高中数学：数列通项公式的求法论文新课标人教B版必修5

论数列通向公式的求法1． 观察法观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1 在数列{}{},n n a b 中112,4a b ==且1,,n n n a b a +成等差数列，,11,n n n b a b ++成等比数列()*n N ∈。

求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通向公式，并证明你的结论。

解：有题设条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++= 由此得2346,12,20a a a ===，2349,16,25b b b === 猜测()()21,1n n a n n b n =+=+ 用数学归纳法证明：(1) 当n=1时，有以上知结论成立；(2) 假设n=k 时，结论成立；即，()()21,1k k a k k b k =+=+，那么当1n k =+时，()()()()21221112k k k a b a k k k k k +=-=+-+=++，()2112k k ka b k b ++==+所以当1n k =+时，结论也成立，由(1)( 2) ，可知()()21,1n n a n n b n =+=+对一切正整数都成立[1]点评：采用数学归纳法证明多是理科教学内容，较为容易，好掌握。

2． 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2 等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n s ，且1,3,9a a a 成等比数列，255s a =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为d(d>0)∵1,3,9a a a 成等比数列，2319a a a ∴=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

3．公式法若已知数列的前n 项和n s 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式求解。

例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()21,1n n S a n n =+-≥．求数列{}n a 的通项公式。

点评：利用公式求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．[2]4．由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

[3]4．1 类型1 递推公式为1()n n a a f n +=+ ，其中(1)(2)...()f f f n +++的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为1()n n a a f n +-=，利用累加法(逐差相加法)求解。

例4 已知数列{}n a 中11211,241n n a a a n +==+-，求{}n a 的通向公式解： 由已知得，1211114122121n n a a n n n +⎛⎫-==- ⎪--+⎝⎭， 令()1,2,...,1n n =-，代入()1n -个等式累积，即 ()()()21321111111...1 (23352321)n n a a a a a a n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111221n a a n ⎛⎫∴-=- ⎪-⎝⎭4342n n a n -∴=- 4．2 类型2 递推公式为()1n n a a f n +=。

解法： （1）把原递推公式转化为()1n na f n a +=，利用累乘法求解。

例5 已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==+，求n a 的通向公式。

解：由条件知11n n a na n +=+，分别令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即（2）由()1n n a f n a +=和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：由已知递推式有()11n n a f n a -=-，()122n n a f n a --=-，…，()211a f a =依次向前代入，得()()()()112...21n a f n f n f f a =--，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。

例6 已知11313,(1)32n n n a a a n n +-==≥+，求n a 。

解：13(1)13(2)1321313(1)23(2)232232n n n a a n n ----⨯--=⋅⋅-+-+⨯++3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=--- 。

[4] 4．3类型3 递推公式为1nn n pa a qa s+=+（p,q,s,为常数）。

解法： 利用两边取倒数求通向公式。

例7 已知数列的{}n a 首项1133,521n n n a a a a +==+，求{}n a 的通向公式解1131212133n n n n n a a a a a ++=∴=++ ，111111211,133n n a a a +⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭，11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，13为公比的等比数列112121333n n n a --== ，332n n na =+ 另解： 设321xx x =+，解得120,1x x == 方法1：131121n n n a a a +-=-+，整理得，11121nn n a a a +--=+ 则121132111n n n n a a a a ++==+--- 即11111311n n a a +-⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭ 故数列111n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以为32-首项，为3公比的等比数列则1113132n n a --+=-，即332n n na =+ 方法2： 由1321n n n a a a +=+，11121n n n a a a +--=+可得，11311n nn n a a a a ++=-- 故数列1n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32-为首项，3为公比的等比数列则132nn n a a -=-，即332n n na =+。

点评：形如1n n n sa t a pa q++=+（ ,,,,s t p q 为常数）的数列可用方程sx t x px q +=+解得两根12,x x ，然后利用111n n n sa t a x x pa q ++-=-+或122n n n sa ta x x pa q++-=-+，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方法称为“特征根法”。

[5]4．4类型4 递推公式为0),(=n n a S f 型的。

解法：（1）用“退一相减法”；（2）利用)2(,1≥-=-n S S a n n n ；（3）归纳，猜想，证明。

方法（1）和方法（2）的实质是由混合型的转化为纯粹型的，也就是“减元思想”的应用。

例8 已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 之间满足()12lglg lg 12n n n n S a S a -+=+-，求{}n a 的通向公式 解()21lg lg 12n n n n S a S a -+⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()2141n n n n S a S a ∴+-=-⎡⎤⎣⎦()210n n S a --=⎡⎤⎣⎦，1n n S a =- (1) 下面用三种方法解答：方法一：下标退一，可得111n n S a --=- (2) (1)-(2)得11,2n n n n n a a a a a --=-+= 即()122nn a n a -=≥，由111S a =-，得112a =数列{}n a 是以112a =为首项，以为12公比的等比数列 1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭方法二：由)2(,1≥-=-n S S a n n n 得()11n n n S S S -=--，11122n n S S -=+ 可得，()11112n n S S --=-，11112n n S S --=-， 数列{}1n S -是以1112S -=-为首项，以12为公比的等比数列。

所以11111222n n n S -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则112n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2n ≥时，112nn n n a S S -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又1112a S ==适合此式，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭方法三：易得123111,,248a a a ===，故猜想12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭下面用数学归纳法证明（证略） 4．5类型5 递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。

解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

[6]例9 已知数列中，，求。

解： 令()12,n n a t a t ++=+ 与已知123n n a a +=+比较，得3t =()1323n n a a +∴+=+，所以，数列{}3n a +是以134a +=为首项，2为公比的等比数列 所以 ()1113322n n n a a -++=+= 即123n n a +=-[7]4．6类型6 递推公式为2n a +=p 1n a ++q n a (p 、q 均为常数)（又称二阶递归）解法： 将原递推公式2n a +=p 1n a ++q n a ，转化为2n a +-α1n a +＝β（1n a +-αn a ）并且由pq αβαβ+=⎧⎨=-⎩解出α、β因此可以得到数列｛1n a +-αn a ｝是等比数列。

特殊地对于n n n qa pa a +=++12 ()1=+q p 型的递推公式，我们可以的这样分析：∵1=+q p∴q p -=1()n n n qa a q a +-=++121()n n n a a q a --=++11 ()n n n n a a q a a --=-+++112q a a a a nn n n -=--+++112∴{}n n a a -+1是以12a a -为首项，公比为q -的等比数列例10 已知数列中a 1=1，a 2=53 2n a +=531n a +-23n a ,求数列｛n a ｝的通项公式n a 。

解： 令2n a +-α1n a +＝β（1n a +-αn a ）由5323αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：α＝1、β＝23则由此可得2n a +-1n a +＝23（1n a +-n a ）， a 2-a 1= 23∴n a -1-n a =123n -⎛⎫⎪⎝⎭∴n a ＝（n a -1-n a ）+（1-n a -2-n a ）+┈+（a 2-a 1）+a 1=123-⎛⎫⎪⎝⎭n +223-⎛⎫ ⎪⎝⎭n +┈+23+1=3-123nn -.∴n a ＝3-123nn -。