[ B ]∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.19、设事件A={0，1，2}，B={3，4，0}则事件AB为[ D ]∙ A.{0，1，2，3，4}∙ B.{1，2，3，4}∙ C.{}∙ D.{0}20、三事件A，B，C互不相容，则概率P（A+B+C）为 [ B ]∙ A.P（A）-P（B）+P（C）∙ B.P（A）+P（B）+P（C）∙ C.P（B）+P（C）-P（A）∙ D.P（C）-P（A）-P（B）21、事件A与B独立，则概率P（）为[B ]∙ A.∙ B.∙ C.P（B）∙ D.022、随机变量X只取两个可能取值0，1，若; 则P（X=0）为; [ A;] ∙ A.∙ B.1∙ C.0∙ D.23、离散型随机变量X的概率分布是P（X=X k）=a，k=1,2,3,,则a的取值为[ C ] ∙ A.a＞0∙ B.a≥ 0∙ C.0≤a≤ 1∙ D.a＜124、X，Y为随机变量，则期望E（X+Y）为 [ C ]∙ A.E（X）∙ B.E（Y）∙ C.E（X）+E（Y）∙ D.X+Y25、设C为常数，X为随机变量，则方差D（C+X）为 [ D ] ∙ A.C+D（X）∙ B.C∙ C. +D（X）∙ D.D（X）26、F（x）为随机变量X的分布函数，下面不成立的是[ A ]∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.0≤F（x）≤127、设A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是（ C ）∙ A.P（AB）=0∙ B.∙ C.P（AB）=P（A）P（B）∙ D.P（B-A）=P（B）28、设随机变量X~B ，则P{X 1}=（ C ）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.29、C∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.30、B∙ A.∙ B.2x∙ C.∙ D.2y31、B∙ A.∙ B.∙ C.N(0,7)∙ D.N(0,25)32、设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误的是（ A ）∙ A.∙ B.P（B|A）=0∙ C.P（AB）=0∙ D.P（A∪B）=133、一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为( D )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.34、设A，B为两个随机事件，且P（AB）>0，则P（A|AB）=（ D ）∙ A.P（A）∙ B.P（AB）∙ C.P（A|B）∙ D.135、下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ A ）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.36、某种电子元件的使用寿命X（单位：小时）的概率密度为任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ B ）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.37、D∙ A.-1∙ B.∙ C.∙ D.138、设随机变量X的概率密度为则常数c等于（ B ）∙ A.∙ B.∙ C.1∙ D.539、设二维随机变量（X，Y）的分布律为则P{X=Y}=（ A ）∙ A.0.3∙ B.0.5∙ C.0.7∙ D.0.840、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ）∙ A.E（X）=0.5，D（X）=0.25∙ B.E（X）=2，D（X）=2∙ C.E（X）=0.5，D（X）=0.5∙ D.E（X）=2，D（X）=441、设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y~B（8，），且X，Y相互独立，则D（X-3Y-4）=（C ）∙ A.-13∙ B.15∙ C.19∙ D.2342、设E(X),E(Y),D(X),D(Y)及Cov(X,Y)均存在，则D(X-Y)=（ C ）∙ A.D(X)+D(Y)∙ B.D(X)-D(Y)∙ C.D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)∙ D.D(X)-D(Y)+2Cov(X,Y)43、已知D（X）=1，D（Y）=25，ρXY=0.4，则D（X-Y）=（ B ）∙ A.6∙ B.22∙ C.30∙ D.4644、D∙ A.—0.8∙ B.—0.16∙ C.0.16∙ D.0.845、B∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.46、C∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.47、A∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.48、D∙ A.0.2∙ B.0.4∙ C.0.6∙ D.0.849、D∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.50、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ D ）∙ A.-2∙ B.0∙ C.∙ D.251、( C ) ∙ A.0.5∙ B.0.6∙ C.0.66∙ D.0.752、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ C ）∙ A.0.125∙ B.0.25∙ C.0.375∙ D.0.5053、设A、B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ B ）∙ A.P(AB)=0∙ B.∙ C.P(A)+P(B)=1∙ D.P(A|B)=054、设随机变量X的概率密度为则常数=（ D ）∙ A.∙ B.∙ C.3∙ D.455、C∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.56、100件产品中有3件次品，从中任取3件，则3件全是次品的概率为（B）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.57、 C∙ A.A发生且B发生∙ B.B不同时发生∙ C.A、B至少有一个发生∙ D.A、B至多有一个发生58、设X、Y独立，且X~N(2,1)，Y~N(3,2)，则3X-2Y~ （C）∙ A.N(1,36)∙ B.N(0,36)∙ C.N(0,17)∙ D.N(1,17)59、已知D(X)=4，E(X2)=20，则E2(X)= （ C）∙ A.4∙ B.5∙ C.16∙ D.1860、 C∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.161、若事件A、B互不相等，P(A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A+B)= （A）∙ A.0.7∙ B.0.5∙ C.0.3∙ D.0.262、若事件A、B独立，则P(B|A)= （B）∙ A.P(A)∙ B.P(B)∙ C.P(A|B)∙ D.P(AB)63、 B ∙ A.∙ B.∙ C.2∙ D.464、设a、b为常数，则有D(aX+b)= （B）∙ A.a2D(X)+b∙ B.a2D(X)∙ C.aD(X)+b∙ D.aD(X)65、袋中有4个白球2个黑球，从中任取2球，则取得两个黑球的概率是（A）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.66、设X、Y是随机变量，c为常数，则有（ D ）∙ A.D(X+Y)=D(X)+D(Y)∙ B.D(X-Y)=D(X)-D(Y)∙ C.D(X+c)=D(X)+c∙ D.D(X+c)=D(X)67、掷3枚均匀的硬币，出现3个正面的概率是（D）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.68、 B ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.69、掷两粒均匀的骰子，点数之和为12的概率是（A）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.70、设f(x)是连续型随机变量X的密度函数，则它的分布函数F(x)= （C）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.71、掷两粒均匀的骰子，恰好出现一个一点的概率是（D）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.72、设X服从[-1,a]上的均匀分布，且E(X)=7，则a= （A）∙ A.15∙ B.14∙ C.8∙ D.773、设X~N(-1,9)，Y=4X-3，则D(Y)= （B）∙ A.141∙ B.144∙ C.33∙ D.3674、掷两枚均匀的硬币，设X表示出现的正面数，则E(X)= （）∙ A.0.5∙ B.1∙ C.1.5∙ D.275、设X~N(1,4)，Y=2X+1，则Y服从的分布为（）∙ A.N(3,4)∙ B.N(3,8)∙ C.N(3,6)∙ D.N(3,20)76、设事件A、B互不相等，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(B|A)= （）∙ A.0∙ B.0.2∙ C.0.3∙ D.177、事件A、B独立，则有（）∙ A.P(A+B)=P(A)+P(B)∙ B.P(AB)=P(A)•P(B)∙ C.P(A-B)=P(A)-P(B)∙ D.P(B-A)=P(B)-P(A)78、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.79、若P(AB)=0，则称事件A、B （）∙ A.相互独立∙ B.互不相等∙ C.相互对立∙ D.为样本空间的一个划分80、将4封信随机投入3个邮筒，则基本事件总数有（）∙ A.12个∙ B.24个∙ C.81个∙ D.64个81、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.82、设X~B(n,0.6)，且D(X)=2.4，则n= （）∙ A.6∙ B.8∙ C.10∙ D.1283、两个人生日相同的概率是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.84、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.85、则a= （）∙ A.0.1∙ B.0.3∙ C.0.4∙ D.0.786、则E(X2)= （）∙ A.1.1∙ B.1.7∙ C.3.1∙ D.2.587、设X服从p=0.6的0-1分布，则E(X)= （）∙ A.0.24∙ B.0.3∙ C.0.4∙ D.0.688、设C服从[0,4]上的均匀分布，则P(X>3)= （）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.89、且E(X)=3，则a= （）∙ A.4∙ B.6∙ C.7∙ D.890、已知D(X)=4，D(Y)=25，COV(X,Y)=4，则 = （）∙ A.0.4∙ B.0.04∙ C.0.8∙ D.0.08第二大题：填空题1、设事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.3，则P（）=____0.5_____.2、一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为__18/35__.3、甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为_ 0.7_.4、设随机变量X~N（1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数a< ___3___.5、抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则P{X≥1}=____31/32___6、随机变量X的所有可能取值为0和x，且P{X=0}=0.3，E（X）=1，则x=10/7_.7、设随机变量X的分布律为则D（X）=18、设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D（2X+1）=_4/9_9、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f (x, y)= 则P{X≤ }=_1/2_10、11、312、设事件A，B相互独立，且P（A）=0.2，P（B）=0.4，则P（A∪B）=__0.5。

概率统计复习题（同济大学浙江学院）一、知识要点 1.古典概率计算公式设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为().A A n P A n ⎛⎫= ⎪ ⎪Ω⎝⎭概率公式⑴和的概率公式 ()()()().P A B P A P B P A B=+-当,A B 互不相容时()A B ⇔=∅ ()()().P A B P A P B=+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ⇔= ()()()()().P A B P A P B P A PB=+-⑵条件概率公式 ()()()|.P AB P A B P B =⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则()()()1|;ni i i P B P A P B A ==∑()()()(|)|.i i i P B A P A P A B P B =2.6个常用分布和数字特征 名称分布形式期望 方差()2E X01-p()1p p -p 二项分布()()1n kk kn P X k C p p -==-np()1np p -np泊松分布()e !kP X k k λλ-==λ λ 2λλ+均匀分布()1, ,0, else.a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 2a b+ ()212b a -指数分布()e , 0,0, else.x x f x λλ-⎧>=⎨⎩1λ21λ22λ正态分布()()2221e 2πxf x μσσ--=μ2σ22σμ+3.正态分布概率计算⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞-∞-∞==⎰⎰随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ⇔= 5.数字特征 ⑴数学期望①离散型 ()1.ni i i E X x p ==∑②连续型 ()()d .E X xf x x ∞-∞=⎰③函数的期望离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()1.ni i i E Y g x p ==∑连续，设X 是连续随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()()d .E X g x f x x ∞-∞=⎰二维连续型 设(),X Y 是二维连续型随机变量，(),f x y 是其联合密度函数，(),Z g x y =为随机变量的函数，则()()()d ,,d .E Z x f x y g x y y ∞∞-∞-∞=⎰⎰④期望性质 ()()();E aX bY aE X bE Y +=+ 当,X Y 独立时， ()()().E XY E X E Y = ⑵方差①计算公式 ()()()22;D X E X E X =-②方差性质 当,X Y 独立时，()()()22.D aX bY a D X b D Y +=+ ⑶协方差 设(),X Y 为二维随机变量，协方差为()()()()cov ,,X Y E XY E X E Y =-此时有 ()()()()2cov ,.D X Y D X D Y X Y ±=+±⑷相关系数 设(),X Y 为二维随机变量，相关系数为()()()()cov ,,.X Y X Y X Y ρσσ=6.中心极限定理设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==则()1lim .n i i n X n P x n μσ=→∞⎛⎫- ⎪⎪=Φ ⎪⎪⎝⎭∑ 即 ()()1.ni i X n P a b b a n μσ=⎛⎫-⎪⎪<<≈Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 6.统计量⑴样本均值 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==()()211,,,n i i i i E X D X X X n μσ====∑则()()21,.E X D X nμσ==②样本方差 22221111(),().1n n i n i i i S X X S X X n n ===-=--∑∑ 关系 2222211,().1n nn n i i i i n S S nS X X X nX n ====-=--∑∑⑵2χ分布 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()0,1,i X N 21nii X=∑服从自由度为n 的2χ分布.结论 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()20,,i X N σ 21nii c X=∑服从自由度为n 的2χ分布21.c σ⇔=⑶t 分布 若()()20,1,,X N Y n χ 则()/Xt n Y n7.估计量与估计方式 ⑴矩估计与矩估计方法⑵极大似然估计与极大似然估计方法 设总体()2,,X N μσ结论 X 是总体参数μ的极大似然估计；当μ已知时，211()ni i X n μ=-∑是2σ的极大似然估计，当μ未知时，211()ni i X X n =-∑是2σ的极大似然估计.⑶无偏性若ˆθ是θ的估计量，且()ˆE θθ=，称ˆθ是θ的无偏估计. 结论 2S 是2σ的无偏估计.⑷四种情况下的单正态总体的区间估计①2σ已知时μ的区间估计：1/21/2,X u X u n n αασσ--⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②2σ未知时μ的区间估计：()()1/21/21,1S S X t n X t n n n αα--⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦ ③μ已知时2σ的区间估计()()2211221/2/2()(),n ni i i i X X n n ααμμχχ==-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ ④μ未知时2σ的区间估计()()()()22221122221/2/21/2/2()(),,1111n ni i i i n n X X X X nS nS n n n n ααααχχχχ==--⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑ 二、填充题1. 设,A B 为二个随机事件, ,B A A B ⊂= 则Ω, ()P A B = 1 .2. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则3个数中不含1的概率为343525C C =.3. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为33139=. 4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被命中的概率为()()110.610.50.8---=, 现已知目标被命中, 则是甲命中的概率为0.60.750.8=.5. 设()()0.4,0.7,P A P A B == 若A 与B 互不相容,则()P B = 0.3,()P A B -=()()0.4P A P AB -=； 若A 与B 相互独立,则()P B =0.5 ,()P A B -= 0.2 . 6. 设,,A B C为三个随机事件,已知()()()1,4P A P B P C ===()()()1,016P AB P BC P AC ===,则,,A B C 至少有一发生的概率()P A B C = 58, ,,A B C 都不发生的概率()P ABC =38.7. 设()()()111,,,432P A P B A P A B ===则()P A B = 13；()P AB = 1/12 . 8. 设随机变量X 只可能取-1,0,1,2这4个值, 且取这4个值的概率依次为1357,,,24816c c c c,则常数c =3716 9. 设X 服从参数为λ的泊松分布(λ＞0),且()()102,2P X P X ===则λ= 2 ,()2E X = 6 .10. 设随机变量()2~3,0.2,,X B Y X =则()4P Y ==()20.096P X ==. 11. 设随机变量X 的分布律为且2,Y X Y =的概率函数为01433781616Y P,Y 的分布函数为()Y F y ,则()3Y F = ()9316P Y ≤=.12.设随机变量X 的分布律为X -21xP14p14且()1,E X =则x = 4 .13.设随机变量,X Y 相互独立,()()~16,0.5,~9,X B Y P 则()21E X Y -+=-9,()21D X Y -+=()()440D X D Y +=.14. 设随机变量X 的分布函数()F x =201e ,00,x x x -≥⎧-⎨<⎩,其密度函数为()f x ,则()2f =42e -.X -112P183811671615.设随机变量X 的密度函数为()f x = 1,20,a x aa ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其余, 其中0a >,要使()1P X >=31,则a = 3 .16.设随机变量X 的密度函数为()()221ex x f x A --+=,则A =1π,~X 11,2N ⎛⎫⎪⎝⎭,()2E X = ()()232D XE X +=⎡⎤⎣⎦,()1P X >=0.5 ,令()21Y X =-,则Y 的密度函数()Y f y =221,2πy e y --∞<<+∞. 17.随机变量()1,1,1,4,9,2X Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则()X f x =()2181e ,8πx x ---∞<<+∞,()Y f y =()21181,18πy e y ---∞<<+∞,()cov ,X Y = 3 ,()D X Y += 19 ,()D X Y -=7 .18. 已知()()()25,1,,0.4D X D Y X Y ρ===,则()D X Y += 30 ,()D X Y -= 22 .19.设总体()()18~1,3,,,X R X X - 是来自总体X 的样本, X 为样本均值, 则E ()X =()1E X =,()D X =()116D X n =, ()2E S = 43. 20.设独立同分布的随机变量序列1,,,n X X ()()2,,,i i E X D X μσ==则1lim n i n i P X n n μσ→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑()11211ni i X n P n μσ=⎛⎫- ⎪⎪≤≈Φ- ⎪ ⎪⎝⎭∑. 21.设总体()()170,0.25,,,X N X X 是来自总体X 的样本, 要使α721ii X =∑～()2n χ, 则α= 4 ,自由度 7n = . 22.设总体()()2123,,,,X N X X X μσ 是来自总体X 的样本,则当α= 0.5 时,1231136X X X μα=++是未知参数μ的无偏估计.23.用天平称量某物体的质量9次,得(),4.15g x =已知秤重结果服从N （21.0,μ）,则μ的置信度为0.95的置信区间为[]15.335,15.465. 三、计算题1. 罐中有12粒围棋子,其中8粒白的,4粒黑的,从中任取3粒,求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到2粒白子,1粒黑子的概率；（3）至少取到1粒黑子的概率；（4）取到3粒颜色相同棋子的概率.解：3321331288484,,,,A B C A D n C n C n C C n n n n C C ====-=+()()()()1428413,,,55555511P A P B P C P D ==== 2. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4,问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？ 解：()()()250.425|200.5200.8P X P X X P X >>>===> 3. 某小组共10人,得到一张足球票,他们决定用摸彩来决定谁去看球赛,（1）已知前4人都没有摸到,求第5人摸到的概率；（2）求第5人摸到的概率.解：()()()512345111|,610P A A A A A P A P A ===4. 某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品,将这些产品混合在一起,今随机地取一产品,问它是次品的概率是多少？又问这次品是由哪台机器生产的概率最大？ 解：()()()()()()()112233|||0.0345P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=()()()()()()()()()()()()111222333|25|69|28|69|16|69P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B ======5. 有两箱同种类型的零件,第一箱装10只零件,其中5只一等品；第二箱装10只零件,其中6只一等品.今从两箱中任选一箱,然后从该箱中取零件两只,求（1）取到的两只零件都是一等品的概率；（2）在取到的两只零件都是一等品的条件下,求二两零件是取自第一箱的概率.解：()()()()()11222256221010||111541655222109210918P B P A P B A P A P B A C C C C =+⨯⨯=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯⨯()()()()1111|29|5518P A P B A P A B P B ===6. 一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻,每个设备被使用的概率为0.1,问同一时刻,（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：()~5,0.1X B ,由计算公式()()1.n kk k n P X k C p p -==-()20.0729P X ==,()30.0085P X ≥=,()30.9995P X ≤=,()()1100.4095P X P X ≥=-==7. 15个同类型的零件中有2个是次品,从中不放回地抽取产品,每次一个. （1） 抽取3次,以X 表示取出的次品数,求X 的概率函数和分布函数； （2） 以Y 表示直到取得正品为止抽取的次数,求Y 的概率函数.解：（1）121312112213122121321133151413351514133515141335rXP ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=()0, 022,013534,12351, 2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2）123132132111515141514Y P⋅⋅⋅8. 一口袋中装有5只乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示3个球中的最大号码,以Y 表示3个球中的最小号码,（1）分别求出,X Y 的概率函数和分布函数,（2）求出,X Y 的联合概率函数.解：222222332442333333555555345123136631,101010101010rr XY C C C C C C P P C C C C C C ====== \123130010214010103215101010X Y 9. 设每分钟通过某交通道口的汽车流量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有三辆车通过的概率.解：()()011P X P X λ===⇒=,()()1531212P X P X e -≥=-≤=-10. 抛3次均匀硬币,以X 表示正面向上的次数,以Y 表示正面向上次数与反面向上次数差的绝对值,（1）求(),X Y 的联合分布律和边缘分布律；（2）,X Y 是否相互独立,为什么？（3）求()()(),,cov ,.E X D X X Y解：（1）01231~3,,133128888rXX B P ⎛⎫⎪⎝⎭ \13100813310, 3184432081308rX Y Y P （2）()()()0,1001,,P X Y P X P Y X Y ===≠==所以不相互独立。

概率统计试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪项不是概率论的基本概念？A. 随机事件B. 必然事件C. 随机变量D. 函数答案：D2. 随机变量X服从标准正态分布，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/√(2π)e^(-x^2/2)B. f(x) = 1/π(1+x^2)C. f(x) = 1/2e^(-|x|)D. f(x) = 1/√(2π)e^(-x^2)答案：A3. 以下哪个选项是大数定律的描述？A. 随着试验次数的增加，事件发生的概率趋近于其频率B. 随机变量的期望值等于其方差C. 随机变量的方差等于其期望值的平方D. 随着样本容量的增加，样本均值的分布趋近于正态分布答案：A4. 两独立随机变量X和Y的协方差为0，以下哪个结论是正确的？A. X和Y一定相互独立B. X和Y一定相关C. X和Y一定正相关D. X和Y一定负相关答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，则其期望E(X)等于______。

答案：∫xf(x)dx2. 概率P(A)表示事件A发生的______。

答案：概率3. 假设检验中的零假设通常用符号______表示。

答案：H04. 随机变量X的方差Var(X)是衡量X的______的度量。

答案：离散程度三、计算题（每题10分，共30分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X的期望和方差。

答案：期望E(X) = λ，方差Var(X) = λ。

2. 已知随机变量X和Y相互独立，X服从参数为μ和σ^2的正态分布，Y服从参数为μ'和σ'^2的正态分布，求Z=X+Y的期望和方差。

答案：E(Z) = μ + μ'，Var(Z) = σ^2 + σ'^2。

3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，不放回地随机抽取3个球，求至少抽到1个红球的概率。

答案：1 - (3/8)^3 = 0.9375。

2017—2018年高考真题解答题：概率与统计（文科）教师版1．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)20,30,30,40,, []80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案． 试题解析：(1)由频率分布直方图知，分数在[)70,80的频率为0.04100.4⨯=， 分数在[)80,90的频率为0.02100.2⨯=， 则分数小于70的频率为10.40.20.4--=，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4. (2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间[]50,90的人数为()0.010.020.040.021010090+++⨯⨯= (人)， 已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间[)40,50内的人数为1009055--= (人)，设总体中分数在区间[)40,50内的人数为x ， 则5100400x =，得20x =， 所以总体中分数在区间[)40,50内的人数为20人. (3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为()0.040.021010060+⨯⨯= (人)， 已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为： 0.6， 即女生的频率为： 0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为： 3:2.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率． 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：,共个，则所求事件的概率为：.（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个，包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，所以所求事件的概率为：.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.3．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，学&科网表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：根据已知条件列出应满足的条件，注意，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，根据已知条件列出应满足的条件，画出可行域，设总收视人次为万，则目标函数为，利用线性规划找出最优解，并求出的最值.试题解析：（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为.考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.解方程组得点M的坐标为.所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.4．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。