广东省深圳市石岩公学2020学年高一数学暑假作业13,14

2020年广东省深圳市深大附属中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则A.B. C. D.参考答案：C2. 用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（）A. 1B.C.D.参考答案：C【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.3. 已知点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C考点：任意角的概念 .4. 垂直于同一个平面的两条直线（）A. 垂直Ｂ.平行 C . 相交 D .异面参考答案：B略5. 若tanθ=2，则的值为（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=2，则====，故选：D．6. 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，，则f(－1)＝( )A．2 B．1 C．0D．－2参考答案：D略7. 已知＝(cos2α，sinα)，＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若·＝，则tan(α＋)的值是（）A、 B、 C、 D、参考答案：D8. 正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】取AD中点F，通过中位线平移BD可得到所求角为，利用余弦定理可求得所求角的余弦值.【详解】取AD中点F，连接分别为中点异面直线与所成角即为与所成角设正四面体棱长为，即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：D【点睛】本题考查求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过平移找到所求角，再结合解三角形的知识求解得到结果.9. 两圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.相离D.内切参考答案：B略10. 若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是：A. B. C. D.参考答案：B因为，所以时最大值所以选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若sinα（1+tan10°）=1，则钝角α=．参考答案：140°【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系、诱导公式，可得sinα=cos40°，结合α为钝角，可得α的值．【解答】解：sinα（1+tan10°）=sinα?=sinα?2?=1，∴2sinα?sin40°=cos10°=sin80°，即2sinα?sin40°=sin80°，∴sinα=cos40°，结合α为钝角，可得α=140°，故答案为：140°．12. 点在直线上，则最小值为 .参考答案：913. sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________.参考答案：略14. 不等式的解集是．参考答案：15. 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为45°，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．参考答案：如图过点作，，则四边形是一个内角为45°的平行四边形且，中，，则对应可得四边形是矩形且，是直角三角形，。

广东省深圳市2018年高二数学 暑假作业(5)一、选择题：1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是 （ ）A. x y 2=B. x y lg =C. 3x y =D. 1y x= 2、函数y ＝(a 2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A.｜a ｜>1B.｜a ｜>2C.a>2D.1<｜a ｜<2 3、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是 （） A 、0<a<b<1<d<cB 、0<b<a<1<c<dC 、0<d<c<1<a<bD 、0<c<d<1<a<b 二、填空题： 4、若ｆ（ｘ）是偶函数，其定义域为Ｒ，且在[0,+)∞上是减函数，则ｆ（2a 2+a+1）<f(3a 2-2a+1)的a 的取值集合为________________.5、(),()x g x ϕ都是奇函数，f(x)=()()a x bg x ϕ++2在（0，+∞）上有最大值5，则f(x)在（-∞，0）上有最_______值________.三、解答题：6.设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z . (1)求证：yx z 2111=-; (2)比较3x ，4y ，6z的大小.7、设1221)(+-=x x f （1）求f （x ）的值域；（2）证明f （x ）为R 上的增函数；x一、选择题：1、已知b a ba 、，则2log 2log 0<<的关系是 （ ）111010>>>><<<<<<b a D a b C a b B b a A 、、、、 2、函数f(x)=log 31(5-4x-x 2)的单调减区间为 ( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］3、已知)2(log ax y a-=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］二、填空题：4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______.5．函数y=)124(log 221-+x x 的单调递增区间是 .三、解答题：6已知()32log ([1,9])f x x x =+∈，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值与最小值。

2020年广东省深圳中学自主招生数学试题
1．已知a为正实数，，求＝．
2．已知x2﹣|k|x+1＝0最多有个实数根．
3．将一个正方体的顶面、正面、右面分别写上A、B、C，将正方体按1、2、3、4、5、6的顺序依次翻滚，如正方体滚到1时C面朝下，翻滚到2时B面朝下，则B面朝下时的数字和为．
4．正方形ABCD、DEFG、GHIJ的边长分别为4、5、6，连接AI，求阴影面积为．
5．当x2+x+1＝0，求x3+x2+x+43的值．
6．如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列，m+n＝．
7．已知，求m+的整数部分为．
8．，求（a﹣b）2＝．
9．已知四边形ABCD中，BC＝4，CD＝5，DA＝6，∠A＝∠B＝60°，若，则a+b＝．
10．甲乙两人比赛，比分为4：3，则甲一直领先于乙的情况有种．
11．一个三角形边长为5k，12k，13k，面积S≤900，满足情况的正整数k有个．
12．第一组：1；
第二组：2、3；
第三组：4、5、6；
第四组：7、8、9、10；
725是第m组第n个，m+n＝．
13．x2+|2x﹣6|≥a，求a的最大值．
参考答案
1．3；2．2；3．2；4．13；5．43；6．65；7．2；8．9；9．27；10．9；11．5；12．60；
13．
解：当2x-6≥0时，
x2+|2x-6|
=x2+2x-6
=（x+1）2-7，
此时代数式最小值-7，即a的最大值-7，
当2x-6＜0时，
x2+|2x-6|
=x2-2x+6
=（x-1）2+5，
此时代数式最小值5，即a的最大值5，
∵5＞-7。

深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第三阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自已的学校，班级和姓名填在答题卡上.3.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.第一卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}20,1,2,3.4,|430A B x x x ==-+≥，则A B = （）A.{}0,1 B.{}0,1,3,4 C.{}0,1,2,3 D.{}3,42.已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A .11a b < B.2ab b >C.b c ba c a+>+ D.()()2211a cbc +>+3.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A.1B.2C.4D.64.已知函数()sin2,0,e 1,0x x xf x x >⎧=⎨-≤⎩，则3π4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1e 1-- B.e 1- C.1- D.05.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h 后达到最大值80mg/L ，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h ，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L ，经过的时间约为（参考数据：lg 20.3≈）（）A.8hB.9hC.10hD.11h6.设实数0a >，且1a ≠，则“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2ππ3T <<，且()y f x =的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.52C.1-D.38.已知函数()π5sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若存在,αβ，满足02παβ<<<，且()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A.2325B.35-C.35D.2325-二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列化简正确的是（）A.1sin15cos152=B.sin70cos25sin20sin252-= C.22ππ1cossin 12122-=D.tan27tan33tan33++=10.将函数()tan 2f x x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的为（）A.()g x 的最小正周期为π2B.()g x 的图象关于直线5π12x =对称C.()g x 在区间(0,π3)上单调递减D.()f x 的图象与()g x 的图象关于π(,0)12对称11.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A.ab 的最大值为2B.12a b+可能为3C.的最大值为2D.33a b +的最小值为612.已知实数,,a b c 满足()()53log 23,log 52b bb ba c =+=-，且1b ≥，则（）A.a c b c -≤-B.a c b c -≥-C.a b b c-≤- D.a b b c-≥-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．14.已知角α的终边过点()1,2-，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为__________.15.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ><）.T 为()f x 的最小正周期，且满足1132f T f T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间()0,π上恰有一个最大值一个最小值，ω的取值范围是__________.第二卷四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin2f x x x =+.（1）求()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的对称轴；（2）求函数()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.18.已知函数()22xxf x k -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值；（2）用定义证明()f x 在R 上单调递增.19.已知()22sin sin2πcos 4f αααα+=⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()255f α=-，且π02α-<<.求tan2α的值.20.已知函数()y f x =的定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，()12f -=，且当0x >时，()0f x <.（1）求()1,12f f ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）已知0m >，且1m ≠，若2log 103mf ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.21.如图，某公园有一块扇形人工湖OAB ，其中π2AOB ∠=，1OA OB ==千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD ，喷泉观景区的形状为PBC ，且C 在OB 上，D 在OA 上，P 在 AB 上，记POA θ∠=．（1）试用θ分别表示矩形PCOD 和PBC 的面积；（2）若在PD 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．22.设函数()sin 2cos f x x x =-.（1）设()00,2x π∈，()f x 在0x x =处取得最大值，求0cos2x ；（2）关于x 的方程()1f x k k=+在区间[]0,6π上恰有12个不同的实数解，求实数k 的取值范围.深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第三阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自已的学校，班级和姓名填在答题卡上.3.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.第一卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}20,1,2,3.4,|430A B x x x ==-+≥，则A B = （）A.{}0,1 B.{}0,1,3,4 C.{}0,1,2,3 D.{}3,4【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式后由交集运算得解.【详解】因为{}(][)2|430,13,B x x x =-+≥=-∞+∞ ，所以{}0,1,3,4A B ⋂=.故选：B2.已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A.11a b < B.2ab b >C.b c ba c a+>+ D.()()2211a cbc +>+【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论.【详解】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.3.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A.1B.2C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，由弧长与半径的关系求出α，再由面积求出r ，即可求出扇形的周长.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长2l r r α==，所以2α=，扇形的面积22112S r r α===，解得1r =或1r =-（舍去），所以2lr α==，则该扇形的周长为24r l +=.故选：C4.已知函数()sin2,0,e 1,0xx x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则3π4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1e 1--B.e 1- C.1- D.0【答案】A 【解析】【分析】结合三角函数与指数函数，根据分段函数分段求解函数值即可.【详解】因为()sin2,0,e 1,0x x xf x x >⎧=⎨-≤⎩，所以3π3πsin 142f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()13π1e 14f f f -⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h 后达到最大值80mg/L ，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h ，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L ，经过的时间约为（参考数据：lg 20.3≈）（）A.8h B.9hC.10hD.11h【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出方程，把指数式化为对数式求解即可.【详解】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L 下降到8mg/L 需要经过h n ，则 2.418128010n⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1221log log 102.410n ==，则212.4log 10 2.48lg 2n ==⨯≈，故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L 需要8+2=10（h ）.故选：C.6.设实数0a >，且1a ≠，则“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解指数不等式和对数不等式得到解集，根据两个解集的包含关系，得到答案.【详解】由22a >，解得1a >，由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1112a a >⎧⎪⎨+>⎪⎩或011012a a <<⎧⎪⎨<+<⎪⎩，解得1a >或102a <<，故“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A7.记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若2ππ3T <<，且()y f x =的图象关于点3π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.52C.1-D.3【答案】C 【解析】【分析】根据周期公式求出23ω<<，再由对称性确定ω的值，即可得到函数解析式，最后代入计算可得.【详解】因为()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T 满足2ππ3T <<，所以2π2ππ30ωω⎧<<⎪⎨⎪>⎩，解得23ω<<，又()y f x =的图象关于点3π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以3π3ππsin 0224f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3πππ,Z 24k k ω+=∈解得12,Z 63k k ω=-+∈，当4k =时52ω=，所以()5πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则π5ππsin 12224f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C8.已知函数()π5sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若存在,αβ，满足02παβ<<<，且()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A.2325B.35-C.35D.2325-【答案】D【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得π,ππππ06226αβ<-<<-<，求出π6α-，π6β-的余弦，再利用角的变换得解.【详解】令()π5sin 06f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，02πx <<，则π6x =或7π6x =，令()π5sin 56f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，02πx <<，则2π3x =，又02παβ<<<，()()1ff αβ==，所以π2π2π7π6336,αβ<<<<，π1π1sin ,sin 6565αβ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π,ππππ06226αβ<-<<-<，所以π26cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，26cos 65πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()ππππππcos cos cos cos sin sin 666666βαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦26261123555525-⨯⨯=-=+.故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列化简正确的是（）A.1sin15cos152=B.2sin70cos25sin20sin252-= C.22ππ1cossin 12122-=D.tan27tan33tan33++= 【答案】BD【分析】利用二倍角公式判断A 、C ，利用诱导公式及两角和的余弦公式判断B ，利用两角和的正切公式判断D.【详解】对于A ：()411sin15cos152sin15cos15sin 13022=⨯==，故A 错误；对于B ：sin70cos25sin20sin25-()sin 90cos25sin20sin2520=-- cos25sin20si s n2205co =- ()s 25252cos 20co 2=+==，故B 正确；对于C ：22ππππcos sin cos 2cos 12121262⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ：因为()tan 27tan 33tan60tan 2733a 27ta n n 313t ==+-+=，所以tan27tan33tan33+= ，所以tan27tan33tan33++= D 正确.故选：BD10.将函数()tan 2f x x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的为（）A.()g x 的最小正周期为π2B.()g x 的图象关于直线5π12x =对称C.()g x 在区间(0,π3)上单调递减D.()f x 的图象与()g x 的图象关于π(,0)12对称【答案】AD 【解析】【分析】先根据左加右减得到()g x 的解析式，A 选项，根据正切函数最小正周期公式求出A 正确；B 选项，5ππtan 122g ⎛⎫=⎪⎝⎭无意义，B 错误；C 选项，整体法判断出函数的单调性；D 选项，计算出()π06f x g x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故D 正确.【详解】由题意得ππ()tan 2tan 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项，()g x 的最小正周期为π2T =，A 正确；B 选项，因为正切函数没有对称轴，故5π12x =不是()g x 的对称轴，B 错误；C 选项，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由于tan y z =在ππ,33z ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上单调递增，故()g x 在(0,π3上单调递增，C 错误；D 选项，()πππtan 2tan 20633f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象与()g x 的图象关于π(,0)12对称，D 正确.故选：AD11.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A.ab 的最大值为2B.12a b+可能为3C.的最大值为2D.33a b +的最小值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合指数函数的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，因为0,0a b >>，且2a b +=，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故A 不正确；对于B ，因为0,0a b >>，且2a b +=，所以121331222222a b b aa b a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2b a a b=，即4b ==-时，等号成立，故1232a b +≥+，又332>，故B 正确；对于C ，因为0,0a b >>，且2a b +=，所以22224a b =++=++=，当且仅当1a b ==时等号成立，则02<≤，故C 正确；对于D ，因为0,0a b >>，且2a b +=，所以336a b +≥===，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确.故选：BCD.12.已知实数,,a b c 满足()()53log 23,log 52b bb ba c =+=-，且1b ≥，则（）A.a c b c -≤-B.a c b c -≥-C.a b b c -≤-D.a b b c-≥-【答案】BC 【解析】【分析】构造函数23()()(55xxf x =+，利用其单调性以及作差的方法比较大小．【详解】由题意得520b b ->，即52b b >，又1b ≥，则20()15b<<，令23()()()55x x f x =+，又(1)1f =，因为函数23(),(55x xy y ==在R 上单调递减，则()f x 在R 上单调递减，因为1b ≥，可得23()()155bb+<，235b b b ∴+<，两边同取以5为底的对数得：55log (23)log 5b b a =+<b b =，235b b b ∴+<，移项得523b b b ->，两边同取以3为底的对数得3log (52)b b c b =->，所以c b a >>，所以b a -<-，所以c b c a -<-，且0c b ->，0c a ->，下面严格证明当1b >时，0b a c b <-<-，55551log (23)log ()log ()2323((55b bbb b b b b a b -=-+==++，3352log (52)log [(()]33b b b bc b b -=--=-，根据函数52()()()33x xh x =-在R 上单调递增，且()11h =，则当1b >时，有521()()33b b <-，230()()155b b<+< ，1123()()55b b ∴<+，下面证明：552233b b bb b b-<+，1b >，要证：552233b b bb b b-<+，即证：15(23)(52)b b b b b <+-，等价于证明4610b b b <+，即证23((155bb+<，此式开头已证明，对552233b b b b b b-<+，左边分子分母同除5b，右边分子分母同除3b 得152()()2333()(55b bb b <-+，则553152520log ()log [(()]log [(()]233333()(55b b b b b b b ac b<-=<-<-=-+故当1b >时，0b a c b <-<-，则a b b c-<-当1b =时，5log 51a ==，3log 31c ==，则||||a c b c -=-，||||a b b c -=-，综上a c b c -≥-，a b b c -≤-.故选：BC ．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一）【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或m nα=（,m n 是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.14.已知角α的终边过点()1,2-，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为__________.【答案】5-【解析】【分析】根据三角函数的定义求解sin α，再根据诱导公式求解即可.【详解】已知角α的终边过点()1,2-，则25sin 5α==，所以π25cos sin 25αα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭.故答案为：5-.15.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】13-【解析】【分析】根据奇函数及所给关系求出函数周期即可得解.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1()f x f x f x +=-=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数周期2T =，所以131111433333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13-16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ><）.T 为()f x 的最小正周期，且满足1132f T f T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间()0,π上恰有一个最大值一个最小值，ω的取值范围是__________.【答案】1117,66⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】【分析】根据题意可得512x T =为()f x 的一条对称轴，即可求得π3ϕ=-，再以π3x ω-为整体分析可得ππ35ππ223ω-<≤，计算可得.【详解】由题意可得：()f x 的最小正周期2πT ω=()0ω>，∵1132f T f T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11112362T T T T -=<，则11523212T Tx +==为()f x 的一条对称轴，∴()55πππ1262T k k ωϕϕ⨯+=+=+∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=-∈Z ，又∵π2ϕ<，则0k =，π3ϕ=-，故()πsin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭()0ω>，∵()0,πx ∈，则πππ,π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间()0,π上恰有一个最大值一个最小值，则ππ35ππ223ω-<≤，解得111766ω<≤，故ω的取值范围是1117,66⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：1117,66⎛⎤⎥⎝⎦.第二卷四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin2f x x x =+.（1）求()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的对称轴；（2）求函数()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）π12x =（2）2⎤⎦.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】因为()13πsin222sin 2223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()ππ2π32x k k +=+∈Z ，则()ππ212k x k =+∈Z ，令0k =，得π12x =，()f x \在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的对称轴为π12x =；【小问2详解】对于()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π2,333x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 2,132x ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以当ππ232x +=，即π12x =时()f x 取得最大值，即()max 2f x =；当ππ233x +=或π2π233x +=，即0x =或π6x =时()f x 取得最小值，即()min f x =()2f x ⎤∴∈⎦，所以函数()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为2⎤⎦.18.已知函数()22xxf x k -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值；（2）用定义证明()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，结合奇函数的性质得()00f =，求出k 值再验证即可；（2）根据题意，取值、作差、变形、判断符号，最后得到其单调性.【小问1详解】函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即00220k -⋅-=，解得1k =，下证当1k =时，()22xxf x -=-为奇函数.()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=- ，∴当1k =时，()22x x f x -=-为奇函数.【小问2详解】由（1）得()22xxf x -=-，任取1212,,x x x x <∈R ，()()()()2211212222x x x x f x f x ---=---()2112112222x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()212112222222x x x x x x -=-+⋅()2112122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭21x x > ，且函数2x y =在R 上单调递增，212122,220x x x x ∴>∴->，而1211022x x +>⋅，()21121221022x x x x ⎛⎫∴-+> ⎪⋅⎝⎭，即()()21f x f x >，()f x ∴是R 上的单调增函数.19.已知()22sin sin2πcos 4f αααα+=⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()5f α=-，且π02α-<<.求tan2α的值.【答案】（1）()f αα=（2）34-.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和差角的余弦公式求出答案；（2）在（1）的基础上得到10sin 10α=-，从而得到余弦和正切，利用正切二倍角公式求出答案.【小问1详解】()222sin sin22sin 2sin cos πππ2cos cos sin sin cos 4442f ααααααααααααα+++===⎛⎫+- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由已知()255fαα==-，sin 10α∴=-，π3100,cos 210αα-<<∴=又，1tan 3α∴=-，22tan 3tan21tan 4ααα∴==--20.已知函数()y f x =的定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，()12f -=，且当0x >时，()0f x <.（1）求()1,12f f ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）已知0m >，且1m ≠，若2log 103mf ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.【答案】（1）112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()12f =-；（2）()40,1,9∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）赋值得到()00f =，进而得到()1,12f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到不等式21log 32m <，分01m <<和1m >两种情况，求出答案.【小问1详解】令0x y ==得()()()000f f f =+，()00f ∴=，令1,1x y =-=，得()()()0110f f f =+-=，()()112f f ∴=--=-，令12x y ==-，得()111222f f f ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】任意12,x x ∈R ，设12x x <，则210x x ->，0x >时，()0f x <，()210f x x ∴-<，()()()()()22112111f x f x x x f x x f x f x ∴=-+=-+<，()f x ∴是R 上的减函数，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，故()f x 为奇函数，0,1m m >≠ ，且2log 103m f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，又112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，21log 032m f f ⎛⎫⎛⎫∴+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21log 32m f f⎛⎫⎛⎫∴>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21log 32m f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21log 32m<，当01m <<时，21log 32mmm >，则1223m >，即49m <，故409m <<；当1m >时，21log 32mmm <，则1223m <，即49m >，则1m >；综上，m 的取值范围为()40,1,9∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭21.如图，某公园有一块扇形人工湖OAB ，其中π2AOB ∠=，1OA OB ==千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD ，喷泉观景区的形状为PBC ，且C 在OB 上，D 在OA 上，P 在 AB 上，记POA θ∠=．（1）试用θ分别表示矩形PCOD 和PBC 的面积；（2）若在PD 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．【答案】（1）矩形PCOD 的面积为πcos sin ,(0,)2S θθθ=∈；PBC 的面积为：11πcos sin cos ,(0,222PBCS θθθθ=-∈（2）π4θ=，2+万元【解析】【分析】（1）根据题意，得到cos OD θ=，sin PD θ=，进而求得矩形PCOD 和PBC 的面积的表达式；（2）根据题意，得到总费用为：()()π8sin cos sin cos 6,(0,)2f θθθθθθ=+-+∈，设sin cos t θθ+=，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意π0,2POD θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以cos OD θ=，sin PD θ=，所以矩形PCOD 的面积为πcos sin ,(0,)2S θθθ=∈，PBC 的面积为()111πcos 1sin cos sin cos ,(0,2222PBC S θθθθθθ=-=-∈ .【小问2详解】解：由题意，可得建造观景区所需总费用为：()()11π16cos sin cos 8sin 68sin cos sin cos 6,(0,222f θθθθθθθθθθ⎛⎫=-++=+-+∈ ⎪⎝⎭，设sin cos t θθ+=，则22sin cos 1t θθ=-，又由(πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以()22111sin cos sin cos 11222t t t θθθθ+-=-++=--+，当t =，即π4θ=时，有()min 1sin cos sin cos 2θθθθ+-=，所以()min 18622f θ⎫=-+=+⎪⎭（万元），即当π4θ=平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为2+万元．22.设函数()sin 2cos f x x x =-.（1）设()00,2x π∈，()f x 在0x x =处取得最大值，求0cos2x ；（2）关于x 的方程()1f x k k=+在区间[]0,6π上恰有12个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）35（2）5151,11,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由()()2πf x f x -=可得函数()f x 关于直线πx =对称，又当π()0,x ∈时，()()f x x ϕ=+，其中25sin 5ϕ=-，5cos 5ϕ=，进而存在0(0,π)x ∈满足题意，利用诱导公式及二倍角余弦公式可得03cos 25x =，由对称性可知还存在0(π,2π)x ∈，同理可得03cos 25x =，从而即可得答案；（2）由()()2πf x f x +=，可得函数()f x 为周期函数，进而根据周期性和对称性可将原问题转化为关于x 的方程()1f x k k=+在区间(0,π)上恰有2个不同的实数解，然后根据三角函数的图象与性质可得12kk <+<【小问1详解】解：因为()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()f x 关于直线πx =对称，因为当π()0,x ∈时，()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+，其中sin 5ϕ=-，cos 5ϕ=，所以存在0(0,π)x ∈，使得0()f x 为函数()f x 在区间(0,π)上的最大值，由对称性可知0()f x 也为()f x 在区间(0,2π)上的最大值，所以0π2x ϕ+=，所以0π5sin sin cos 25x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，0π25cos cos sin 25x ϕϕ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，2003cos212sin 5x x =-=，由对称性可知还存在0(π,2π)x ∈，使得0()f x 为函数()f x 在区间(0,2π)上的最大值，所以0sin 5x =-，2003cos 212sin 5x x =-=，综上，03cos 25x =；【小问2详解】解：因为()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()f x 为周期函数，周期为2π，所以原问题等价于关于x 的方程()1f x k k =+在区间[0,2π]上恰有4个不同的实数解，又由对称性可知关于x 的方程()1f x k k =+在区间(0,π)上恰有2个不同的实数解，当[0,π]x ∈时，()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+，(0)2f =-，()π2f =，所以12k k <+<因为12k k +>，所以1k ≠，因为1k k +<，所以210k -+<，解得11,22k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为11,11,22⎛⎫⎛⎫+⋃⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。