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2020 届高三八校第一次联考
数学(文科）
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符最
题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=
A -1 C. -2
2．已知集合，则
A ．B．=N D ．
3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ．则
A ．B． C ． D.
4．定义在R 上的奇函数f(x) 在 (0． +∞ )上单调递增．=0．则满足的 x 取值范围是
A ．B． C ．D．
5．设，则a， b． c 的大小关系是
6．已知平面向量，若垂直，则
λ
=
A ． -1
B ． l
22
7.圆 x +y -4x-4y-10=0
C ． -2
上的点到直线x+y-14 =0的最大距离与最小距离的差是
A ． 36B． 18C． D.
8．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩。其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙
两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为
A ．
B ．C．D．
9．△ ABC的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知则角C=
A ．B． C ． D ．
10.在△ ABC中． A ， B 分别是双曲线 E 的左、右焦点，点 C 在E 上．若=0．则双曲线 E 的离心率为
A.B．C．D．
11.《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“井三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广
“指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱
所在平行线之间的距离。用现代语言描述：在羡琮ABC-A 1B1C 1中， AA 1∥ BB 1∥ CC 1， AA 1=a， BB 1=b ，CC 1=c，两条平行线AA 1与 BB 1间的距离为h ，直线 CC 1到平面 AA 1B1B 的距离为h’，则该羡除的体积为V=．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为
A ．
B ．C．D．
12.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A ． B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且=2 （ O 为坐标原
点），若△ ABO 与△ AFO 的面积分别为 S1212
和 S ．则S +4S
最小值是
A ． B. 6D． 4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设曲线 y=2ax -ln(x +l) 在点 (0， 0)处的切线方程为 y=2x ，则 a=
14．已知数列{a n}是等比数列，a2 =l,a 5=，若S k=，则k=
15.在△ ABC中，内角A， B， C的对边分别为a， b， c 且B=60 ° ,b =4.
①若c=，则角 C 有一个解；②若=8 ，则AC边上的高为2；③ a+c 不可能是9．
上述判断中，正确的序号是
16.在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 上平面 ABCD ， PA =AD =4 ，AB =2 ，以 AC 为直径
的球面交 PD 于点 M ，交 PC 于点 N 则点 N 到平面 ACM 的距离为
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（ 12 分）
在公差是整数的等差数列 {a n
} 中，1n5
a =-9 ，且前 n 项和 S ≥ S .
(1)求数列 {an} 的通项公式 a ；
n
(2)令，求数列 {b n }的前 n 项和 T n .
18.（ 12 分）
如图 l，在直角梯形ABCD 中， AB ∥ DC ，∠ BAD=90°， AB=4， AD =2 ， DC =3，点 E 在 CD 上，且DE =2 ，将△ ADE 沿 AE 折起，使得平面ADE ⊥平面 ABCE( 如图 2)． G 为 AE 中点
(1)求证： DG ⊥ BC ；
(2)求四棱锥D-ABCE的体积；
(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. (12 分 )
为落实国家扶贫攻坚政策，某社区应上级扶贫办的要求，对本社区所有扶贫户每年年底进行收入统计，
下表是该社区扶贫户中 A 户从 2016 年至 2019 年的收人统计数据：（其中y 为 A 贫困户的人均年纯收入）
(l)作出 A 贫困户的人均年纯收入的散点图；
(2) 根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于年份代码x 的线性回归方程，并估计 A 贫困户在
2020 年能否脱贫．（注：国家规定2020 年的脱贫标准：人均年纯收入不低于3800 元）
20.（ 12 分）
已知椭圆C:=l(a>b>0) 过点 (2， 1)，且离心率e=
(l)求椭圆 C 的方程；
(2)已知斜率为一的直线l 与椭圆 C 交于两个不同点A， B，点 P 的坐标为 (2， 1)，设直线PA 与 PB 的倾斜角分别为α，β，证明：α+β =π．
21.（ 12 分）
已知函数f(x)=lnx+
(l)讨论函数 f(x) 的单调性；
(2) 若关于 x的方程有唯一实数解
o
，且
o
N
*，求 n 的值。x x ∈ (n ， n+l) ， n∈
请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22. (10 分 )选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，倾斜角α理的直线Z 的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点为极
点，并轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线℃的极坐标方程为ρ2 =2pcosθ +8.
(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，且 |AB| =，求直线 l 的倾斜角．
23.（ 10 分）选修4-5:不等式选讲
(l)试比较 3π与π3的大小，并加以证明；
(2) 若正实数a， b 满足 a+b=，求证：≤ 1．
