一元三次方程求根公式推导

一元三次方程求根问题一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。

目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。

显然，所有的一元三次方程都可以转化为x 3+bx 2+cx +d =0的形式，先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+333322333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为x 3+mx+n=0这便是一个特殊的一元三次方程。

而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=nB A m B A 3333327所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程02732=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A故33233227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法将 ax 2+bx +c =0转化为04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将ab x 2+换元，以达到消去一次项的目的。

那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++273332323b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323b bcd b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得32233b t n t n x ---++-= 其中108441827274,3,2723332223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。

一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。

其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。

本文将就这一推导过程，加以详述。

首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。

一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。

有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。

，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。

因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=•=⇔=+=•=⇔>+=•--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px px x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A Bx A B C A Bx A D Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B pq q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A qB A pB A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。

一元三次方程求根公式一元三次方程求根公式一元三次方程是指方程的最高次数为三次的方程，一般表示为ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。

求解一元三次方程的根是数学中的重要问题之一，我们可以通过求根公式来解决这个问题。

一元三次方程的求解过程较为复杂，需要借助求根公式来进行计算。

根据数学原理，一元三次方程的根可以通过以下公式来求解：我们要计算一元三次方程的判别式Δ，Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。

判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。

当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根。

实根可以通过以下公式计算得出：x₁=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。

而共轭复根可以通过以下公式计算得出：x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)+i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)和x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)-i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)。

当Δ=0时，方程有一个实根和一个重根。

实根可以通过以下公式计算得出：x=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。

重根可以通过以下公式计算得出：x=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(3a)。

当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。

实根可以通过以下公式计算得出：x₁=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))) - b/(3a)，x₂=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))-2π/3) - b/(3a)，x₃=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))+2π/3) - b/(3a)。

韦达定理一元三次方程根的关系韦达定理是解一元三次方程根的公式之一，它可以帮助我们求解形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的一元三次方程的根。

韦达定理的应用可以使得我们更深入地理解一元三次方程的根之间的关系，从而有助于我们在数学领域更灵活地进行推理和运用。

一、韦达定理的数学表达式我们先来看一下韦达定理的数学表达式。

对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以根据韦达定理的公式进行求解：1. 设该方程的三个实数根分别为x1、x2、x3，则有x1 + x2 + x3 = -b/a。

2. 且有x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a。

3. 且有x1*x2*x3 = -d/a。

二、韦达定理的深入理解从韦达定理的公式中，我们可以深入地理解一元三次方程根之间的关系。

x1 + x2 + x3 = -b/a告诉我们方程根之和与系数之间的关系。

x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a告诉我们方程根的两两乘积与系数之间的关系。

x1*x2*x3 = -d/a告诉我们方程根的乘积与系数之间的关系。

韦达定理为我们提供了一种直观而深刻的方式来理解一元三次方程根之间的联系，为我们在数学推理中提供了便利。

三、个人观点和理解对于韦达定理，我个人认为它不仅仅是一种求解一元三次方程根的工具，更是一种深入理解数学规律的方法。

通过运用韦达定理，我们可以更全面地把握一元三次方程根的性质，加深对数学知识的理解。

韦达定理的应用也为我们解决实际问题提供了便利，使得我们可以更灵活地运用数学知识来解决现实中的复杂情况。

总结回顾通过本文的阐述，我们对韦达定理有了更加深入和全面的理解。

我们学习了韦达定理的数学表达式，以及其对一元三次方程根之间关系的深入解读。

我也共享了我对韦达定理的个人观点和理解。

通过对韦达定理的全面探讨，相信我们对数学中的一元三次方程有了更加深刻和灵活的理解。

希望本文可以帮助你更好地理解韦达定理，并在数学领域的学习和应用中有所帮助。

一元三次方程求根公式推导方法宝子，今天咱们来唠唠一元三次方程求根公式的推导，这可有点小烧脑，但超有趣呢。

一元三次方程的一般形式是ax³+bx²+cx + d = 0。

咱们先想法子把它简化一下。

通过一个小技巧，设x = y - b/(3a)，把这个代入原方程，就能得到一个关于y 的方程，这个方程就没有二次项啦，形式变成了y³+py+q = 0，这里的p和q呢是根据原来方程的系数a、b、c、d算出来的。

那接下来咋整呢？咱们引入两个新的变量，设y = u+v。

把y = u + v代入y³+py+q = 0就得到(u + v)³+ p(u + v)+q = 0。

展开这个式子就有u³+v³+3uv(u + v)+p(u + v)+q = 0。

咱们再让3uv = - p，这样就可以把式子简化一下。

由3uv = - p可以得到v = - p/(3u)。

再把v = - p/(3u)代入u³+v³+q = 0这个式子，就得到u³ - p³/(27u ³)+q = 0。

这时候把u³看成一个整体，设u³ = t，那么方程就变成了t²+qt - p³/27 = 0，这就是一个一元二次方程啦。

一元二次方程求根公式咱都很熟啦，就可以求出t的值。

求出t之后呢，再把t开立方得到u的值，然后根据v = - p/(3u)求出v的值。

最后把u和v加起来就是y的值啦，再把y = x + b/(3a)代回去，就求出x的值了。

宝子，一元三次方程求根公式推导虽然有点绕，但就像玩一个很有挑战性的游戏一样。

每一步都像是解开一个小谜题，当最后得到求根公式的时候，就有一种超级成就感呢。

希望你也能感受到这个推导过程的乐趣呀。

一元三次方程求根公式卡尔丹定理卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

在数学中，一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

解一元三次方程的问题在数学中具有重要的意义，它在实际生活中的应用也非常广泛。

卡尔丹定理是由法国数学家卡尔丹于16世纪提出的。

该定理通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题。

通过求解这两个方程，可以得到原方程的根。

我们将一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的系数进行变量替代，令x = y - b/3a。

将此代入原方程，可得到一个新的方程ay^3 + Py + Q = 0，其中P和Q是与原方程的系数相关的新的常数。

接下来，我们对新方程应用求解二次方程的公式，将其转化为一个二次方程求解问题。

通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根y1和y2。

我们将得到的根y1和y2代入原方程中，得到两个新的一次方程，通过求解这两个一次方程，我们可以得到另外两个根x1和x2。

需要注意的是，卡尔丹定理对于一元三次方程可能存在的重根和虚根也是适用的。

重根是指方程有两个或三个相等的根，虚根是指方程的根不是实数。

在使用卡尔丹定理求解一元三次方程时，我们需要对不同情况进行分类讨论，并得出相应的结论。

除了卡尔丹定理，还有其他方法可以求解一元三次方程，比如牛顿迭代法和龙贝格-维尔斯特拉斯算法等。

这些方法在不同的情况下可能更加高效或精确，但卡尔丹定理作为一种经典的方法，仍然被广泛使用。

卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题，卡尔丹定理为我们解决一元三次方程提供了一种简洁而有效的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元三次方程，以解决各种问题。

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

三种解决一元三次方程的求根公式三种解决一元三次方程的求根公式导语：一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0)。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

一元三次方程求根公式下面介绍三种三次方求根计算方法：第一：计算方法X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3n，n+1是下角标，A被开方数。

例如，A=5，5介于1的.3次方至2的3次方之间。

X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1;第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;每次多取一位数。

公式会自动反馈到正确的数值。

第二：置换群解法一元三次方程系数和根的关系如下：求出X,Y，后有这是个线性方程，其中为原方程的三个根!第三：公式法(卡尔丹公式)若用A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根;当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等;当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。

推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

一元三次方程求根公式的通俗推导一元三次方程求根的公式是怎么来的？我们如何理解这个东西？在本文中，我尽量用最简单通俗的方式来讲这个东西，保证一元三次方程求根的公式变得非常简单。

要解一元三次方程，就看看一元二次方程是怎么解的。

一元二次方程的解法，其实核心是“配方法”，就是配出来一个平房项。

比方说解 x^2+6x+8=0 这个方程，为了配方，要左右两边加个1，变成 x^2+6x+9=1 ，这样就能变成 (x+3)^2=1 ，于是 x+3=1 或者 x+3=-1 ，所以x=-2或x=-4。

对于一元三次方程，我们也这么搞一下。

我们这回直接用字母运算。

一元三次方程的通式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，等式除以a，变成 x^3+b'x^2+c'x+d'=0 ，然后根据 x^3,x^2 的系数，写出x和常数的系数，写成这样的形式：a^3+3a^2b+3ab^3+b^3 ，这样就可以组合成 (a+b)^3 了。

令a=x,b=\frac{b'}{3} ，把x和常数的系数凑出来：x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}，于是x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}=\frac{b'}{3}x+ \frac{b'^3}{27}-c'x-d ，这样左边的项凑成了立方和的形式： (x+\frac{b'}{3})^3 ，而右边的只有x的一次项和常数项。

我们令 x'=x+\frac{b'}{3} ，于是这个式子化成了x'^3=\frac{b'}{3}(x'-\frac{b'}{3})+\frac{b'^3}{27}-c'(x-\frac{b'}{3})-d 。

这样，整个式子中没有二次项。

一元三次方程因式分解技巧一元三次方程求根公式一元三次方程因式分解技巧:因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

一元三次方程因式分解技巧因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

导数求解法利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。

如,移项得,设,y2=-1,y1的导数y1'=3x²+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。

盛金公式法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

当Δ=0时，盛金公式3不存在开方；当Δ=0(d≠0)时，卡尔丹公式仍存在开立方。

与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。

重根判别式A=b²-3ac；B=bc-9ad；C=c²-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B²－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

一元三次方程求根公式对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d＝0，我们都可以转化成普通形式，即形如x³+px+q＝0的形式。

这个形式我们的操作方法就是，化三次为2次。

首先，换元，令x＝u+v，那么x³＝(u+v)³＝u³+v³+3u²v+3uv²。

原式＝(u+v)³+p(u+v)+q＝u³+v³+3u²v+3uv²+p(u+v)+q＝(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)＝0。

要使它有解。

则必须满足两部分都为0，即这个就类似于我们的韦达定理x1+x2＝-b/a，x1x2＝c/a，那么由此，我们可以构造出一个一元二次方程，使其两根恰好为u³和v³，这个方程就是x²+qx-(p/3)³＝0，由求根公式那么这其实是两个值，分别为u³和v³，我们开立方就得到了u和v，即又因为x＝u+v，所以可以得到普通形式下一元三次方程的求根公式，即卡尔达诺公式其实如果你对式子的变换很熟悉你可以读到这里就退出了，因为绝大多数内容已经解决了，比如说题目中出现x³+2x²+x+1＝0，首先我们知道(x+2/3)³＝x³+8/27+3x²2/3+3x4/9＝x³+2x²+4x/3+8/27，所以原式＝(x+2/3)³+x-4x/3+1-8/27＝(x+2/3)³-x/3+19/27＝0，下一步就是令t＝x+2/3，然后变成t³-(t-2/3)/3+19/27＝t³-t/3+2/9+19/27＝t³-t/3+25/27＝0，然后用上述公式即可(如果有打错的不要介意，我没用公式编辑器，我的字体怪怪的很容易打错)。

一元3次方程求根公式
一元3次方程是指只有一个未知数（通常为x）的三次方程，形式为ax^3+bx^2+cx+d=0。

求解一元3次方程的根需要用到一元3次方程的求根公式。

一元3次方程的求根公式是一个比较复杂的公式，可以用来求解所有一元3次方程的根。

该公式包括两个部分，一个是实根公式，一个是虚根公式。

对于一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，它的实根公式为：
x = [(-b + sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [(-b - sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [-c/3a]
其中，sqrt代表开方，即平方根，a、b、c、d均为已知系数。

如果一元3次方程没有实根，则可以使用虚根公式。

虚根公式为： x1 = [(-b + i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b -
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x2 = [(-b - i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b +
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x3 = [-b/3a]
其中，i代表虚数单位，即i^2=-1。

通过一元3次方程的求根公式，我们可以求解任何一元3次方程的根，不管它是实根还是虚根。

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求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。

解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。

其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。

因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。

下面我们推导一个实用的改进型求根公式。

实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。

不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。

即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。

2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。