湖南省2019年普通高等学校对口招生考试数学试题含答案

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湖南省普通高等学校对口招生考试
数学试卷(含答案)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{
}3,1=A ,{}a B ,0=,且{}3,2,1,0=⋃B A ,则=a ( C ) A.0 B. 1 C.2 D. 3
2.“4>x ”是“2>x ”的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.过点P(1, 1) 且与直线043=-y x 平行的直线方程是( D )
A 、0734=-+y x
B 、0143=+-y x
C 、0134=-+y x
D 、0143=+-y x 4.函数[])8,1(log )(2∈=x x
x f 的值域为( B )
A 、[0, 4]
B 、[0, 3]
C 、[1, 4]
D 、[1, 3] 5.不等式()01<+x x 的解集是( C )
A 、{}1-<x x
B 、{}0>x x
C 、{}01<<-x x
D 、{}
01>-<x x x 或
6.已知43
tan -=α ,且α为第二象限角,则=αsin ( D )
A 、54-
B 、54
C 、53-
D 、5
3
7、已知 A, B 为圆122=+y x 上两点, O 为坐标原点,若2=AB ,则=•OB OA ( B ) A 、23-
B 、0
C 、 2
1
D 、2
8. 函数 2sin )(+=x A x f ( A 为常数)的部分图像如图所示,则 A =( A ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、-1
9.下列命题中,正确的是( D ) A .垂直于同一条直线的两条直线平行 B .垂直于同一个平面的两个平面平行
C .若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则该直线与平面平行
D .一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直
10.已知直线1:=+by ax l (b a , 为常数)经过点)3sin ,3(cos π
π则下列不等式一定成立的是
( A )
A 、122≥+b a
B 、122≤+b a
C 、1≥+b a
D 、1≤+b a 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.在一次射击比赛中,某运动员射击 20 次的成绩如下表所示:
单次成绩(环)
7 8 9 10 次数
4
6 6
4
则该运动员成绩的平均数是 8.5 (环);12.已知向量()0,1= ,()1,0=且y x +=,则=+y x 27; 13.()5
1ax +的展开式中x 的系数为 10,则=a 2;
14.将 2,5,11三个数分别加上相同的常数,使这三个数依次成等比数列,则=m 1 ; 15.已知函数)R x )(x (f ∈为奇函数,)R x )(x (g ∈为偶函数,且1x 4x )x (g )x (f 2+-=+,求
=-)2(g )2(f -13 .
三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 题为选做题.满分 60 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分10分)
已知数列{}n a 为等差数列,若1a 1=,3a 2= (I )求数列{}n a 的通项公式;
(II )设n n n a )1(b -=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求100T . (Ⅰ)解:设数列{}n a 公差为d ,则 2a a d 12=-= 故 1n 22)1n (1a n -=⨯-+= (Ⅱ)解:)1n 2()1(b n n --=
100502199197119)75()31(199
19797531T 100=⨯=+-++-++-++-=+-+-+-+-=)
()( 17. (本小题满分10分)
10 件产品在有 2 件不合格品,每一次取一件,有放回地抽取三次,用ξ表示取到不合格品的次数,求: (I )随机变量的ξ分布列;
(II )三次中至少有一次取到不合格品的概率. (I )解:随机变量ξ的可能取值为 0,1,2,3,则
12564)54(C )0(P 3
03===ξ 12548)54()51(C )1(P 2113
===ξ 12512)54()51(C )2(P 1
223===ξ 125
1)51(C )3(P 333
===ξ 故ξ的分布列为
ξ 0
1
2
3
P
125
64
125
48 125
12 125
1 (II 125
61
125641)1(P =
-
=≥ξ 18.(本小题满分 10 分)
已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=4x 2,x 62
x 0,x )x (f 2
(I )画出)x (f 的图象;
(II )若2)m (f ≥,求 m 的取值范围.
(I )解:作 f (x) 的图象如下所示:
(II )由 ⎩⎨
⎧≥-≥2m 62
m 2得4m 2≤≤
故 m 的取值范围为
[]
42,
19.(本小题满分 10 分)
如图,在三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 底面ABC ,
1B C AB ==,090ABC =∠, 为 AC 的中点。

(Ⅰ)证明: ⊥B D 平面11A ACC ;
(Ⅱ)若直线1BA 与平面11A ACC 所成的角为030 , 求三棱柱111C B A ABC -的体积。

(Ⅰ)证明:略 (Ⅱ)解:2
1
V 111C B A ABC =
- 20.(本小题满分 10 分)
已知椭圆C : 1y 2
x 22
=+ (I )求椭圆C 的离心率;
(II )已知点 M(1,0),直线1x y -=与椭圆C相交于 A ,B 两点,求AB M ∆的面积. (I )解:由题意得2a =,1b a c 22=-=故椭圆C 的离心率为22
2
1a c e =
==
(II )解:将1x y -=代入C :1y 2x 22
=+得0x 4x 32=- 设)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则3
2
4)34)(11(AB 2=+=
点M(-1, 0) 到直线1x y -=的距离为 2)
1(1101d 2
=-+---=
3
4
232421d AB 21S ABM =⨯⨯=⨯=
∆ 选做题:请考生在第 21题,22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第21题计分,作答时,请写清题号.
21.(本小题满分 10 分)
如图,在直角三角形 ABC 中,090ACB =∠ ,060ABC =∠, M ,
AB C ∆为内一点,且1MC =. (Ⅰ)求 AM 的长; (Ⅱ)求AMB sin ∠的值.
(Ⅰ)7 (Ⅱ)7
7
2AMB sin =
∠ 22.(本小题满分 10 分)
某企业拟生产产品A 和产品B ,生产一件产品A 需要新型材料2千克,用3个工时;生产一件产品B 需要新型材料1千克,用2个工时. 生产一件产品A 的利润为1600元,生产一件产品B 的利润为1000元. 现有新型材料200千克,问该企业在不超过360个工时的条件下,如何规划生产,才能使企业获得的总利润最大?并求出总利润的最大值.
解:设生产产品A 和产品B 分别为x 件,y 件,公司获利为Z ,则y 1000x 1600Z +=,
由题意得:⎪⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0y 0x 360y 2x 3200y x 2
当,120y 40x ==,时,184001201000401600Z max =⨯+⨯=(元)。