北京市西城区2013年高三一模试题—数学文
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- 1 - 北京市西城区
2013年高三一模考试
数学（文）试题
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集{|||5}UxxZ，集合{2,1,3,4}A，{0,2,4}B，那么UABð
（A）{2,1,4} （B） {2,1,3} （C）{0,2} （D）{2,1,3,4}
2．复数 1ii
（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i
3．执行如图所示的程序框图．若输出3y，则输入角
（A）π6
（B）π6
（C）π3
（D）π3
4．设等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，且10a．若232Sa，则q的取值范围是
（A）1(1,0)(0,)2 （B）1(,0)(0,1)2
（C）1(,1)(,)2 （D）1(,)(1,)2
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长
为2的正方形，该正三棱柱的表面积是
（A）63 （B）123
（C）1223 （D）2423 河南教考资源信息网 版权所有·侵权必究
- 2 - 6．设实数x，y满足条件 10,10,20,xxyxy 则4yx的最大值是
（A）4 （B）12 （C）4 （D）7
7．已知函数2()fxxbxc，则“0c”是“0xR，使0()0fx”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8．如图，正方体1111ABCDABCD中，E是棱11BC的
中点，动点P在底面ABCD内，且11PAAE，则
点P运动形成的图形是
（A）线段 （B）圆弧
（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量(1,0)i，(0,1)j．若向量ij与ij垂直，则实数______．
10．已知函数2log,0,()2,0,xxxfxx 则1()(2)4ff______．
11．抛物线22yx的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点00(,)Mxy在此抛物线上，且52MF，则0x______．
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 （单位：mm）全部介于93至105之间．
将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，，
[9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，，
[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直
方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且cos3cos4AbBa．若10c，则△ABC的面积是______． 河南教考资源信息网 版权所有·侵权必究
- 3 - 14．已知数列{}na的各项均为正整数，其前n项和为nS．若1, ,231, ,nnnnnaaaaa是偶数是奇数且329S，
则1a______；3nS______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数()sincosfxxax的一个零点是3π4．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设22()[()]2singxfxx，求()gx的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，3AC，22ABBC，ACFB．
（Ⅰ）求证：AC平面FBC；
（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；
（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA//平面FDM？
证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，
超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲
停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
18．（本小题满分13分）
已知函数()exfxax，()lngxaxx，其中0a．
（Ⅰ）求)(xf的极值；
（Ⅱ）若存在区间M，使)(xf和()gx在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．
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- 4 - 19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆22143xy的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,DE两点．
（Ⅰ）若点G的横坐标为14，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为1S，△OED（O为原点）的面
积为2S．试问：是否存在直线AB，使得12SS？说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)nniSXXxxxxinnN．
对于12(,,,)nAaaa，12(,,,)nnBbbbS，定义1122(,,,)nnABbababa；
1212(,,,)(,,,)()nnaaaaaaR；A与B之间的距离为1(,)||niiidABab．
（Ⅰ）当5n时，设(1,2,1,2,5)A，(2,4,2,1,3)B，求(,)dAB；
（Ⅱ）证明：若,,nABCS，且0，使ABBC，则(,)(,)(,)dABdBCdAC；
（Ⅲ）记20(1,1,,1)IS．若A，20BS，且(,)(,)13dIAdIB，求(,)dAB的最大值．
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