高一年级数学科上学期期末试卷(B)

1建平中学2023学年第一学期高一数学期末2024.1一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知扇形的面积是4,半径为2,则扇形的圆心角为________弧度.2.已知α是第二象限角,且35sin α=,则tan α=________.3.若函数()()23(0a f x log x a =−−>且1)a ≠的图像恒过定点A ,则A 的坐标是______.4.已知02,πα∈−,若728cos α=,则sin α=________.5.方程)20sin xx =≤≤π的解集为________. 6.函数()2f x x =+的值域是________. 7.已知α为锐角,167cos πα+=,则cos α=________.8.已知函数()9999999f x ax bx x =+−+,且()210f −=,则()2f =________. 9.若存在x R ∈,使34cosx sinx k =+成立,则实数k 的取值范围是________.10.已知函数()(2x f x ln x =+,若()2561f m m +−<,则实数m 的取值范围是_____.11.已知函数()()242,1,23,1xx f x g x x ax x x −< ==++ −≥ ,若函数()()y g f x =有6个零点,则实数a 的取值范围是________.12.若存在实数,a b ,对任意实数[]01x ,∈,不等式32x m ax b x −≤+≤恒成立,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题3分,满分12分) 13.“1sinx =”是“0cosx =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件214.已知实数,a b 满足a b >,则下列不等式恒成立的是( )A.11a b −−>;B.22a b >;C.33a b >;D.a b >.15.对于ABC ∆,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,有如下判断：(1)若cosA cosB =,则ABC ∆为等腰三角形;(2)若A B >,则sin sinA B >;(3)若8,10,60a c B === ,则符合条件的ABC ∆有两个;(4)若sinAsinB cosAcosB <,则ABC ∆是钝角三角形.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16.已知集合S 是由某些正整数组成的集合,且满足:若a S ∈,则当且仅当(a m n =+其中正整数,m n S ∈,且)m n ≠或(a p q =+其中正整数,p q S ∉,且)p q ≠.现有如下两个命题:(1)5S ∈;(2)集合{}*3xx n,n N S =∈⊆∣.则下列判断正确的是( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题. B.(1)是真命题,(2)是假命题. C.(1)是假命题，(2)是真命题. D.(1)是假命题,(2)是假命题. 三、解答题（本题共有5大题,满分52分) 17.已知角α的终边经过点()12M ,−, (1)求()23sin cos cos sin α+π−αα−α的值.(2)求24tan πα+的值.18.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2sin B =. (1)求角B 的大小.(2)若ABC ∆的面积为6,4a =,求b 的长.319.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现，某水果的产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤=−<≤−,且施用肥料及其它成本总投入为20x 元.已知这种水果的市场售价大约10元/千克,且生产的水果都能售出.记该水果利润为()f x (单位:元)（利润=销售额-成本）(1)写出利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式.(2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？20.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点. (1)已知函数()23f x x x =−−,求函数()f x 的不动点.(2)若对于任意的b R ∈,二次函数()()()2180f x ax b x b a =+−+−≠恒有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.(3)若函数()()211f x mx m x m =−+++在区间()02,上有唯一的不动点,求实数m 的取值范围.421.若函数()f x 满足:对任意正数,s t ,都有()()()f s f t f s t +<+,则称函数()f x 为“H 函数”. (1)试判断函数()21f x x =与()()21f x ln x =+是否为“H 函数”,并说明理由. (2)若函数33x y x a =+−是“H 函数”,求实数a 的取值范围.(3)若函数()f x 为“H 函数”,()11f =,对任意正数,s t ,都有()()0,0f s f t >>,求证:对任意()()122k k x ,k N +∈∈,都有()122x f x f x x −>−.5参考答案一、填空题 1.2 ; 2. 34−3.()33,−4.14−;5.388,ππ ;6.54,⋅−∞; 8.8; 9.[]55,⋅−; 10.()61,−；11.(3,⋅−− 12.14,+∞二、选择题13.A 14. C 15. C 16.A 三．解答题17.【答案】（1）-1 (2)-7【解析】（1）由已知得2tan α=−,()22211333sin cos sin cos tan cos sin cos sin tan α+π−αα−αα−∴===−α−αα−α−α;(2)2tan α=− ,224231tan tan tan α∴α==−α,则2127412tan tan tan πα+α+==− −α. 18.【答案】（1）4B π=(2)b = 【解析】（1）因为2sin B =，所以2sinBcosB =. 因为0sinB ≠,所以cosB =,又,0B <<π,所以4B π=.(2)因为114622ABC S acsinB c ∆==××=,所以c =由余弦定理可得222216182410b a c accosB +−+−××,所以b =. 19.【答案】(1)()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤= −−<≤−(2)肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元【解析】(1)由已知()()1020f x W x x =−,又()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤= −<≤ −,6所以()()2201720,028050020,251x x x f x x x x +−≤≤= −−<≤ − ,整理得()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤ = −−<≤− . （2）当02x ≤≤时,()2212020340203352f x x x x−+−+，∴当02x ≤≤时,()()2380f x f ≤=,当25x <≤时,()80500201f x x x =−−−, ()80500201201x x =−+−+ − ()804802014804001x x−+−≤− −当且仅当()802011x x =−−,即3x =时等号成立,()400max f x =,因为380400<综上,所以()f x 的最大值为400.故当施用肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元. 20．【答案】(1)1,3− (2)()06,(3)11m −<≤或m =【解析】(1)设0x 为不动点,因此20003x x x −−=,解得01x =−或03x =,所以1,3−为函数()f x 的不动点.(2)方程()f x x =，即()218ax b x b x +−+−=，有()22800ax b x b a +−+−=≠，， 于是得方程()2280ax b x b +−+−=有两个不等实根, 即()()()22(2)480414810Δb a b b a b a =−−−>⇔−+++>, 依题意,对于任意的b R ∈,不等式()()2414810b a b a −+++>恒成立, 则()216(1)16810,Δa a ′=+−+<整理得260a a −<,解得06a <<, 所以实数a 的取值范围是()06,.(3)由于函数()f x 有且只有一个不动点在()02,上所以()211mx m x m x −+++=， 即()2210mx m x m −+++=在()02,上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =−+++7①()()020g g ⋅<,则()()110m m +−<,解得11m −<<;②()00g =即1m =−时，方程可化为20x x −−=,另一个根为-1,不符合题意,舍去; ③()20g =即1m =时，方程可化为2320x x −+=,另一个根为1,满足; ④0∆=,即()()22410m m m +−+=,解得m =(I)当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,满足; （II）当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,不符合题意,舍去; 综上,m 的取值范围是11m −<≤或m =. 21．【答案】（1）不是 （2）13a ≥（3）见解析【解析】(1)对于任意()()()()()222111,0,,s t ,f s f t s t f s t s t ∈+∞+=++=+,()()()()222111()20f s t f s f t s t s t st ∴+−+=+−+=> ,即()()()111f s f t f s t +<+成立;故()21f x x =是“H 函数”.对于()()21f x ln x =+，取1s t ==,则()()()22222,3f s f t ln f s t ln +=+=. 因为22ln 3ln >,故()()21f x ln x =+不是“H 函数”.(2)因为函数33x y x a =+−是“H 函数”,故对于任意的(),0s t ,∈+∞有 ()333333s t s t s t a s a t a +++−>+−++−恒成立,即3333s t s t a +−−>−恒成立所以()()313113s t a −−>−恒成立.又(),0s t ,∈+∞,故()3,31s t ,∈+∞,则()()()31310s t ,−−∈+∞则130a −≤,即13a ≥. (3)由函数()f x 为“H 函数”,可知对于任意正数,s t , 都有()()0,0f s f t >>,且()()()f s f t f s t +<+,8令s t =,可知()()22f s f s >,即()()22f s f s >,故对于自然数k 与正数s ,都有()()()()()()()()111122222,22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s +++−=⋅>对任意()()122k k x ,k N +∈∈,可得111122k k,x +∈,又()11f =, 所以()()()()()122222122k kkkkxf x f x f f f +>−+>≥=>,同理()1111111122222222k k k k k k f f f f f x x x + <−−<≤==< ,故()122x f x f x x−>− .。

遵义市播州区南白中学21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共9小题，共45分）1、已知集合A ={1,2}，集合A 的子集个数是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 82、若命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0，则命题p 的否定为（ ）A. ∃x ∉R ，x 2+2x +1>0B. ∃x ∈R ，x 2+2x +1<0C. ∀x ∉R ，x 2+2x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2+2x +1>03、若a ⃗，b ⃗⃗为平面向量，则“a ⃗=b ⃗⃗”是“|a ⃗|=|b⃗⃗|”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，BD =2DC.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ）A. 23a ⃗+13b ⃗⃗B. 23a ⃗−13b ⃗⃗C. 13a ⃗+23b ⃗⃗D. 13a ⃗−23b ⃗⃗ 5、管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）A. 2800B. 1800C. 1400D. 12006、下列函数中，既是偶函数，在(−∞,0)上是增函数的是（ ）A. y =x 23B. y =x +1xC. y =log 12|x|D. y =e x −e −x7、在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个位数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.则下列说法错误的是（ ）A. 平均来说一队比二队防守技术好B. 一队有时表现差，有时表现又非常好C. 二队很少不失球D. 二队比一对技术水平更不稳定8、已知函数f(x)=√ax 2+bx +c 的定义域与值域均为[0,4]，则a =（ ）A. −4B. −2C. −1D. 19、甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（ ） A. 甲获胜的概率是16B. 甲不输的概率是12 C . 乙输了的概率是23 D. 乙不输的概率是12二、多选题（本大题共3小题，共15分） 10、豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值(一星2分，二星4分，三星6分，以此类推)，以得分总和除以评分的用户人数所得的数字．国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）A. m 的值是32%B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C. 随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D. 若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件11、已知x 、y ∈R 且4x −4y <y 3−x 3，则（ ）A. x <yB. y −3>x −3C. lg (y −x)>0D. (13)y <3−x 12、群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“⋅”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ⋅b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有(a ⋅b)⋅c =a ⋅(b ⋅c)；②∃e ∈G ，使得∀a ∈G ，有e ⋅a ⋅e =a ，③∀a ∈G ，∃b ∈G ，使a ⋅b =b ⋅a =e ，则称G 关于“⋅”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）A. G ={−1,0,1}关于数的乘法构成群B. G ={x|x =1k ,k ∈Z,k ≠0}∪{x|x =m,m ∈Z,m ≠0}关于数的乘法构成群C. 实数集关于数的加法构成群D. G={a+√2b|a、b∈Z}关于数的加法构成群三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、log2(log216)+lg√1005=______．14、已知正数x、y满足x+y2=4，则xy的最大值为______．15、袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于______．16、已知函数f(x)={|x+1|,x<0lgx,x>0，g(x)=x2−2x+2λ−2，若关于x的方程f(g(x))=λ(λ∈R)恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)已知f(x)=k⋅a x且f(0)=1，f(1)=2．(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式：f(2x)>2f(x)+3．18、(本小题12.0分)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：(1)在如图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；(2)求李明最终通过面试的概率．19、(本小题12.0分)已知函数f(x)=x2−4ax．(1)若函数f(x)在x∈[2,4]是增函数，求a的取值范围；(2)若对于任意的x∈[2,+∞)，f(x)>−1恒成立，求a的取值范围．20、(本小题12.0分)某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，得其频率分布直方图如图所示．(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；(3)国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=m−2是R上的奇函数．3x+1(1)求m的值；(2)比较f(3x2−x+1)+f(1−x−2x2)与0的大小，并说明理由．22、(本小题12.0分)−2(a−4)x]．已知函数f(x)=log2[1x(1)当a=3时，求f(x)的定义域；(2若函数g(x)=f(x)−log2[−(a−4)x+a−5]只有一个零点，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：根据集合子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案．本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查．集合A ={1,2}的子集分别是：⌀，{1}，{2}，{1,2}，共有4个，所以选C ．2.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．命题为存在量词命题，则命题的否定为∀x ∈R ，x 2+2x +1>0，所以选：D ．3.答案：A解析：若a ⃗=b ⃗⃗，则|a ⃗|=|b⃗⃗|成立． 若|a ⃗|=|b ⃗⃗|，则a ⃗=−b ⃗⃗或a ⃗=b⃗⃗． 所以“a ⃗=b ⃗⃗”是“|a ⃗|=|b⃗⃗|”充分不必要条件． 所以选：A ．结合向量相等和向量长度之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量相等的概念是解决本题的关键，比较基础． 4.答案：C解析：本题考查平面向量的加法及其几何意义，属基础题．由题意可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，代入化简可得答案． 由题意可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a⃗⃗+23b⃗⃗所以选：C．5.答案：C解析：由题意可知，该池塘内鱼的总条数是40÷270=1400．所以选：C．根据池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条，并且一池塘内随机捞出40条鱼，即可求解．本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．6.答案：C解析：对于A，y=f(x)=x23，满足f(−x)=f(x)，为偶函数，在(−∞,0)上是减函数，故A错误；对于B，y=f(x)=x+1x是奇函数，故B错误；对于C，因为t=|x|为偶函数，且在(−∞,0)上是减函数，y=log12t为减函数，由复合函数的单调性知，y=f(x)=log12|x|满足f(−x)=f(x)，为偶函数，在(−∞,0)上是增函数，故C正确；对于D，y=f(x)=e x−e−x，满足f(−x)=−f(x)，故y=e x−e−x为奇函数，故D错误；所以选：C．依题意，利用函数的奇偶性与单调性依次判断各选项是否满足条件即可得到答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题．7.答案：C解析：对于A，一队每场比赛平均失球个数是1.5，二队每场比赛平均失球个数是2.1，则平均来说一队比二队防守技术好，故A正确，对于B，一队全年比赛失球个位数的标准差是1.1，全年失球个数的标准差是0.4，故一队有时表现很差，有时表现非常好，故B正确，对于C，二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，故二队经常失球，故C错误，对于D，一队全年比赛失球个位数的标准差是1.1，全年失球个数的标准差是0.4，则二队比一队技术水平更不稳定，故D正确．所以选：C．根据已知条件，结合平均数和标准差的定义，即可依次求解．本题主要考查平均数和标准差的定义，属于基础题．8.答案：A解析：本题考查了函数的定义域和值域，二次函数的图象和性质的应用问题，是基础题．讨论a >0和a <0时，根据函数的定义域和值域相等列方程求出实数a 的值．当a >0时，不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是D =(−∞,x 1]∪[x 2,+∞)，不满足f(x)的定义域和值域A =[0,4]，不合要求．同理，当a =0时，不合要求．当a <0时，函数f(x)的定义域为D =[0,4]，即不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是D =[0,4]，所以c =0，−b a =4，①此时f(x)max =f(−b 2a )=√b 2−4a =2√−a =4，② 由①②得−a =2√−a ，解得a =−4．所以选A ．9.答案：A 解析：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，∴甲获胜的概率是：1−12−13=16，故A 正确； 甲不输的概率是：1−13=23，故B 不正确； 乙输了的概率是：1−13−12=16，故C 不正确；乙不输的概率是：12+13=56.故D 不正确．所以选：A ．由已知条件分别求出甲获胜、甲不输、乙输和乙不输的概率，由此能得到正确选项同．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用． 10.答案：ACD解析：显然n =1−0.976=0.024，由已知得0.24+0.329+0.087+m =0.976，解得m =0.32，故A 正确；随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星，显然不对，因为概率只是反映了在一定条件下某个事件发生的可能性大小，故B错误；评价是三星或五星的频率之和为0.32+0.24=0.56，用频率估计概率时，随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56，故C正确；从已作评价的观众中随机抽取3人，评价五星的人数可能是0，1，2，3，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确．所以选：ACD．利用频率之和为1，容易求出m，n的值，再在古典概型条件下，概率的意义和性质逐项判断．本题考查频率分布表与概率的意义和性质，属于中档题．11.答案：AD解析：由4x−4y<y3−x3，知4x+x3<4y+y3，因为函数f(x)=4x+x3是增函数，所以x<y，即A正确；若取x=1，y=2，则y−3<x−3，即B错误；由x<y，知y−x>0，但只有当y−x>1时，才有lg(y−x)>0，即C错误；因为x<y，所以−x>−y，所以3−x>3−y，即D正确．所以选：AD．根据f(x)=4x+x3是增函数，可得x<y，再结合指数函数和对数函数的性质，逐一判断选项，即可．本题考查函数单调性的应用，熟练掌握基本初等函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.答案：CD解析：对于A：G关于数的乘法封闭，且满足结合律，∃1∈G，使得∀a∈G，有1⋅a⋅1=a，但是对于0∈G，不存在b∈G，使0⋅b=b⋅0=1，故A错误；对于B：由于13,2∈G，但13×2=23∉G，G关于数的乘法不封闭，B错误；对于C：对所有的a、b∈R，有a+b∈R，①实数满足乘法结合律；②∃e=0∈R，使得∀a∈R，有e+a=a+e=a；③∀a∈R，∃b=−a∈R，使a+b=b+a=e，故C正确；对于D：对所有的a、b∈G，可设a=x+y√2，b=m+n√2，(x,y,m,n∈Z)，则a+b=(x+m)+(y+n)√2∈G；。

高一级第一学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合M ={x |﹣1≤x ≤3}，N ={x |﹣2≤x ≤1}，则M ∪N =（ ） A ． [﹣2，1]B ．[﹣1，1]C ．[1，3]D ．[﹣2，3]2．计算cos(－780°)的值是( ) A ．23-B ．21-C ．21 D ．23 3．下列命题中正确的是( ) A ．AB OB OA =-B ．0=+BA ABC ．00=⋅ABD ．AD CD BC AB =++4．下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A. B.C.D.5．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ． f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ． f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，||)(t t g = D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －16．若)(x f 满足关系式x xf x f 3)1(2)(=+，则)2(f 的值为（ ）A ． 1B ．1-C ．23-D ．23 7．已知O ，A ，M ，B 为平面上的四点，且)1,0(,)1(∈⋅-+⋅=λλλOA OB OM ，则( ) A ． 点M 在线段AB 上 B ． 点B 在线段AM 上 C ． 点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线 8．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足x x f f =))((，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－ 3 C ．3或－3 D ．5或－ 39．函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则( )A ．)32sin(2)(π-=x x fB ．)62sin(2)(π-=x x fC ．)34sin(2)(π+=x x fD ．)64sin(2)(π+=x x f10．)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，则不等式)]2(8[)(->x f x f 的解集是（ ）A ． ),0(+∞B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．)716,2( 11．已知函数313)(23-+-=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 012≤<-aB ．31>aC ．012<<-aD ．31≤a12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤---=)1()1(5)(2x xa x ax x x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ． 03<≤-aB ．23-≤≤-aC ．2-≤aD ． 0≤a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知，则__________． 14. 已知两条平行直线分别过点，，且的距离为5，则直线的斜率是__________． 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．16. 如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则三棱锥的内切球半径是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 求值或化简：（1）；（2）.18. 如图，正三角形的边长为6，，，点分别在边上，且，，相交于.（1）求点的坐标；（2）判断和是否垂直，并证明.19. 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数图像上是否存在两个不同的点，使直线垂直轴，若存在，求出两点坐标；若不存在，说明理由.20. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点.（1）求证：；（2）试判断与平面是否平行？并说明理由.21. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资-三险一金=起征点. 其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？22. 设，函数，其中.（1）求的最小值；（2）求使得等式成立的的取值范围.参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D C D B C B A B A D A B 13【答案】【解析】∵，∴，即,，∴==，即，∴.故答案为：14【答案】0或【解析】若直线的斜率不存在，此时两直线方程分别为x=1或x=0，距离为1，不满足条件，故直线斜率存在，设斜率为k，则对应的直线方程为y=k（x﹣1）和y﹣5=kx，即kx﹣y﹣k=0和kx﹣y+5=0，则两条平行直线的距离，即12k2﹣5k=0，解得k=0或k=，故答案为：0或15【答案】【解析】试题分析：令，得，作出与的图象，要使函数有个零点，则与的图象有个交点，所以.考点：函数的零点与方程的根的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式及其函数的图象的应用，本题的解答中把方程函数有个零点，转化为函数与的图象有个交点是解得关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.16【答案】【解析】设内切球半径为r，,解得：故答案为：点睛：点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.17【答案】(1)18;(2) .【解析】试题分析：(1) 利用对数的运算性质即可得出;(2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出.试题解析：(1)（2）＝＝＝＝18【答案】(1) ;(2).【解析】试题分析：(1) 点两条直线的交点，明确两条直线的方程即可；（2）判断和是否垂直，即判断和.试题解析：(1)如图由解得(2) “19【答案】(1) 函数的定义域为;(2)见解析;（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案;（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；(3) 假设函数图象上存在两点A(,), , 使直线垂直轴，则，经推理不成立，故不存在.试题解析：(1) 由,∴ 函数的定义域为(2) ∵f (－x)＝+ lg＝– lg＝－f (x),∴ f (x)是奇函数（3）假设函数图象上存在两点A(,), ,使直线AB恰好与y轴垂直，其中．即当时， , 不妨设,于是由又, ∴ , 与＝矛盾．故函数图象上不存在两个不同的点A、B，使直线AB垂直y轴．点睛：判断函数的奇偶性优先考虑函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在这个前提下进一步研究f（﹣x）与f（x）的关系.20【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1) PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，A D∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE;(2) PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与OB=OD 矛盾．试题解析：（Ⅰ）因为⊥底面，面，所以.又，故⊥平面.又平面，所以.（Ⅱ）与平面不平行.假设面，设，连结，则平面平面，又平面，所以.所以，在中有，由为的中点可得，即.因为，所以，这与矛盾，所以假设错误，与平面不平行.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21【答案】（1）1175；（2）该人当月收入工资薪酬为14500元.【解析】试题分析：（1）本月应纳税所得额为8650分三段按表中规定分别计算即可得到；（2）1049元=45元+300元+749元，所以应纳税额为元，设工资是元，则，从而得到结果.试题解析：（1）本月应纳税所得额为元由分段纳税：应交税款为：元(2) 1049元=45元+300元+749元，所以应纳税额为元设工资是元，则元所以该人当月收入工资薪酬为14500元.22【答案】（1）；（2）的取值范围为.【解析】试题分析：（1）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（2）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F （x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；试题解析：（I）设函数，，则，，所以，由的定义知，即．（II）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．。

2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。