数学基础知识与典型例题
直线和圆的方程
直线和
圆的方
程知识
关系
直线的方程一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角α的范围是0180
α<
≤.
2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即
tan
kα
=.
注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
②当
90
=
α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.
③过两点
111
(,)
P x y、
222
(,)
P x y
12
()
x x
≠的直线斜率公式21
21
tan
y y
k
x x
α
-
==
-
二、直线方程的五种形式及适用条件
名称方程说明适用条件
斜截式y=kx+b
k—斜率
b—纵截距
倾斜角为90°的直线
不能用此式
点斜式y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)—直线上已
知点，
k ──斜率
倾斜角为90°的直线
不能用此式
两点式1
21
y y
y y
-
-
=1
21
x x
x x
-
-
(x1，y1)，(x2，y2)
是直线上两个已知
点
与两坐标轴平行的直
线不能用此式
截距式
x
a
+
y
b
=1
a—直线的横截距
b—直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标
轴平行的直线不能用
此式
一般式
A x+
B y+C=0
(A、B不全为零)
A、B不能同时为零
例8. 与直线:23x y +(1,4)A -的'的方__________
例9. 已知二直线8:1+y mx l 和
2:2+my x l ，若21l l ⊥，m =_____，n =____.
两直线的位置关系⑵两条相交直线
1
l与
2
l的夹角：
两条相交直线
1
l与
2
l的夹角，是指由
1
l与
2
l相交所成的四
个角中最小的正角θ，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围
是0,
2
π
⎛⎤
⎥
⎦
⎝
,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，
则有21
12
tan
1
k k
k k
θ
-
=
+
.
4.距离公式。
⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：A x+B y+C=0，则点P到直线
l的距离d=00
22
||
Ax By C
A B
++
+
；
⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0，l2:A x+B y+C2=0之间的距离
d=12
22
||
C C
A B
-
+
。
5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.
含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，
即旋转直线系和平行直线系.
⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，
①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的
旋转直线系，
②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.
⑵已知直线l：A x+B y+C=0，
则①方程A x+B y+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；
②方程-B x+A y+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。
⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，
直线l2：A2x+B2y+C2=0，
则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思
路.
例10. 经过两直线
11x－3y－9＝0与
12x＋y－19＝0的交点，且过
点(3,-2)的直线方程为
_______.
例11. 已知△ABC中，A（2，
-1），B（4，3），
C（3，-2），求：
⑴BC边上的高所在直线方
程；⑵AB边中垂线方程；⑶
∠A平分线所在直线方程.
例12. 已知定点
P（6，4）与定直线l1：y=4x，
过P点的直线l与l1交于第
一象限Q点，与x轴正半轴
交于点M，求使△OQM面积最
小的直线l方程.
简单的线性规划线性规划
⑴当点P(x0，y0)在直线A x+B y+C=0上时，其坐标满足方程A x0+B y0+C=0；
⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时，A x0+B y0+C≠0，即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式A x+B y+C>0（或<0）表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。
利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。
