最新 2020届百所名校高三理综模拟金典试卷(一)

100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷理科数学（二）试题一、单选题(★) 1 . 设集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．(★) 4 . 函数的大致图象为（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知为公差不为0的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A．0B．C．90D．110(★) 6 . 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A．互联网行业从业人员中80前占3%以上B．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多(★) 7 . 抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．3(★) 8 . 程序框图如下图所示，若程序运行的结果，则判断框中应填入（）A．B．C．D．(★★) 9 . 的展开式中的系数是（）A．160B．240C．280D．320(★★) 10 . 在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，四边形为正方形，，，，点到平面的距离为2，则这个羡除的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．函数是偶函数D．在区间上的值域为(★★) 12 . 设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的和为（）A．B．589C．D．二、填空题(★) 13 . 若向量，，且，则实数等于_________．(★) 14 . 若，满足，则的最大值为________．(★★) 15 . 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是_________．(★★) 16 . 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，过点作平面与正四棱柱的三条侧棱，，分别交于，，，且，若多面体和多面体的体积比为3∶5，则截面的周长为_________．三、解答题(★★) 17 . 如图，等腰直角三角形中，，，点为内一点，且，.（1）求；（2）求.(★★) 18 . 在中，，，，已知，分别是，的中点，将沿折起，使到的位置如图所示，且，连接，．（1）求证：平面平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．(★★) 19 . 已知、是椭圆上不同的两点，的中点坐标为．（1）证明：直线经过椭圆的右焦点．（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，若直线与直线的斜率的和为1，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．(★★) 20 . 某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值．①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．(★★★★★) 21 . 已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值. (★★) 23 . 已知.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意的都成立，证明：.。

2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点， 则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点． 则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===， 连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增， 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =， 当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增， 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 （2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。

2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学（九）试题一、单选题(★) 1 . 已知，，则（）．A．B．C．D．(★) 2 . 设（为虚数单位），则的共轭复数为（）．A．B．C．D．(★) 3 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为（）．A．B．C．9D．3(★) 4 . 设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则，）A．7539B．7028C．6587D．6038(★) 5 . 已知，满足，，则（）．A．B．C．D．(★) 6 . 在中，点为的中点，点满足，若，则（）．A．B．C．3D．(★) 7 . 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）．A．B．C．D．(★) 8 . 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）．A．18B．20C．22D．24(★★) 9 . 一个几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组成的，其三视图如图所示．若，则这个几何体的体积取得最大值时，表面积等于（）．A．B．C．D．(★) 10 . 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，，成等差数列，且，则等于（）．A．B．C．3D．2(★★) 11 . 在边长为2的正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则线段的最小值为（）．A．B．C．D．(★★) 12 . 已知函数，，若有4个零点，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 已知定义在上的奇函数满足：当时，．则__________．(★) 14 . 若，满足，则的最小值为__________．(★★★★) 15 . 古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得．同理可得, ,…,按此规律,则__________（）(★★) 16 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为__________．三、解答题(★★) 17 . 设各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，满足：对任意的 n∈ N*，都有 a n +1+S n +1＝1，又 a 1．（1）求数列{ a n }的通项公式； （2）令 b n ＝log 2 a n ，求（ n∈ N*）(★) 18 . 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如下表： 年份（年） 1 2 3 4 5维护费（万元）1.1 1.6 22.52.8（1）在这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率；（2）求 关于 的线性回归方程．若该设备的价格是每台16万元，你认为应该使用满五年换一次设备，还是应该使用满八年换一次设备？请说明理由．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ． (★★) 19 . 如图①，在等腰梯形中，， ， 分别为，的中点， ，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图②所示的多面体在图②中，（1）证明： ；（2）求二面角的余弦值．(★★) 20 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为 ，直线与抛物线 交于 ， 两点，过这两点分别作抛物线 的切线，且这两条切线相交于点 ．（1）若点 的坐标为，求 的值； （2）设线段的中点为，过的直线 与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于，两点，求的取值范围．(★★★★) 21 . 设函数，其中．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当，且时，证明不等式．(★★) 22 . 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上在第二象限内的点，且在点处的切线与直线平行，求点的直角坐标．(★★) 23 . 已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若，，恒成立，求实数的取值范围．。