二次函数的存在性问题之菱形
1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
@ 2. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线
经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．
]
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标；
（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点
，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
3. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；/
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k ＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
4. 综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．
#
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N
若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax2+bx +c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
}
5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的长．
（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
。
}
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
·
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式．
（2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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8. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
；
*
9. 如图，抛物线 y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
'
（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由；
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10. 抛物线y= x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．
(（1）求D点坐标；
（2）若∠PBA= ∠OBC，求点P的坐标；
（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
]
…
11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由．
}
…
12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点
A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC 下方抛物线上的动点．（1）求出二次函数的解析式；
（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；
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13. 如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
