小学奥数题库——操作与策略

第18讲 游戏中的数学问题

例1、 现有1994个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个或2个，取走最后一个球的为胜利者。甲先取，甲为了获胜，他应该怎么取呢？

例2、 有9张卡片，分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9.甲、乙两人轮流取1张，谁手上的3张卡片上的数字加起来等于15，谁就取胜。问保证不败的对策是什么？

例3、 黑板上写着一排连续的自然数，1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数，规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜，问：如甲先划，甲有必胜的策略吗？

例4、64个小朋友的编号是1,2,3,4，…，64，他们围成一圈做游戏，从1号开始，按顺时针方形“1,2，1,2….”地报数，报到2的小朋友表演一个节目后退出圆圈，报到1的小朋友仍留在元券商，这样一直报下去，一圈报完后接着往下报，留在圆圈上的小朋友越来越少，最后留在圆圈上的小朋友的编号是多少？

思考与练习

1、 有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取1个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？

2、甲、乙两人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1~4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样才能获胜？

3、 有三行棋子，每行分别有1,2,4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜，问：要想获胜是先取还是后取？

4、 有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜，如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

5、 有两堆石子，第一堆有27粒，第二堆有18粒，甲、乙两人轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒（甚至把这堆石子一次拿光），但每次不准1粒不拿，也不准从这一堆里拿几粒，从另一堆里拿几粒，谁拿到最后1粒或几粒石子谁就获胜。取胜的策略是什么？

6、甲、乙两人轮流报数，必须报1~4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜。如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？

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第十四讲 数学游戏

编写说明

此讲的趣味性很强，希望教师能够精心安排，充分调动孩子们的好奇心、积极性，互动热烈，打出一个漂亮的结尾战役！考虑到各个班级之间进度上存在差异，所以本讲安排的例题中的前铺和巩固学生版都没有，附加题目中也有不错的游戏，教师可灵活掌握时间！

我来考老师！

相信吗？你的老师他（她）有着惊人的记忆力，他（她）能记住许许多多长长的数字，让你不可思议！譬如，下面的卡片上写着40个多位数，当然还可以更多，无论你问老师第几个数，他（她）都能回答出来，真神了！不信我们来一起考考老师的记忆力？

（1）5312 （11）10423 （21）17534 （31）26645

（2）8404 （12）13516 （22）20628 （32）297310

（3）13516 （13）18609 （23）257112 （33）348215

（4）20628 （14）257112 （24）328016 （34）419120

（5）297310 （15）348215 （25）419120 （35）5010025

（6）408412 （16）459318 （26）5210224 （36）6111130

（7）539514 （17）5810421 （27）6511328 （37）7412235

（8）6810616 （18）7311524 （28）8012432 （38）8913340

（9）8511718 （19）9012627 （29）9713536 （39）10614445

第十讲 游戏策略

对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．

我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）．那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键．

需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．

例题1

有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？

「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．

练习1

有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？

情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．

利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以1n的余数枚棋子，让对方面对1n的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．

1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律

2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案

3. 让孩子掌握各种趣题的不同思考方式．

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一、制胜策略

【例 1】 (圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？

【巩固】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球．

【例 2】 圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？ 例题精讲 知识点拨 教学目标

第十四讲：操作与策略 AB

【例 3】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)

【例 4】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？