函数和方程思想在数学解题中应用.docx

函数与方程思想在高中数学解题中的应用作者：郭国山来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期高中数学解题中，函数与方程思想的应用就是通过函数与参数，建立已知与未知之间的关系，从而更好地解决抽象数学问题。

下面具体来分析它们的应用。

一、在数列问题中的应用从函数的角度看，数列会给人们一种直观的呈现，其属于特殊的函数表达式。

函数与数列之间的关系并不仅仅是含义相近，更多的是数列本身蕴含着很强的函数意义，在解决数列问题时，灵活地应用函数与方程思想，能让问题更加快速地得到解决。

例如：假设数列的{an}的前n项和Sn满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N'，并且S3=15。

试求：（1）a1、a2、a3的值。

（2）数列{an}的通项公式。

分析：在这个题目中就可以先通过函数与方程思想，将问题中的各种数量关系结合在一起，形成一个不可分割的整体，然后构建相应的函数关系式，通过等式运算得出结论。

根据题目信息，先列出关于Sn的方程式从而得出a1=3，a2=5，a3=7。

由于Sn=2nan+1-3n2-4n，当n≥2时，Sn-1=2（n-l）an-3（n-1）2-4（n-1）.合并整理可以得出an+1=最后通过数学归纳法可以得出，n∈N，an=2n+l。

二、在三角函数中的应用在高中数学中，三角函数是一个十分重要的知识点，通过函数与方程思想，可以将三角函数的性质、求值、证明等复杂问题变成简单的代数问题。

例如：已知sinα+coSα=1/5，α∈（o，π），求tanα的值。

分析：本题可以通过三角函数的变量关系建立相应的一元二次方程根的代数式，将复杂的三角函数问题转变成熟悉的一元二次方程求根形式。

由，得出可以将sinα，cosα看成是方程x2-的两個根，通过解一元二次方程，可以得出。

由于x∈（0，π），sinαcosα<0，可以得出sinα=4/5，cosα=-3/5，所以tanα=-4/3。

三、在现实问题中的应用随着教学改革的推进，以社会生产、现实生活为背景的数学题目也越来越多。

浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题。

函数与方程都是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法，教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想。

标签：函数与方程思想中学数学应用函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系;而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。

一、函数与方程思想的概念以及相互转化1.函数与方程思想的概念函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。

函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。

方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。

从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

2.函数与方程思想的相互转化如果变量间的数量关系用解析式表示，则这个解析式又可以看作一个方程，通过解方程的方法进行研究，使问题得到解决，这就是函数与方程的思想。

很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

二、函数与方程思想在高考中的几个典型应用许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往需转化为方程来求解，因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题，函数与方程思想在解题中的应用十分广泛，函数与方程思想是数学中的基本思想，也是历年高考的重点和热点。

关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践陈瑞飞(江苏省扬州中学教育集团树人学校㊀２２５０００)摘㊀要:函数与方程之间联系紧密ꎬ基于此人们提出函数与方程思想.在该思想指引下ꎬ学生解答高中数学相关习题ꎬ能尽快找到解题思路ꎬ提高解题效率ꎬ因此授课中为使学生牢固掌握函数与方程思想ꎬ提高其解答数学习题的灵活性ꎬ应做好相关题型总结ꎬ认真讲解该思想在解题中的应用.关键词:高中数学ꎻ函数与方程思想ꎻ解题ꎻ实践中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３２－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:陈瑞飞(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省扬州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁函数与方程思想求解参数范围求解参数范围是高中数学的重要题型ꎬ解答该题型的思路有两种:其一ꎬ认真审题ꎬ深入挖掘已知条件中的不等式关系ꎬ运用不等式知识求解参数范围.其二ꎬ借助题干中的等量关系构建对应的函数ꎬ在定义域内求解函数的取值范围.授课中既要注重相关例题的筛选与讲解ꎬ使学生把握函数与方程思想解题步骤ꎬ明确解题注意事项ꎬ又要鼓励学生总结函数与方程思想在解题中的应用技巧ꎬ遇到类似数学习题少走弯路ꎬ能够迅速找到解题思路.例１㊀已知ａ㊁ｂ为正数ꎬ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ求ａｂ的取值范围.该题目题干简单ꎬ已知条件关系明了ꎬ解题方法较多ꎬ关键如何找到最简解法.观察可知题干中涉及两个参数的积与两个参数的和ꎬ由此可联想到一元二次方程两根的关系ꎬ借助函数知识解答.设ａｂ＝ｔꎬ由ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ可知ａ＋ｂ＝ｔ－３.因此可构造方程ｘ２－(ｔ－３)ｘ＋ｔ＝０ꎬ显然ａ㊁ｂ为该方程的两个正根ꎬ不难得出如下关系:Δ＝(ｔ－３)２－４ｔȡ０ꎬｔ－３>０ꎬｔ>０ꎬ解得ｔȡ９.即ａｂ的取值范围为[９ꎬ＋ɕ).解题感悟㊀求解参数取值范围时不能思维定势ꎬ应结合已知条件巧妙地运用函数与方程思想进行解答ꎬ尤其当习题中出现两个参数和与积的关系时ꎬ可考虑构造相关的方程ꎬ借助根与系数的关系解答.㊀㊀二㊁函数与方程思想解答方程问题高中数学学习的函数类型较多ꎬ包括二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等.针对一般的方程问题可通过分离变量转化为对应的函数ꎬ借助函数图象进行分析.针对稍微复杂些的方程问题ꎬ可采用换元法构建新的函数ꎬ通过研究新函数找到要求解的答案.授课中仅仅讲解理论知识是不够的ꎬ应借助例题为学生做好解题的示范ꎬ使其掌握函数与方程间的转化思路.同时ꎬ鼓励其在学习中加强训练ꎬ认真剖析经典习题ꎬ能够举一反三.例２㊀已知两个函数ｆ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ假设两个函数的图象在(０ꎬπ)范围内至少有一个公共点ꎬ求ａ的最小值.读懂该题并进行巧妙的转化是使用函数与方程思想解题的关键.两个函数图象在给定的区间内至少有一个解ꎬ即当两个函数相等时有解ꎬ如此便将其转化为方程问题.由已知可知ꎬｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)在(０ꎬπ)上有解ꎬ即２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ化简得到:ａ(１＋ｃｏｓｘ)＝(ｃｏｓｘ＋１)２＋１.ȵｘɪ(０ꎬπ)ꎬ即０<１＋ｃｏｓｘ<２ꎬ则ａ＝１＋ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓｘ＋１ȡ２ꎬ当且仅当１＋ｃｏｓｘ＝１ｃｏｓｘ＋１等号成立ꎬ此时ｃｏｓｘ＝０ꎬ显然ａ的最小值为２.解题感悟㊀部分习题并未直接给出等量关系ꎬ需要学生深刻理解题意进行正确的转化ꎬ因此ꎬ在以后的解题中应注重积累相关转化经验ꎬ养成使用函数与方程思想解题的良好习惯.㊀㊀三㊁函数与方程思想求解不等式问题高中数学中不等式问题常和恒成立问题联系在一起ꎬ求解时除使用基本不等式知识求解外ꎬ多数采用函数与方程思想进行解答.通过分离参数㊁移项构造新的函数ꎬ运用函数知识求解函数最值是常用的解题思路.授课中为学生讲解对应例题ꎬ使学生深刻体会函数与方程思想在解答不等式问题中的应用.同时ꎬ要求学生具体问题具体分析ꎬ尤其针对存在多个参数的习题ꎬ应结合已知条件确定变量与要求解的参数ꎬ明确其之间的函数关系ꎬ灵活运用函数知识解答.例３㊀求证:对于一切大于１的正整数ｎ恒有(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)>１＋２ｎ２.２３该题目题干简单ꎬ证明的技巧性较强ꎬ没有正确的思路ꎬ难以解答.认真观察要证明的不等式ꎬ结合以往解题经验可知ꎬ需要先进行移项构造新的函数ꎬ通过研究新函数的单调性求解其最值进行证明.设ｆ(ｎ)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)/１＋２ｎꎬ则ｆ(ｎ＋１)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)(１＋１２ｎ＋１)/１＋２(ｎ＋１).通过作商判断函数ｆ(ｎ)的单调性.ｆ(ｎ＋１)ｆ(ｎ)＝(１＋１２ｎ－１) １＋２ｎ２ｎ＋３＝２(ｎ＋１)４(４ｎ＋１)２－１>１ꎬｆ(ｎ)为增函数ꎬ因为ｎ为大于１的正整数ꎬｆ(２)＝(１＋１３)/５＝１６４５>１６６４＝１２ꎬʑ当ｎ＝２ꎬ３ꎬ 时ꎬ恒有ｆ(ｎ)>１２ꎬ原题得证.解题感悟㊀构造函数技巧性较强ꎬ对学生的各项能力要求较高.为使学生能够顺利使用函数与方程思想解题ꎬ要求其在学习中做好解题总结ꎬ明确使用函数与方程思想解题的思路ꎬ掌握函数构造技巧ꎬ结合题干构造合理的函数ꎬ巧妙运用函数知识解答.函数与方程思想是高中数学重要的思想ꎬ在解题中的应用率较高.授课中为使学生牢固掌握这一思想ꎬ并灵活应用于解题中ꎬ应做好能够使用该思想解答的数学习题类型的汇总ꎬ选择经典例题为学生深入剖析ꎬ把握函数与方程思想在不同题型中的应用方法与技巧ꎬ实现解题能力的显著提高.㊀㊀参考文献:[１]蔡慧鸿.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].黑河教育ꎬ２０２０(０１):２８－２９.[２]鲍科臻.函数与方程思想在高中数学解题中的实践[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(２１):１４８－１４９.[３]庞景红.论数学思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].教育现代化ꎬ２０１８ꎬ５(２７):３６８－３６９.[责任编辑:李㊀璟]基于解题和研究性学习的数学文化教学策略刘小丹(江苏省栟茶高级中学㊀２２６４０６)摘㊀要:基于 文化数学 理念下高中数学学习的研究ꎬ除了从数学概念(包括公式㊁定理等)的角度去常规执行外ꎬ还可以从解题教学(包括试卷讲评)和研究性学习(包括阅读等)的视角探讨渗透数学文化的教学策略.解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.主题鲜明的研究性学习能依据教学实际设置 微探究 ꎬ安排灵活且易操作.关键词:高中数学解题教学ꎻ研究性学习ꎻ数学文化渗透中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３３－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:刘小丹(１９８３.５－)ꎬ女ꎬ江苏省如东人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁解题教学中渗透数学文化的主要实施路径解题教学似乎与文化味道不搭.事实上ꎬ解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.目前的数学教育提倡解题教学也应沁溢文化ꎬ不能把解题教学演变成 题型＋技巧 ꎬ退化成 刺激 反应 ꎬ而且仅满足于解出答案.１.发掘试题背景ꎬ促进数学理解许多高考试题改编自数学名题ꎬ或者取材于重要的定理㊁结论㊁猜想等.例１㊀狄利克雷函数:Ｄ(ｘ)＝０ꎬｘ为无理数ꎬ１ꎬｘ为有理数.{分析㊀近年的理科数学中就有多道试题是以著名的狄利克雷函数为背景考查函数的值域㊁奇偶性㊁周期性和单调性等性质.如果教学时为增大课堂容量而匆匆带过就太可惜了.这一 病态 的函数不只可让相对抽象㊁枯燥的函数性质有趣及具有探究价值ꎬ还可引导学生主动探究函数概念的内涵与外延:没有公式展示ꎬ得以从函数解析式中获得解放ꎻ没有图形演示ꎬ又从函数的直观认识中解放出３３。

高考数学必备解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。

而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； （4）函数f(x)＝nbax)(+（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

例说函数与方程思想在解题中的应用摘要数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂所在，掌握了它，就能驾驭知识，形成能力，是衡量数学素养的一个重要标准。

关键词函数；解题；应用函数与方程思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点。

一、用方程思想解题方程思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决。

例1：在直角坐标系xoy中，椭圆C1：C1a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2。

F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，的方程；平面上的点N满二、用函数思想解题函数思想，是用运动变化的观点，集合与对应的思想去分析研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题得到解决。

函数是贯穿于高中数学的一条主线，它的知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强，与数列、解三角、不等式、向量、概率统计、方程、导数等相关知识的联系非常紧密。

例2：函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2 对任意x∈R有f′(x)>2 ，求f(x)>2x+4的解集。

解：不访设函数G(x)=f(x)-2x-4，即求G(x)>0的解集则G′(x)=f′(x)-2，又因为f′(x)>2，所以G′(x)>0即函数y=G(x)在定义域上是递增的，又因为G(-1)=f(-1)+2-4，f(-1)=2所以G(-1)=0，G(x)>0即G(x)>G(-1)，故x>-1 。

函数与方程思想是中学数学中十分重要的思想和方法之一，涉及的知识点很多，涉及面也比较广，是历年高考中考查的重点，所以我们要高度重视运用这一思想方法分析和解决数学问题，使这种思想在解题中的应用成为我们基本技能的重要组成部分，以便更好地应对高考。

毕业论文（设计）文献综述毕业论文（设计）翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要：函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。

这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。

和函数有必然联系的是方程，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y＝f (x)也可以看作二元方程f (x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量。

这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

在中学数学中，函数与方程是相互联系不可分割的，涉及这两个方面的问题可以相互转化。

许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。

因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。

关键词函数思想，方程思想，应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决。

㊀㊀㊀１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ １４浅谈函数与方程思想在高中数学解题中的应用浅谈函数与方程思想在高中数学解题中的应用Һ胡建峰㊀（长春师范大学数学学院，吉林㊀长春㊀１３００３２）㊀㊀ʌ摘要ɔ函数与方程思想是高中数学思想之一，它在数学解题过程中广泛应用，包含了函数与方程的共同优点，是高中生学习掌握数学思想必不可少的一部分．在数学课堂教学过程中，教师通常引导学生利用已知条件去建立函数或者方程去解决问题，进而提高学生的解题效率和正确率．文章深入探讨了函数与方程思想的内涵，并结合具体的数学实例去说明函数与方程思想在高中数学解题中的应用．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；函数与方程思想目前，在高中数学中，方程与函数的相关知识是非常重要的知识点．函数与方程思想是高中学生解决数学问题必须掌握的，同时是高中生学习数学思想非常关键的一部分．但一部分学生在函数与方程的相关学习过程中，总会遇到函数与方程转化过程中的各种问题，从而导致在学习过程中出现差错．所以，在教学过程中，数学教师不仅要教会学生做对函数与方程的相关题目，还要教会学生如何运用函数与方程思想解决问题．另外，在日常教学过程中，数学教师也会发现掌握函数与方程思想的学生在解答函数与方程问题的时候，经常可以做到举一反三．因此，数学教师要指导学生不断提高自身的函数与方程思想，培养学生的数学知识学习能力与解决数学问题的能力．一㊁函数与方程思想的简述函数思想是指人们从运动变化的角度，去研究分析数学中的数量关系，然后建立函数关系或构造函数，利用函数的图像与性质去分析和解决相关的问题．方程思想是分析数学中的等量关系，从而去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题．方程与函数思想是结合上述两种思想方法，让学生从建立函数与方程的角度去看问题，建立未知与已知之间的关系式，从而将问题求解转化到函数或方程的求解上．二㊁函数与方程思想在高中数学解题中的应用在高中的数学学习过程中，学生经常会面临题干中所给的参数未知或者题干信息不全的情况，通常在这种情况下，学生可以先将未知参数视为特定条件，并将其代入题目中，寻找它们之间存在的关系，从而建立函数或者方程，然后以解答函数或者方程的形式去解决问题．（一）在三角函数问题中的应用在三角函数的题型中，经常会涉及最值问题的求解，此时学生便可以利用题目中所给的条件来建立方程，并结合三角函数的性质去解题，提高解题效率．㊀图１例１㊀某一农场主打算在自己的矩形农场ＡＢＣＤ里放养牛群和羊群，为了防止牛群跟羊群混淆，现农场主将牛群放在矩形农场的左边（ＡＤ边）进行放养，将羊群放在矩形农场的右边（ＢＣ边）进行放养，把牛群跟羊群的运动轨迹比作图１中的ＡＮ，ＢＭ，而农场主住在矩形农场ＡＢ边的中点Ｏ点，农场主每天从家走到牛群，然后从牛群走到羊群，再从羊群走回家，行程路径正好是一个三角形，其中农场主从家走到牛群的路径和从羊群走回家的路径形成直角，如图１所示，已知ＡＢ＝１００米，ＢＣ＝５０３米．（１）设øＢＯＭ＝α，试将әＯＭＮ的周长Ｌ表示成α的函数关系式，并求出函数的定义域；（２）农场主发现，自己每走一米路程，需要花费０．８秒，试问：当牛群和羊群在哪里时，农场主走一圈花费的时间最少？并求出最少时间．分析㊀针对第（１）问，求әＯＭＮ的周长，需要分别计算ＯＭ，ＯＮ和ＭＮ的边长，然后将三者相加．又因为点Ｍ在边ＢＣ上，点Ｎ在边ＡＤ上，点Ｎ和点Ｍ是运动的，要考虑点Ｎ和点Ｍ运动的临界点，从而得到角α的范围，进而推算出函数的定义域．针对第（２）问，因为要求的花费时间最少，且行走路程均为匀速，即取әＯＭＮ的周长的最小值即可．解㊀（１）根据题意可得，在ＲｔәＢＯＭ中，Ｏ点为ＡＢ的中点，所以ＯＢ＝１２ＡＢ＝５０米，因为øＢ＝９０ʎ，㊀㊀㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２３ １４øＢＯＭ＝α，所以ｃｏｓα＝ＯＢＯＭ，得到ＯＭ＝５０ｃｏｓα．同理可得ＯＮ＝５０ｓｉｎα．又因为øＭＯＮ＝９０ʎ，ʑＭＮ＝ＯＭ２＋ＯＮ２＝５０ｃｏｓαæèçöø÷２＋５０ｓｉｎαæèçöø÷２＝５０ｃｏｓαｓｉｎα，ʑＬ＝ＯＭ＋ＯＮ＋ＭＮ＝５０ｃｏｓα＋５０ｓｉｎα＋５０ｃｏｓαｓｉｎα．即Ｌ＝５０（ｓｉｎα＋ｃｏｓα＋１）ｃｏｓαｓｉｎα．当牛群（Ｎ点）运动到点Ｄ时，此时角α最小，求得此时α＝π６；当羊群（Ｍ点）运动到点Ｃ时，此时角α最大，求得此时α＝π３．故此函数的定义域为π６，π３éëêêùûúú．（２）由题意知，要求花费时间最少，只要求әＯＭＮ的周长Ｌ的最小值即可．由（１）得Ｌ＝５０（ｓｉｎα＋ｃｏｓα＋１）ｃｏｓαｓｉｎα，αɪπ６，π３éëêêùûúú，设ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｔ，那么ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔ２－１２，所以Ｌ＝５０（ｓｉｎα＋ｃｏｓα＋１）ｃｏｓαｓｉｎα＝５０（ｔ＋１）ｔ２－１２＝１００ｔ－１，由αɪπ６，π３éëêêùûúú，得１＋３２ɤｔɤ２，ʑ－１＋３２ɤｔ－１ɤ２－１，从而２＋１ɤ１ｔ－１ɤ３＋１，ʑ当α＝π４时，即ＢＭ＝５０米时，Ｌｍｉｎ＝１００（２＋１）米，所以当ＢＭ＝ＡＮ＝５０米时，花费时间最低，最少时间用为８０（２＋１）秒．（二）在直线与圆的方程问题中的应用在直线与圆的方程中，直线与圆之间存在着一定的关系，这些关系都可以作为学生构建方程或函数的条件．学生通过对未知线段进行设值，并且结合几何关系建立方程组并求解方程组，能够有效提高解题的正确率和速度．㊀图２例２㊀如图２所示，在平面直角坐标系中，有长方形ＡＢＣＤ，长方形ＡＢＣＤ对角线的交点为Ｅ（１，１），ＡＢ边所在直线的方程为ｘ－ｙ－２＝０，点Ｆ（－３，１）在ＡＤ边所在直线上．（１）求ＡＤ边所在直线的方程；（２）求长方形ＡＢＣＤ外接圆的方程．分析㊀针对第（１）问，由题干知直线ＡＤ经过点Ｆ，又因为直线ＡＢʅ直线ＡＤ，直线ＡＢ的斜率题干中已给，所以就可以求出直线ＡＤ的斜率，将直线ＡＤ的斜率和经过点带入点斜式的方程中，便可以得到最终结果．针对第（２）问，首先，利用直线ＡＤ和直线ＡＢ相交于Ａ点，得到Ａ点的坐标，其次利用点Ｅ是长方形ＡＢＣＤ的中点，推导出Ｅ为长方形ＡＢＣＤ外接圆的圆心，则半径是线段ＡＥ的长，最后，利用圆的方程公式，计算矩形ＡＢＣＤ外接圆的方程．解㊀（１）因为ＡＢ边的直线方程为ｘ－ｙ－２＝０所以ｋＡＢ＝１．且ＡＤʅＡＢ，所以ｋＡＤ＝－１．因为点Ｆ（－３，１）在直线ＡＤ上．所以ＡＤ边所在的直线方程为ｙ－１＝－１（ｘ＋３）．即ｘ＋ｙ＋２＝０．（２）由ｘ－ｙ－２＝０ｘ＋ｙ＋２＝０{，解得ｘ＝０ｙ＝－２{，所以点Ａ的坐标为（０，－２）．因为长方形ＡＢＣＤ两条对角线的交点为Ｅ（１，１）．所以Ｅ为长方形ＡＢＣＤ外接圆的圆心．又因为ＡＥ＝（１－０）２＋（１＋２）２＝１０．从而矩形ＡＢＣＤ外接圆的方程为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝１０．（三）在数列问题中的应用在高中的数列问题中，数列中的每个项之间都存在着一定的联系，当题干中所给的信息不全时，学生可以通过这些潜在的联系去建立方程，或者根据题干中所给的相关等式去构建方程，从而达到解题的目的．例３㊀假设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａｎ＋１＝３Ｓｎ＋２，ａ１＝２，数列｛ｂｎ｝满足ａ１＝ｂ１，点Ｍ（ｂｎ，ｂｎ＋１）在直线ｘ－ｙ＋３＝０上，ｎɪＮ∗．（１）求数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式；（２）设Ｃｎ＝ａｎｂｎ，求数列｛Ｃｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．分析㊀针对（１）问，根据题目中所给的信息，只能知道数列ａ１＝２，不能判断数列｛ａｎ｝是等差数列还是等比数列，所以就需要借助题目中所给的ａｎ＋１与Ｓｎ之间㊀㊀㊀１２７㊀数学学习与研究㊀２０２３ １４的关系式得到ａｎ与Ｓｎ－１的关系式，进而得到ａｎ＋１与ａｎ之间的关系，从而推断出数列｛ａｎ｝为等比数列，并且得到数列｛ａｎ｝的公比数为４，最终得到数列｛ａｎ｝的通项公式．因为Ｍ点在直线ｘ－ｙ＋３＝０上，将Ｍ点代入直线可以得到ｂｎ＋１与ｂｎ的关系，进而推断出数列｛ｂｎ｝为等差数列，最后根据题干中所给的信息，便可以得到数列｛ｂｎ｝的通项公式．（２）首先，根据第一问的答案，可以得到Ｃｎ的通项公式，其次将Ｃｎ的各个项相加，便可以得到Ｔｎ，最后通过化简计算得到最终答案．解㊀（１）由ａｎ＋１＝３Ｓｎ＋２可得ａｎ＝３Ｓｎ－１＋２（ｎȡ２），两式相减得ａｎ＋１－ａｎ＝３ａｎ，所以ａｎ＋１＝４ａｎ（ｎȡ２），所以ａｎ＋１ａｎ＝４，又因为ａ２＝３Ｓ１＋２＝８，所以ａ２＝４ａ１．因此，｛ａｎ｝是首项为２，公比为４的等比数列．所以ａｎ＝２ˑ４ｎ－１．因为点Ｍ（ｂｎ，ｂｎ＋１）在直线ｘ－ｙ＋３＝０上，所以将点Ｍ（ｂｎ，ｂｎ＋１）代入直线ｘ－ｙ＋３＝０，可得ｂｎ＋１－ｂｎ＝３，所以数列｛ｂｎ｝是首项为２，公差为３的等差数列．则ｂｎ＝２＋（ｎ－１）ˑ３＝３ｎ－１．（２）因为Ｃｎ＝ｂｎａｎ＝３ｎ－１２ˑ４ｎ－１，所以Ｔｎ＝２２ˑ４０＋５２ˑ４１＋８２ˑ４２＋ ＋３ｎ－１２ˑ４ｎ－１，进行化简得Ｔｎ＝１２ˑ２４０＋５４１＋８４２＋ ＋３ｎ－１４ｎ－１æèçöø÷①，则１４Ｔｎ＝１２ˑ２４１＋５４２＋８４３＋ ＋３ｎ－４４ｎ－１＋３ｎ－１４ｎæèçöø÷②，①－②得㊀㊀３４Ｔｎ＝１２ˑ２＋３４１＋３４２＋３４３＋ ＋３４ｎ－１－３ｎ－１４ｎæèçöø÷③，化简③得Ｔｎ＝２３ˑ２＋１－１４ｎ－１æèçöø÷－３ｎ－１４ｎéëêêùûúú，最后得到Ｔｎ＝２－２（ｎ＋１）４ｎ．（四）在等式㊁不等式方程组问题中的应用在高中的许多数学问题中，经常会出现两个未知数，在这种情况下，我们就要学会列方程组解决问题．学生在面对方程组问题时，先要找出问题中的两个未知数，以及它们之间的关系，从而列方程组，化简求解，从而得到最终结果．例４㊀胡经理到一个机器厂家去选购Ｍ，Ｎ两种型号的小型零件，若购买Ｍ型号零件６０个，Ｎ种型号零件１００个，需要７００元；若购进Ｍ型号零件１００个，Ｎ种型号零件５０个，同样需要７００元．（１）求Ｍ，Ｎ两种型号的小型零件分别为多少元？（２）若销售１个Ｍ型零件可获利３元，销售１个Ｎ型零件可获利２元，根据公司要求，购买的Ｍ型零件数量是购进Ｎ型零件数量的２倍少１０个，且Ｍ型零件最多可买进８０个，这些零件全部售出后，总获利不少于３２２元，有几种购买方案？胡经理该如何进货？解㊀（１）设Ｍ型号零件每个ｘ元，Ｎ型号零件每个ｙ元，由题意得６０ｘ＋１００ｙ＝７００①１００ｘ＋５０ｙ＝７００②{，由①－②ˑ２得ｘ＝５，将ｘ＝５代入①得ｙ＝４，所以解得ｘ＝５ｙ＝４{，所以Ｍ型号零件５元一个，Ｎ型号零件４元一个．（２）设Ｎ型号零件购进ａ个，则Ｍ型号零件购进（２ａ－１０）个，由题意得３（２ａ－１０）＋２ａȡ３２２①２ａ－１０ɤ８０②{，化简①式得８ａ－３０ȡ３２２，可以推算出ａȡ４４，化简②式得ａɤ４５，所以４４ɤａɤ４５，因为ａ正整数，所以ａ＝４４或４５，所以当ａ＝４４，２ａ－１０＝７８，或当ａ＝４５，２ａ－１０＝８０．综上所述，有两种进货方法，第一种是购买Ｍ型号零件７８个，购买Ｎ型号零件进４４个，第二种是购买Ｍ型号零件８０个，购买Ｎ型号零件４５个．结㊀语函数与方程思想是高中数学思想最基础的内容之一，它在高中数学解题中被广泛应用，学生学好函数与方程思想，便可以在高中的数学解题过程中利用题干中已知条件构建方程，并且通过求解方程解答问题．在日常的教学当中，教师在详细讲述解答题目的过程中，也要去掉一些不必要的过程，从而使题目的求解过程更加简单明了，这样有利于提高高中生的解题能力和解题效率，加深高中生对方程与函数思想的了解．ʌ参考文献ɔ［１］张凤丽．方程与函数思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２２（２７）：３４－３６．［２］陆云仪．函数与方程思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１７）：８８－９０．［３］王秀娟．高中数学课堂教学的有效构建［Ｊ］．新课程教学（电子版），２０２１（２１）：５０－５１．。

函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言讲问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.三、函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，有时，还实现函数与方程的互相转化，接轨，达到解决问题的目的.四、本讲讲了函数方程思想情形情形1：初等函数中的函数方程思想；情形2：导数中的函数方程思想；情形3：立体几何中的函数方程思想；情形4：解析几何中的函数方程思想 .情形5：三角函数中的函数方程思想；情形6：向量中的函数方程思想；情形7：解三角形中的函数方程思想；情形8：数列中的函数方程思想 .情形9：不等式中的函数方程思想；情形10：计数原理中的函数方程思想；情形11：坐标系与参数方程中的函数方程思想 .情形12：复数中的函数方程思想；情形13：统计中的函数方程思想；情形14：实际问题中的函数方程思想. 【方法讲评】函数方程情形一初等函数中的函数方程思想函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，函数的求值、解析式和零点问题等都体现了函数与方程的密切联系，体现了函数方程的思想.【例1】已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为①，∴，∴②由①②得，，.（2）由.x-*kw得：，时，，综上：或.【点评】（1）本题第1问，求的解析式，只有建立的方程组.怎么建立方程组？利用函数的奇偶性，它充分地体现了函数方程的思想.（2）第2问考查函数的零点，实际上就是讨论方程（*）只有一个大于0的根，利用方程的思想解决函数的零点问题.所以充分体现了函数方程的思想.（3）函数和方程是一家人，联系无处不在.要注意它们在解题中的应用. 【反馈检测1】已知函数在上有最大值和最小值，设（为自然对数的底数）. （1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.函数方程情形二导数中的函数方程思想导数中的求值、解析式、图像和零点等都体现了函数和方程的密切关系，都是函数方程思想的具体体现.【例2】（2016年北京高考文科）设函数()32.f x x ax bx c =+++（1）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()1,2x ∈-∞-，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （3）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点. 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】（1）本题的第1小问，就利用到了方程的思想. 第2、3小问利用到了函数方程的思想. 函数()y f x =的零点就是函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，也是方程()0f x =的解，可见函数的零点问题体现了函数方程的密切关系，充分体现了函数方程的思想. （2）本题的第2问是用数形结合解答的，只要满足极大值大于零且极小值小于零，则函数图像与x 轴会有三个不同的交点，函数()f x 有三个不同零点.(3)本题的第3问，()232f x x ax b '=++，是一个二次函数，但是由于该二次函数与x 轴的交点的个数不确定，所以要就判别式2412a b ∆=-分类讨论，分类讨论时结合数形结合比较直观地看到函数的单调性，从而得到零点的个数.【反馈检测2】已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.【例3】如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所在的平面垂直于圆O 所在的平面，4AB =，1=BE ．（1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）若30ABC ∠=，求点B 到平面ADE 的距离．【解析】（1）)O AC BCDC BCBC ADC DE ADC AC DC C ADE ACD AC DC ADC DE BC DE ADE ⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⊥⎪⎪⎪⎬⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊂⎪⎭中面面＝面面，面∥面 （2）DC DCBE DC ABC DC AC DC BC AC ABC ⎫⊥⎫⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪⊂⎭面DCBE 面ABC 于BC 面面面【点评】本题第2问如果直接求点B 到平面ADE 的距离，不是很方便，如果利用等体积法建立关于d 的方程，则可以优化解题，提高解题效率.这实际上就是利用了函数方程的思想.【例4】等腰ABC ∆的底边66AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B ， D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥．现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使PE AE ⊥．（Ⅰ）证明： EF ⊥平面PAE ；（Ⅱ）记BE x =， ()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积，求()V x 的最大值.【解析】（Ⅰ）证明：∵EF AB ⊥，∴90BEF PEF ∠=∠=︒，故EF PE ⊥，而AB PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PAE ．（Ⅱ）解：∵PE AE ⊥， PE EF ⊥，∴PE ⊥平面ABC ，即PE 为四棱锥P ACFE -的高. 由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ，∴BE EFBD CD =，由题意知336x EF =，∴66EF x =， ∴2211666639622612ACFE ABC BEF S S S x x ∆∆=-=⨯⨯-⨯=-．所以当6x =时， ()()6max 126V x V ==【点评】本题求()V x (()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积)的最大值，利用了函数的思想，其中的求值也用到了方程的思想. 先建立函数()V x ，再利用导数来求函数的最大值.可见，函数方程的思想是无处不在的,它渗透在高中数学的每一章中,特别是解答最值、取值范围、值域等问题时，我们要比较敏感地想到函数的方法.【反馈检测3】如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？（2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．函数方程情形四解析几何中的函数方程思想解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程的思想，求变量的取值范围和最值等经常要用到函数的思想分析解答.【例5】已知12,F F 分别为椭圆221221y x C a b+=：的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点, 且15||.3MF = （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.F 1 O xMF 2y B A（2）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知,120120,x x x y y y λλ+=+=,且2200134x y +=, ①又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,211k=+,由0k ≠,可得22(1,0)1tk t t t =≠±≠- ② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-= 且0∆>恒成立,且2221212226312,4343k t k t x x x x k k-+=-=++, 所以121228()243kt y y k x x kt k+=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t ktP k k λλ-++【点评】（1）本题第1问求椭圆1C 的方程，利用了方程的思想，建立关于,a b 的方程，从而求出椭圆1C 的方程.(2)第2问求实数λ的取值范围，利用了函数的思想，先建立函数模型22224,0,11()1t t t tλ=≠≠±1++,再利用基本不等式求函数的范围.【反馈检测4】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12.过点0(,0)A x 01()8x ≥作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点(P 在第一象限内). (1)若A 与焦点F 重合,且||2PQ =.求直线l 的方程;(2)设Q 关于x 轴的对称点为M .直线PM 交x 轴于B . 且BP BQ ⊥.求点B 到直线l 的距离的取值范围.函数方程思想思想情形之1-4参考答案 【反馈检测1答案】（1）;（2）;（3）. 【反馈检测1详细解析】（1），当时，在上是增函数，∴即解得;当时，，无最大值和最小值；当时，在上是减函数，∴即解得∵，∴舍去，综上，的值分别为1,0.x.+kw（3）原方程可化为，令，则，由题意知有两个不同的实数解，且其中，记，则得0k >.【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==.而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=- 令()0f x '=得24810x x -++=，解得512x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--0 + + 0-()f x极小值 极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞； 关于x 的方程()f x m =一定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测3答案】（1）（2）点在的延长线上，且【反馈检测3详细解析】（1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，．由，得，解得令，得，于是∵平面与平面所成的锐二面角为，∴.解得，故点在的延长线上，且．【反馈检测4答案】（1）4410x y --=或4410x y +-=；（2）61[,)122d ∈. 【反馈检测4详细解析】 (1) A 与F 重合,则1(,0)4A 设222221:()(1)04216l y k x k k k x x y x ⎫=-⎪⇒-++=⎬⎪=⎭又由焦半径公式有12121||22PQ x x p x x =++=++=,可求21k = ∴1k =±. 所求直线l 为:4410x y --=或4410x y +-=(2)可求0(,0)B x -.故BQM ∆为等腰直角三角形,设1122(,),(,)P x y Q x y【方法讲评】函数方程情形五三角函数中的函数方程思想三角函数本身就是一种函数，三角函数里与角、三角函数、面积、A w T ϕ、、、有关的计算，多用方程的思想解答，三角函数的奇偶性、对称性、周期性等，多利用方程的思想分析解答，三角函数里的取值范围、值域、最值的求解多利用函数的思想分析解答, 先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例1】如图为函数()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕϖϕ=+>><∈的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围． 【解析】（1）由题中的图象知， 2A =， 43124T πππ=-= ，即T π=，所以22Tπω==， 根据五点作图法，令22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，由图像得当(2,3m ∈--上有两个不同的实根． 【点评】（1）本题第1问求函数的解析式，需要求各个待定系数，求各个待定系数就利用了方程的思想. (2)第2问求函数的单调区间，利用了正弦函数的单调性和复合函数单调性的性质，第3问研究函数的零点，利用了函数的图像之间的关系，充分体现了函数的思想.【反馈检测1】函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0ω>， 2πϕ<）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在[],2ππ上的单调递增区间及其在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.函数方程情形六向量中的函数方程思想向量里面与向量的模、夹角、数量积、坐标等有关的计算，向量平行垂直的转化，多用方程的思想. 向量里的取值范围、最值等问题的处理，多用函数的思想分析解答, 先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例2】已知向量()()sin ,1,1,cos ,22a b ππθθθ==-<<．（I ）若a b ⊥，求tan θ的值；（II ）求a b +的最大值．【点评】（1）本题的第1问就利用了公式1212+0a b x x y y ⊥⇒=得到关于θ的方程，从而求出tan θ的值，这里就利用了方程的思想. (2)本题的第2问求最大值，就利用了函数的思想，先建立关于θ的三角函数模型，再研究三角函数的最大值,从而求出a b +的最大值.【反馈检测2】已知平行四边形ABCD 中， 1AD =， 60BAD ∠=︒， M 为CD 的中点，12AC BM ⋅=-.（1）求AB 的长；（2）设E ， F 为线段AD 、AB 上的动点，且EF BD ，求AE DF ⋅的最小值.函数方程情形七解三角形中的函数方程思想解三角形里，与三角形的边、角、周长、面积、三角函数、正弦定理、余弦定理等有关的计算，多用到方程的思想.三角形里的取值范围、最值等多用到函数的思想，先建立函数的模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.【例3】在锐角ABC ∆中， A B C 、、角所对的边分别为a b c 、、，且cos cos 23sin 3a Bb A Cc +=.(1)求C ∠； (2)若2sin aA=，求ABC ∆面积S 的最大值.【点评】（1）本题的第1问求C ∠，就是把正弦定理代入已知的方程化简解得，第2问中求c 边，也是通过正弦定理求得，充分利用了方程的思想. (2)本题的第2问，求ABC ∆面积S 的最大值，利用了函数的思想，先转化成求ab 的最大值，再利用余弦定理和基本不等式求出ab 的最大值. 【反馈检测3】在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且23ACB π∠=. （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若3,c ABC θ=∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值.【例4】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-．⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：1212221(21)(21)(21)n n n a a a Mn a a a ⋅≥+---对一切*n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】⑴对任意的正数x y 、均有()()()f xy f x f y =+且1()12f =-又10()()(1)1()(1)()2n n n n n n a f S f a f a f a f a f >=++-=+++且∴21()[()]2n n n f S f a a =+⨯，又()f x 是定义在(]0,+∞上的单增函数，∴21()2n n n S a a =+．当1n =时，21111()2a a a =+，2110a a ∴-=．10a >，11a ∴=．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，11()(1)0n n n n a a a a --∴+--=．101(2)n n n a a a n ->∴-=≥，{}n a ∴为等差数列，11,1a d ==，n a n ∴=．(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=23．∴230M <≤ 【点评】（1）本题的第1问数列{}n a 的通项公式中，利用方程的思想分析出数列{}n a 为等差数列，且11,1a d ==.（2）本题第2问就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值，这实际上就是函数的思想.（3）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反馈检测4】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上． （I ）求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（II ）若数列{}n b 满足()()*22log log 21n n b n a n N =+-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （III ）已知数列{}n c 满足()*14616n n n n n c n N T a a +-=-∈-．若对任意*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()12n c c c f x a ++⋯+≤-成立，求实数a 的取值范围．函数方程思想思想情形之5-8参考答案 【反馈检测1答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为7,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【反馈检测1详细解析】（1）由图象可知， 1A =，22362T πππ=-=，所以T π=， 又2T ππω==，所以=2ω，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又,16π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 7132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数的性质可得，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【反馈检测2答案】2AB =；（2）14-. 【反馈检测2详细解析】（1）()()()22111222AC BM AB BC BC CM AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=++=+-=+⋅- ⎪⎝⎭22211111cos60122422AD AB AD AB x x =+︒-=+-=-， 设AB x =，则有21130242x x --=，解得2x =或32x =-，故2AB =.（2）∵EF BD ，∴AE AFAD AB=，设AE AD λ=， AF AB λ=， 则()222AE DF AD AB AD AD AB AD λλλλλλ⋅=⋅-=⋅-=-，221124λλλ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故2λλ-的最小值为14-，∴AE DF ⋅的最小值为14-.【反馈检测3答案】（1）7c =（2）2. 【反馈检测3详细解析】(1),,a b c 成等差数列，且公差为2,4,2a c b c ∴=-=-，又()()()()222222422111,cos ,,32222422c c c a b c BCA C ab c c π-+--+-∠=∴=-∴=-∴=---，恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =，又4,7c c >∴=.(2)在ABC ∆中，,2sin sin sin sin sinsin 33AC BC AB ACBC ABC BAC ACB πθθ==∴===∠∠∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin ,2sin 3AC BC πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.ABC ∴∆的周长()2sin2sin 3f AC BCAB πθθθ⎛⎫=++=+-⎪⎝⎭12sin 2sin 23πθθθ⎡⎤⎛⎫=+=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦20,,3333ππππθθ⎛⎫∈∴<+<⎪⎝⎭， ∴当32ππθ+=即6πθ=时， ()fθ取得最大值2.【反馈检测4答案】（1）n a n =（2）()16232n n T n +=+-⨯（3）1980a ≤因此()121232212nn T n =⨯+⨯++-⨯①， ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，由①-②得到()232112222222212n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()2112122221212n n n -+-=+⨯--⨯-()16322n n +=-+-⨯. 所以()16232n n T n +=+-⨯．（III ）由（II ）知()16232n n T n +=+-⨯，所以()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+ 11121n n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．令n M 为{}nc 的前n 项和，易得1112n nM n =-+．因为对任意的*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()n M f x a ≤-成立． 所以1135168a -≤-，由此1980a ≤．【方法讲评】函数方程情形九不等式中的函数方程思想不等式中，与求值有关的问题，多利用方程的思想解答。