２０１３年第９期 数学教学 ９一
北京大学２０１３年保送生数学测试试题赏析
３３００２５ 江西省南昌外国语学校 梁懿涛
２０１３年的北京大学保送生数学测试试题， 延续Ｔ：ＩＬ大历年此类试题的特点，简约不简单． 内容立足于中学数学教材，立意高于中学数学 教材．对此我们来一一赏析．
图１
（２）因为ｏＰ与ＧＯ，＃ｂ切，所以圆 ５￣ＩＭＰＱ：
ＡＰ＋ＣＱ：Ｘ＋（１３一 ）． ‘．‘ＱＭ是ＰＭ在垂直平分线，．‘．ＢＱ：
ＪＦ）Ｑ＝Ｙ，
即得至０ ＝ ＋（１３一 ），Ｙ＝７ － ４。
图１４ Ｄ
Ｃ
（３）‘．‘ＥＣ＝ＥＦ＝４，连结ＥＱ，可证 ＡＥＣＱ￣－ＡＥＦＱ，所以／ＥＱＣ＝ＺＥＱＦ，
￣２（ＺＤＱＦ＋ＺＰＱＭ）＝１８０。，．‘． Ｑ
＝９０。． 可得￣，］ＡＥＱＣ＝ＺＡＰＢ．又因为ＡＥＣＱ
＝ＺＰＡＢ＝９０。（可以理解为两次翻折），所以 ＡＡＰＢ △ＣＱＥ ＥＣ＝筹，击＝
５ 例１ △ ＢＣ内点Ｍ满足 ＣＭＢ：ＩＯ０。．
线段ＢＭ的中垂线交边ＡＢ于点Ｐ，线段ＣＭ
的中垂线交边ＡＣ于点Ｑ，已知Ｐ、Ｍ、Ｑ共
线，求 ＣＡＢ．
赏析：北大每年的保送生考试都有一道平
面几何题，这已经成了其特点之一．虽然难度
都不大，但平面几何题对于考查学生的综合分
析、逻辑推理能力有它的独到之处．对于此题，
考生首先要根据题意准确地做出图形，其次，
由于高中不学的原因ｆ部分省份列入选修，但也
代入（１）中的 ：—２５ ＋ｘ２，整理之后可得
孙１３ｘ２－１３０ ＋１２５：０ｊ解 ： ．
检验，当 ： 时在定义域内，
时
一
Ｂ ｙ Ｑ １３－ｙ Ｃ
时
图ｌ５ ９一 ２ 数学教学 ２０１３年第９期
课时很少，内容很浅１，考生对平面几何的内
容、方法都已陌生，在考试有限的时间内，分
析题意，找到条件与结论之间的联系，需要考
生有敏捷的逻辑分析能力．最后，本题涉及到
的中垂线、三点共线、三角形内角和为１８０。，
这些都属于基础知识的范畴，看出大学招生重
目 录
2015年北京大学604高等数学与地质学基础考研真题（回忆版）
2007年北京大学地质学基础与高等数学考研真题
2006年北京大学高等数学与地质学基础考研真题
2005年北京大学高等数学与地质学基础考研真题
2004年北京大学高等数学与地质学基础考研真题
2015年北京大学604高等数学与地质学基础考研真题
（回忆版）
第一部分 高等数学（75分）
1．计算题：5个积分的计算．（20分）
2．已知曲线，求该曲线上任一点处切线的截距之后．（10分）
3．已知与的关系式，求关于的二阶导，一阶导的加减乘除．（10分）
4．已知，求它们围成的图形的面积．（10分）
5．已知一个微分方程，求其通解．（10分）
6．已知锥面与平面围成的区域为，求三重积分．（15分）
第二部分 地质学基础（75分）
1．名词解释（ 20＝10×2）
（1）标准化石
（2）上层滞水
（3）竖直褶皱
（4）地质作用
（5）不整合（6）侵蚀基准面
（7）岩墙
（8）节理
（9）波切台
注：（10）暂缺
2．判断题（ 10＝10×1）
题目暂缺，主要考点涉及侏罗纪地质年代、岩溶定义、地震的要素、风的磨蚀作用等．
3．简答题（30＝5×6）
（1）影响风化作用类型和速率的因素．
（2）三角洲与冲积扇的异同点．
（3）冰川沉积作用类型及特点．
（4）大西洋型大陆边缘各地貌示意图及成因．
（5）为什么地球经过数百年的侵蚀还未削平？请列举具体原因．
4．论述题（15分）
论述海洋环境分带性及其特征．2007
年北京大学地质学基础与高等数学考研真题
信用市机密 北京大学2007
年硕士研究生入学考试试题
考试料目：地质学基础与高等数学 考试时间，卫庭冷I
肚司丈干
招生专业* 研究方向：
说删：答题--律写在答题纸上（含填空题、选择屈等客睨题｝.写在此页上无效“
地质学基础部分（75
分）"
I一、名词解释（每词2
分，共20
分）
1.
焚雀面 2.
地热梯投3
.矿物4
.残积物 5
.左旋断层
6.
笔座阶地7
.泉华 &沙嘴9
.构造窗 10.
一、整除理论
1． 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
2． 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1是素数。
证明：设不然，n1 = n2n3，n2 p，n3 p，于是n = pn2n3 p3， 即p 3n，矛盾。
3． 设3a2 b2，证明：3a且3b。
写a = 3q1 r1，b = 3q2 r2，r1, r2 = 0, 1或2，
由3a2 b2 = 3Q r12 r22知r1 = r2 = 0，即 3a且3b
4． 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。 设给定的n个整数为a1, a2, L, an，作 s1 = a1，s2 = a1 a2，L，sn = a1 a2 L an，
如果si中有一个被n整除，则结论已真，否则存在si，sj，i < j， 使得si与sj被n除的余数相等，于是nsj si = ai + 1 L aj 5． 设a，b，c是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22accbbacbaaccbbacba
因为 ，故只须证明(a, b, c)(ab, bc, ca) = (a, b)(b, c) (c,
a)，此式用类似于例3的方法即可得证。
6． 设k是正奇数，证明：1 2 …… 91k 2k …… 9k。
设s = 1k 2k L 9k，则由2s = (1k 9k) (2k
8k) L (9k 1k) = 10q1及2s = (0k
9k) (1k 8k) L (9k 0k) = 9q2得102s和92s，于是有902s，从而1 2 L 9 =
45s
7． 设a，b是正整数，证明：(a b)[a, b] = a[b, a b]。
抽象代数基础丘维声答案
【篇一：index】
t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律
[文章摘要]
通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和理想。
[关键字]
模n剩余类环循环群 子环主理想
[正文]
模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：
在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，
arb，当而且只当n|a-b的时候
这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用
a?b(n)
来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：
[a]+[b]=[a+b];
[0]+[a]=[a];
[-a]+[a]=[0];
根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做模n剩余类加群。 这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：
[a][b]=[ab]；
根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫做模n剩余类环。 四，关于理想的定义： 环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：
(i) a,b?a?a-b?a；
(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；
所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足：
(i) [a],[b]?a?[a-b]?a；
(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；
由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。 思路：
